Piotr Kozioł 6.10.2000r.

WPROWADZENIE DO SYSTEMÓW TELEKOMUNIKACYJNYCH

Seminarium sem. zimowy 2000/2001

Zadanie Z1/4

1. Treść zadania

Rozwinąć funkcję f(t) = 6t w szereg Fouriera w przedziale (0,1) tzn. przedstawić funkcję f(t) przez liniową kombinację funkcji ortogonalnych g(t).

f(t) = { 6t dla 0 < t <1

0 poza przedziałem

2. Wstęp

W zadaniu tym mam za zadanie rozłożyć daną funkcję f(t) na sumę funkcji g(t) pomnożonych przez odpowiednie współczynniki szeregu Fouriera. Funkcje g(t) są tutaj bazą. Bardziej znanymi bazami są funkcje Haara i Walscha. Jednak sposób wyznaczania współczynników jest ten sam tzn. należy policzyć całki:

3. Rozwiązanie

Aby przedstawić funkcję f(t) w postaci:

f(t)=A₀g₀(t) + A₁g₁(t) + A₂g₂(t) +...

muszę wyznaczyć kolejne współczynniki A_k szeregu Fouriera. W tym celu skorzystam ze wzoru:

Współczynników tego szeregu jest nieskończenie wiele. Obliczę więc kilka z nich i na tej podstawie ustalę wzór, którym będę mógł obliczyć następne.

Na podstawie wyliczonych pierwszych czterech współczynników mogę już napisać wzór pozwalający obliczyć dowolny współczynnik.

dla k >=1

A więc:

4. Wnioski

5. Jak widać postać tej kombinacji liniowej jest bardzo prosta. Współczynnik pierwszy jak można się łatwo domyślić to wartość średnia funkcji f(t) na przedziale (0,1).

3

---