Wyznaczanie ekstremów funkcji

1.
.
.

[ Przeczytać z wykładu warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum !!! ]

Z warunku koniecznego , wyznaczamy punkty w których funkcja może ( choć nie musi ) mieć ekstremum lokalne . Punktami tymi są miejsca zerowe pierwszej pochodnej . Rozwiążemy więc równanie ;
.

Zatem
.
. Jest to równanie sprzeczne , nie ma rozwiązań a, tym samym , funkcja nie ma ekstremów lokalnych .

2.
.
=
,
.

Wyznaczamy punkty w których funkcja może mieć ekstrema . Z warunku koniecznego rozwiązujemy równanie








.

Sprawdzimy teraz , korzystając z warunku dostatecznego , czy funkcja ma ekstremum w wyznaczonym punkcie , tzn. czy pochodna zmienia znak w otoczeniu punktu
.

Funkcja logarytmiczna jest rosnąca , więc dla
,
, a stąd [ przenosząc
na prawą stronę nierówności ] otrzymujemy , że
i , tym samym ,
dla
.

Dalej wnioskujemy , że dla
pochodna jest mniejsza od zera . Ponieważ pochodna zmienia znak w otoczeniu punktu
z „+” na „ - „ , więc funkcja ma w punkcie
maksimum lokalne . Maksimum wynosi
.

3.
.

Funkcja logarytmiczna określona jest dla liczb dodatnich . Wyrażenie
jest dodatnie dla wszystkich liczb rzeczywistych , stąd dziedziną podanej funkcji jest zbiór
:
.

Postępujemy tak jak wyżej .
.

. W wyznaczonym punkcie funkcja może mieć ekstremum lokalne . Sprawdzimy , czy w otoczeniu tego punktu pochodna zmienia znak .

Zauważmy , że dla każdego
wyrażenia
i
są nieujemne co oznacza , że pochodna nie zmienia znaku w otoczeniu punktu
. Stąd i w oparciu o warunek wystarczający istnienia ekstremum , funkcja
nie ma w punkcie
ekstremum lokalnego .

4.
.
.

.

,
.

Pochodna jest funkcją kwadratową , rysując parabolę , która ma ramiona skierowane do góry , to widzimy , że w otoczeniu punktów
i
, pochodna zmienia znak . W otoczeniu punktu
zmienia znak z „ + „ na „ - „ , co , na podstawie warunku wystarczającego , oznacza , że w tym punkcie funkcja ma maksimum lokalne ; w otoczeniu punktu
pochodna zmienia znak z „ - „ na „ + „ zatem funkcja ma w tym punkcie minimum lokalne . Wyznaczamy te ekstrema :

,

.

5 .
.
.

.
,
.

Funkcja może mieć ekstrema w wyznaczonych punktach . Łatwo sprawdzić ( samodzielnie ) , że funkcja ma w tych punktach ekstrema , bo pochodna zmienia znak . Stąd w punkcie
ma maksimum lokalne , a w punkcie
ma minimum lokalne .

;
.

1

---