Zasady obliczania osi i wałów dwupodporowych

Obliczanie osi i wałów polega na:

1. Wyznaczeniu metodami statyki wszystkich sił czynnych i biernych działających na oś lub wał.

2. Obliczeniu wartości momentów zginających (dla osi i wałów) oraz skręcających i zastępczych (dla wałów) co najmniej dla punktów przyłożenia sił zewnętrznych i dla punktów podparcia (łożysk).

3. Obliczeniu średnic wału w podstawowych przekrojach i ustaleniu kształtu wału (osi).

4. Wykonaniu ( w razie potrzeby ) obliczeń sprawdzających (np. uwzględniających zjawisko karbu) i uzupełniających, polegających na obliczeniu sztywności wału itp.

Obliczanie osi dwupodporowych na zginanie

Oś oblicza się jako belkę podpartą na dwóch podporach (łożyskach). Rozwiązanie zaczynamy od wyznaczenia sił czynnych (składowych) a następnie reakcji na podstawie warunków równowagi. Kolejnym krokiem jest wyznaczenie momentów zginających. Następnie na podstawie warunku wytrzymałościowego na zginanie oblicza się minimalną średnicę osi

stąd

W przypadku projektowania osi drążonych wstępnie zakłada się stosunek średnicy otworu do zewnętrznej średnicy β = do / d = 0,4 ÷ 0,6 jeżeli średnica otworu nie jest uzależniona od wymagań konstrukcyjnych. Średnicę osi oblicza się wg wzoru

Obliczanie wałów dwupodporowych na zginanie i skręcanie

Obciążenie wałów wywołuje w nich naprężenia normalne (zginające) i styczne (skręcające), zatem wały obliczamy ze wzoru na naprężenia zastępcze oparte na hipotezie Hubera

Współczynnik redukcyjny α określa, w jakim stopniu uwzględnia się w obliczeniach naprężenia styczne. Jego wartość oblicza się z zależności: α = kgj / ksj lub α = kgo / kso

Ponieważ Wx =-0,1d3 stąd

lub dla wału drążonego

lub dla wału drążonego

PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ

PRZYKŁAD I Zaprojektować wał maszynowy wg schematu przedstawionego na rysunku. Na wale są osadzone koła zębate I i II o średnicach d₁ = 10cm i d₂ = 20cm . Siła obwodowa na kole I jest pozioma i wynosi F₁ = 20000N = 20kN, siła obwodowa na kole II działa w kierunku pionowym i wynosi F₂ = 10000N = 10kN. Znaleźć średnicę wału jeżeli naprężenia dopuszczalne k_gj = 100Mpa k_sj = 70MPa.

Rozwiązanie metodą rachunkową

Obliczamy momenty zginające w płaszczyźnie pionowej a następnie poziomej.

W tym celu

- obliczamy reakcje

- obliczamy momenty zginające

Obciążenie w płaszczyźnie pionowej

Zapisujemy warunki równowagi;

ΣFiy=0 - Ray + F2 -Rby =0

ΣMia=0 - F2 0,1m +Rby 0,5m =0

Z rozwiązania uzyskujemy; Rby= 2kN , Ray =8kN. Obliczamy momenty zginające w charakterystycznych punktach;

Mgay = Ray ∙ 0m = 0

MgIy = - Ray ∙0,1m + F2∙0m = - 0,8kNm

MgIIy = - Ray ∙ 0,4m + F2∙0,3m = - 0,2kNm

Mgby = - Ray ∙ 0,5m + F2∙0,4m + Rby∙0m = 0

Wykonujemy wykres momentów zginających

Obciążenie w płaszczyźnie poziomej

Zapisujemy warunki równowagi;

ΣFix=0 - Rax + F1 -Rbx =0

ΣMia=0 - F1 0,4m +Rbx 0,5m =0

Z rozwiązania uzyskujemy; Rbx= 16kN , Rax =4kN .

Obliczamy momenty zginające w charakterystycznych punktach;

Mgax = Rax ∙ 0m = 0

MgIx = - Rax ∙0,1m = - 0,4kNm

MgIIx = - Rax ∙ 0,4m + F2∙0m = - 1,6kNm

Mgbx = - Ray ∙ 0,5m + F2∙0,1m + Rbx∙0m = 0

Wykonujemy wykres momentów zginających

Wyznaczamy wartość momentów zginających wypadkowych korzystając ze wzoru

Mga = 0

M_gb = 0

OBLICZAMY WSPÓŁCZYNNIK REDUKCYJNY α = k_gj /k_sj = 100MPa/ 70MPa = 1,43

OBLICZAMY MOMENTY ZASTĘPCZE ZGODNIE ZE WZOREM

M_za = 0

M_zIL = 0,89kNm

M_zIP = 1.23kNm

M_zIIL = 1,82kNm

M_zIIP = 1,61kNm

M_zb = 0

Obliczamy średnice czopów wału pod łożyska ze wzoru;

Podstawiając

Oraz d_II = 54,40mm

Przyjmujemy średnice normalne : d_I =52mm, d_II =56mm

W zależności od konstrukcji łożyskowania dobieramy średnice czopów łożyskowych oraz średnice w punktach dodatkowych.

Uwzględnienie spiętrzenia naprężeń oraz sztywności wału może spowodować zwiększenie założonych średnic.

---