MECHANIKA - Ie

Równia ze sprężynką 1

Dwa ciała o jednakowych masach m₁ = m₂ = 1 kg zsunęły się z równi pochyłej mającej długość l = 1 m, nachylonej do poziomu pod kątem o mierze α = 30° (rysunek).

Następnie oba ciała poruszały się po poziomym odcinku drogi i każde z nich zderzyło się z kulką o masie m₃ = 0,5 kg, która była umieszczona na sprężynie o współczynniku sprężystości k= 10 N/m . Odległość kulki od podstawy równi wynosiła x = 0,2 m. Pierwsze ciało było gładkie, a między drugim ciałem i powierzchnią, po której się poruszało, wystę­powały siły tarcia, przy czym współczynnik tarcia był na całej drodze ruchu ciała taki sam. Pierwsze ciało uzyskało przy podstawie równi 2 razy większą prędkość niż drugie ciało.

1. Oblicz wartości prędkości ciał u podstawy równi: v, gładkiego i v₂ niegładkiego.

2. Znajdź wartość siły tarcia T₁ działającej pomiędzy ciałem niegładkim a powierzch­nią równi pochyłej i siły tarcia T₂ na poziomym odcinku drogi do momentu zde­rzenia tego ciała z kulką.

3. Napisz równanie zależności drogi od czasu dla ruchu ciała gładkiego do momentu zderzenia z kulką i naszkicuj wykres zależności drogi s od czasu t.

4. Oblicz największe ugięcie sprężyny ∆l po całkowicie niesprężystym zderzeniu z kulką ciała niegładkiego.

Doświadczenie z klockami

Na lekcji fizyki uczniowie postanowili wyznaczyć współczynnik tarcia kinetycz­nego/drewnianego klocka o powierzch­nię stołu. W tym celu na brzegu ławki umocowali nieruchomy blok. Przez blok przerzucili nić, na której końcach umieś­cili dwa ciała o masach M i M_n (rysunek). Ciało o masie M to drewniany klocek podklejony papierem ściernym, dla które­go występuje ruch z tarciem po powierzchni stołu. Ciało o masie M_n to obciążniki o ma­sie M_n = nm, gdzie m = 50 g. Metoda pomiaru polegała na doświadczalnym wyzna­czeniu wartości przyspieszenia a układu mas na podstawie pomiarów drogi s przebytej przez klocek i czasu trwania ruchu klocka na drodze s zgodnie z równaniem a =
.

Uczniowie wyznaczali wielokrotnie wartość przyspieszenia, zmieniając masę M_n obciążników i masę M klocka. Dla określonych parametrów układu w każdym przypadku wyznaczali średnią wartość przyspieszenia a. Wyniki przedstawia tabela.

Lp.		M ∙ 10^-3[kg]
1	50	160,0	0,159
2	50	277,2	0,058
3	100	277,2	0,195
4	100	477,2	0,083
5	150	477,2	0,183

a) Narysuj siły działające na każdą z mas M i M_n

b) Zapisz układ równań dla sił działających na ciała i wyznacz współczynnik tarcia kinetycznego.

c) Na podstawie równania i wartości z tabeli oblicz współczynniki tarcia kinetycz­nego przy różnych siłach wprawiających ciała w ruch i różnych wartościach ciężarów ciał.

d) Oblicz wartość średnią współczynnika tarcia kinetycznego i określ dokładność wyznaczenia tego współczynnika. Oblicz błąd wartości średniej.

e) Podaj graficzną interpretację zależności współczynnika f tarcia kinetycznego od wyniku kolejnego pomiaru k. Zaznacz
i
w układzie współrzędnych.

f) Wyciągnij wnioski do celu doświadczenia.

Rowerzyści na stoku

Trzej rowerzyści wyznaczyli sobie spotkanie na szczycie wzgórza. Pierwszy rowerzysta jechał na spotkanie ruchem jednostajnym z prędkością o wartości v₁ = 18
. Szczyt

wzgórza osiągnął po czasie r₁ = 20 min. Drugi rowerzysta wyruszył po 10 min i jadąc ze stałym przyspieszeniem, osiągnął szczyt wzgórza jednocześnie z pierwszym rowe­rzystą. Trzeci poruszał się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem dwukrotnie większym niż przyspieszenie drugiego rowerzysty i dotarł na szczyt jedno­cześnie z kolegami.

1. Oblicz wartość przyspieszenia a₂ drugiego rowerzysty.

2. Po jakim czasie ∆t od momentu wyruszenia pierwszego rowerzysty jazdę rozpo­czął trzeci z chłopców?

3. Narysuj w jednym układzie współrzędnych wykresy zależności drogi s poko­nanej przez rowerzystów od czasu t.

4. Oblicz wartość prędkości, z jaką każdy z rowerzystów dotarł na szczyt wzgórza.

5. Narysuj w jednym układzie współrzędnych (v, t) wykresy zależności prędkości rowerzystów od czasu.

6. Oblicz szybkość średnią
   , z jaką jechał drugi rowerzysta.

7. Jaką drogę przebył każdy z chłopców w ostatniej minucie jazdy? Podaj długości tych dróg. Wartości czasu podaj z dokładnością do pełnych sekund lub minut.

Drezyny

Po dwóch równoległych sąsiednich torach naprzeciw siebie jadą dwie drezyny z pręd­kościami o wartościach
i
. Na każdej z nich znajduje się dwoje ludzi.

Masa każdej drezyny wraz z ludźmi i ładunkiem jest równa odpowiednio m₁= 250 kg i m₂ = 200 kg. W momencie mijania z pierwszej drezyny do drugiej przerzucono paczkę o masie m = 10 kg w kierunku prostopadłym do ich ruchu. Po 2 min od momen­tu przerzucenia paczki na drugą drezynę tory, po których się ona poruszała, zaczęły się wznosić pod górę pod kątem o mierze α = 10° do poziomu. Tarcie pomijamy.

1. Oblicz wartość prędkości v_x drugiej drezyny po przerzuceniu paczki.

2. Jaka siła hamująca działała na drugą drezynę na pochyłym odcinku torów? Ob­licz jej wartość. Wykonaj rysunek, zaznaczając siły działające na drugą drezynę.

3. Jaką drogę s pokonała druga drezyna od momentu mijania się z pierwszą aż do zatrzymania? Podaj długość tej drogi.

4. Oblicz czas t_x ruchu drugiej drezyny na drodze s.

5. W chwili, gdy druga drezyna się zatrzymała, zdjęto z niej przewożoną paczkę. Oblicz wartość prędkości v tej drezyny, gdy powróci do podnóża góry.

6. Narysuj wykresy zależności wartości liczbowej siły F działającej na drugą dre­zynę od czasu t i wartości liczbowej pędu p tej drezyny od czasu t: od momentu mijania do chwili, gdy powróci do podnóża góry. Przyjmij jako początek układu
   odniesienia moment mijania się pojazdów.

Żongler

Żongler, stojąc na środku wózka ciągniętego przez parę koni, podrzucał piłkę. Wózek o długości l = 2 m poruszał się ruchem jednostajnym prostoliniowym ze stałą prędkoś­cią o wartości
. W pewnej chwili żongler podrzucił piłkę pionowo do góry, nadając jej prędkość o wartości v₂ =
. Piłka została wyrzucona z punktu znajdujące­go się na wysokości h = 2m nad powierzchnią ziemi. Przyjmujemy, że wartość przy­spieszenia ziemskiego g = 10
.

1. Napisz równanie toru y(x) ruchu piłki w układzie odniesienia związanym z ziemią.

2. Uzupełnij tabelę i na podstawie zawartych w niej danych narysuj wykres zależ­ności położenia piłki y(x) w układzie związanym z ziemią.

x [m]	0,3	0,6	0,9	1,2	1,5	1,8	2,1	2,4	2,6
y [m]

3. Po jakim czasie t, licząc od momentu wyrzucenia piłki, spadnie ona na wózek i w jakiej odległości x od punktu wyrzucenia względem ziemi?

4. Napisz równania składowych prędkości poziomej v_x i pionowej v_y w zależności od czasu t w układzie związanym z ziemią.

5. Oblicz wartość prędkości v, z jaką piłka uderzy o powierzchnię wózka. Jaką mia­rę ma kąt α, który tworzy kierunek tej prędkości z kierunkiem prędkości wózka dla obserwatora w układzie związanym z ziemią?

Pocisk

Podczas wystrzału pionowo w górę pocisk osiągnął maksymalną wysokość H = 2000 m. W najwyższym punkcie toru rozerwał się na dwa odłamki, które miały masy m₁ = 1 kg i m₂ = 2 kg. Po rozerwaniu pocisku odłamki poruszały się pionowo: pierwszy w dół, a drugi do góry. Całkowita energia odłamków była równa E = 210 000 J. Opory ruchu pomijamy. Przyjmij, że wartość przyspieszenia ziemskiego g =

1. Oblicz wartość prędkości początkowej v₀ pocisku.

1. Napisz równanie zależności prędkości v pocisku od czasu t i narysuj wykres v{t) od momentu wystrzału do momentu rozerwania pocisku.

2. Oblicz wartość średniej prędkości
   w ciągu pierwszej połowy czasu ruchu po­cisku do momentu rozerwania.

2. Znajdź wartości prędkości odłamków v₀₁ i v₀₂ natychmiast po rozerwaniu pocisku.

3. Oblicz wartości prędkości odłamków v₁ i v₂ po czasie At= 2 s od momentu rozer­wania pocisku. Oblicz wartość prędkości drugiego odłamka względem pierwszego po tym czasie.

4. Jaką maksymalną prędkość v_k2 osiągnie drugi odłamek? Podaj jej wartość.

g) Oblicz, po jakim czasie t_x od momentu upadku na ziemię pierwszego odłamka powierzchnię ziemi osiągnie drugi odłamek.

Piłeczka

Dwa domy stoją naprzeciw siebie w odległości d = 10 m jeden od drugiego (rys.). Z okna jednego z nich znajdującego się na wysokości h₁= 30 m została wyrzucona w kierunku poziomym piłeczka. Ruch piłeczki opisuje układ równań:

Piłeczka wpadła przez okno znajdujące się w drugim domu na wysokości h₂ nad ziemią. Wykorzystując powyższe informacje, wykonaj polecenia.

1. Jakim ruchem poruszała się piłeczka? Wypisz wielkości charakteryzujące ten ruch.

2. Wyznacz równanie toru ruchu piłeczki i dokończ rysunek.

3. Na jakiej wysokości nad ziemią znajduje się okno, przez które wpadła piłeczka?

4. Wyznacz prędkość piłeczki (wektor) i oblicz jej wartość v w momencie wpadania przez okno drugiego domu.

Klocek i kula na zboczu góry

U podnóża góry kuli o masie m, i promieniu r nadano prędkość o wartości v₀. Na wy­sokości h na zboczu góry znajdował się klo­cek o masie m₂. Kula wtoczyła się bez po­ślizgu i zderzyła się z klockiem niesprężyście. Zbocze góry tworzy z poziomem kąt o mierze α.

1. Wyznacz wartość prędkości v₁ kuli w momencie zderzenia z klockiem.

2. Jaką drogę l wzdłuż zbocza góry przebył klocek z kulą do zatrzymania, jeżeli współczynnik tarcia ciał o powierzchnię zbocza wynosił f?

3. Wyznacz wartość prędkości v_y, z jaką ciała powróciły do podnóża góry, jeżeli nadal występowała siła tarcia.

4. Jak długo trwał ruch ciał od momentu zderzenia kuli z klockiem do chwili osiągnięcia podnóża góry?

Równia pochyła ze sprężyną 2

Dwa ciała o jednakowych masach m₁ = m₂ = 1 kg zsunęły się z równi pochyłej mają­cej długość / = 1 m, nachylonej do poziomu pod kątem o mierze α = 30° (rysunek).

Następnie oba ciała poruszały się po poziomym odcinku drogi i każde z nich zderzyło się z kulką o masie m₃ = 0,5 kg, która była umieszczona na sprężynie o współczynniku sprężystości k=
Odległość kulki od podstawy równi wynosiła x = 0,4 m. Pierwsze ciało było gładkie, a między drugim ciałem i powierzchnią, po której się poruszało, występowały siły tarcia, przy czym współczynnik tarcia /był na całej drodze ruchu ciała taki sam. Pierwsze ciało uzyskało przy podstawie równi 2 razy większą prędkość niż drugie ciało. Przyjmij przyspieszenie ziemskie g = 9,81

1. Oblicz współczynnik tarcia f ciała niegładkiego o równię.

2. Jaką drogę s pokonało ciało niegładkie po torze poziomym aż do całkowitego za­trzymania się?

3. Wyznacz wartość prędkości v_x, jaką uzyskało ciało gładkie po zderzeniu sprę­żystym z kulką.

4. Załóżmy, że chcemy zatrzymać ciało gładkie. Jaką przeszkodę należałoby umieś­cić na jego drodze? W jakiej sytuacji zatrzyma się ciało gładkie?

5. Oblicz największe ugięcie sprężyny x₁ w przypadku zderzenia ciała gładkiego z kulką.

Klocki na równi pochyłej

Przez blok w kształcie walca, umocowany na wierzchołku równi pochyłej, przerzucono linkę zakończoną dwoma ciężarkami o ma­sach m₁ i m₃ spełniających warunek: m₃ > m₁. Współczynnik tarcia pomiędzy powierzch­nią równi pochyłej i leżącym na niej cię­żarkiem był równy f, miara kąta nachylenia równi do poziomu była równa α. Masa bloku wynosiła m₂, a jego promień R. Moment bezwładności walca względem osi symetrii

/₀ =
mr². Tarcie na osi bloku zaniedbujemy.

a) Narysuj siły działające na elementy układu: na ciężarki o masach m₁i m₃ oraz na blok o masie m₂.

2. Stosując II zasadę dynamiki Newtona dla ruchu postępowego i obrotowego, za­pisz odpowiednie równanie dla każdego z trzech ciał.

2. Wyznacz wartość przyspieszenia a, z jakim będzie opadał ciężarek m₃.

3. Wyznacz siłę nacisku
   na oś bloku.

Kołowrót

Klocek o masie m_] = 1 kg został zawieszony na nici nawiniętej na kołowrót w kształcie walca o masie m₂ = 2 kg i przerzuconej przez blok również w kształcie walca o masie m₃ = 1 kg. Klocek może się opuszczać na nici, która nie ślizga się po kołowrocie i bloku. Tarcie przy obrocie bloku i kołowrotu pomijamy. Moment bez­władności walca względem osi symetrii /₀ =
.

Przyjmij wartość przyspieszenia ziemskiego g = 9,81
.

1. Narysuj siły działające na każde z ciał o danych masach.

2. Ułóż i zapisz równania sił działających na klocek m₁ kołowrót m₂ i blok m₃.

3. Oblicz wartość przyspieszenia liniowego a, z jakim będzie się opuszczać klocek.

4. Oblicz wartość przyspieszeń kątowych bloku i kołowrotu.

Kulki w akcji

W odległości s = 0,3 m od brzegu stołu ma­jącego wysokość h = 0,8 m znajduje się kulka o masie m₂ = 0,3 kg. Nad tą kulką zawieszono na nitce, której długość jest równa l = 1 m, kul­kę o takiej samej wielkości i masie m₁ = 0,2 kg. Kulkę o masie m₁ odchylono od pionu i pusz­czono swobodnie. Miara kąta odchylenia była równa 90° (rysunek). Przyjmij wartość przyspieszenia ziemskiego g = 10

a) Oblicz wartość prędkości u₁, kulki pierwszej i wartość prędkości u₂ kulki drugiej po zderzeniu sprężystym tych ciał w punkcie A.

2. b) Jaką wartość ma prędkość u_2x drugiej kulki, gdy dotrze do brzegu stołu, jeżeli współczynnik tarcia między kulką a powierzchnią stołu wynosi f = 0,02? Pomi­jamy ruch obrotowy kulki.

3. W jakiej odległości x od stołu druga kulka uderzy o podłogę?

4. Jaką wartość u_k ma prędkość drugiej kulki w momencie uderzenia o podłogę? Wyznacz wektor tej prędkości.

5. Jaką miarę ma kąt a odchylenia nitki z pierwszą kulką po zderzeniu sprężystym?

---