sciaga rozwiazywanie ukladow rownan liniowych za pomoca wzorow cramera, Matematyka


Rozwiązywanie układów równań liniowych za pomocą wzorów Cramera

Układ n równań liniowych z n niewiadomymi ma postać

(*)

Wyznacznik utworzony ze współczynników przy niewiadomych x1, x2, ..., xn nazywamy wyznacznikiem głównym i oznaczamy symbolem W:

.

Z wyznacznika W tworzymy n nowych wyznaczników W1, W2, ..., Wn w ten sposób, że zastępujemy odpowiednio pierwszą, drugą, ..., ostatnią jego kolumnę kolumną wyrazów wolnych.

Mogą zachodzić następujące przypadki:

1° W ≠ 0; wówczas układ (*) ma dokładnie jedno rozwiązanie

.

Wzory te nazywamy wzorami Cramera. W tym przypadku układ (*) jest oznaczony.

2° W = 0 oraz nie wszystkie wyznaczniki Wi (1 ≤ i ≤ n) są jednocześnie równe zeru. Wówczas układ (*) jest sprzeczny.

3° W = W1 = W2 =...= Wn = 0; wówczas układ (*) może być sprzeczny lub nieozna­czony. Sposób postępowania w tym przypadku podamy dalej.

Uwaga. Wszystkie rachunki wykonujemy na kalkulatorze ClassPad 300.

Przykład 1. Rozwiązać układ równań:

Obliczamy kolejno wyznaczniki 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

Zachodzi przypadek 1°, wobec tego

Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie: .

Sprawdzenie:

0x01 graphic

Przykład 2. Rozwiązać układ równań:

Obliczamy kolejno wyznaczniki 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

Ponieważ zachodzi przypadek 1°, więc układ jest oznaczony i ma dokładnie jedno rozwiązanie:

Sprawdzenie:

0x01 graphic

Przykład 3. Rozwiązać układ równań:

Ponieważ wyznacznik główny tego układu jest równy 0, zaś wyznacznik po x jest różny od 0:

0x01 graphic
0x01 graphic

więc stwierdzamy, że układ jest sprzeczny.

Sprawdzenie:

0x01 graphic

Szczególnym przypadkiem układu równań (*) jest układ równań liniowych jedno­rodnych, to jest układ postaci

(**)

Jeżeli wyznacznik główny układu (**) jest różny od zera, to układ ten ma tylko jedno rozwiązanie postaci x1 = 0, x2 = 0, ..., xn = 0, które nazywamy rozwiązaniem zerowym.

W przeciwnym przypadku, tj. gdy W = 0, to układ (**) ma nieskończenie wiele rozwiązań, w tym rozwiązanie zerowe.

Przykład 4. Rozwiązać układ równań:

Obliczamy wyznacznik główny układu

0x01 graphic

Ponieważ W = 0, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Zauważmy, że minor jest różny od zera. Pomijamy więc trzecie równanie (nie zawiera elementów tego minora), a pozostałe dwa równania zapisujemy w następujący sposób:

.

Niewiadoma z zostaje tym samym potraktowana jak parametr, a obliczony minor staje się wyznacznikiem głównym nowego układu.

Ponieważ 0x01 graphic
są równe odpowiednio

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

więc

Sprawdzenie:

0x01 graphic

Podstawiając za z dowolne wartości otrzymujemy nieskończenie wiele rozwiązań (w tym rozwiązanie zerowe), na przykład

Przykład 5. Rozwiązać układ równań:

Obliczamy wyznacznik główny układu

0x01 graphic

Skoro wyznacznik główny układu jest równy 0, więc układ ma jedynie rozwiązanie zerowe.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Metody rozwiązywania układów równań liniowych
Rozwiazywanie ukladow rownan liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych
rozwiązywanie układów równań liniowych spr, Politechnika Lubelska, Studia, Studia, sem III, sprawka,
Rozwiazywanie ukladów rownan liniowych W11
Metody rozwiązywania układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych algebraicznych
Rozdzial 05 Rozwiazywanie ukladow rownan liniowych
100 ukladow rownan liniowych z pelnymi rozwiazaniami krok po kroku (2)
100 układów równań liniowych z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku
Rozwiązywanie układów równań
Rozwiązywanie układów równań metodą wyznaczników
4 Metody numeryczne rozwiązywania układów równań2
M[1] 7 Rozwiazywanie ukladow rownan typu Cramera
matematyka, Roz uk równań wyznaczników m, Rozwiązywanie układów równań metodą wyznaczników
Macierzowe metody rozwiązywania układów równań, t2d

więcej podobnych podstron