DWUCZYNNIKOWA ANALIZA WARIANCJI

Ten typ analizy wariancji służy do weryfikacji hipotezy o równości średnich w przypadku, gdy na badaną cechę X wpływa jednocześnie jeden z poziomów A₁, A_2, ..., A_a czynnika A oraz jeden z poziomów B₁, B₂, ..., B_b czynnika B.

Hipotezę zerową weryfikujemy na podstawie wyników prób o jednakowej liczbie powtórzeń r w ab populacjach.

czynnik	B1	B2	...	Bb	suma obserwacji w wierszach
B A
A1	x111 x112 ... x11r	x121 x122 ... x12r	...	x1b1 x1b2 ... x1br	x1..
A2	x211 x212 ... x21r	x221 x222 ... x22r	...	x2b1 x2b2 ... x2br	x2..
...	...	...	...	...	...
Aa	Xa11 xa12 ... xa1r	Xa21 xa22 ... xa2r	...	Xab1 xab2 ... xabr	xa..
suma obserwacji w kolumnach	x.1.	x.2.	...	x.b.	suma wszystkich obserwacji x...

A_i - poziomy czynnika A (i = 1, 2, 3, ... a)

B_j - poziomy czynnika B (j = 1, 2, 3, ... b)

k - numer obserwacji (k = 1, 2, 3, ... r)

a - liczba poziomów czynnika A (liczba wierszy)

b - liczba poziomów czynnika B (liczba kolumn)

r - liczba powtórzeń

x_ijk - k-ta obserwacja w j-tej kolumnie i i-tym wierszu

x_ij• - suma obserwacji w i-tym wierszu i j-tej kolumnie

N = a x b x r - liczba wszystkich obserwacji

INTERAKCJA - polega na równoczesnej, niejednakowej reakcji poziomów jednego czynnika na zmianę poziomów drugiego czynnika.

sposób nawożenia A

brak interakcji

INTERAKCJA

odmiany zboża B

b1

b2

b1

b2

a1

15

+4

11

+4

15

+4

11

+7

a2

19

15

19

18

Hipotezy zerowe i alternatywne:

• hipoteza zerowa dotycząca wpływu czynnika A:

H₀: brak wpływu czynnika A na badaną cechę

H_A: czynnik A wpływa na badaną cechę

• hipoteza zerowa dotycząca wpływu czynnika B:

H₀: brak wpływu czynnika B na badaną cechę

H_A: czynnik B wpływa na badaną cechę

• hipoteza zerowa dotycząca INTERAKCJI:

H₀: brak interakcji

H_A: występuje interakcja

MODEL LINIOWY - analiza wariancji w układzie dwuczynnikowym:

Y_ijk - wartość obserwacji

μ - średnia populacji

α_i - efekt czynnika doświadczalnego A

β_j - efekt czynnika doświadczalnego B

(αβ)_ij - efekt interakcji (A∗B)

ε_ijk - błąd losowy (błąd próby)

Tabela analizy wariancji:

Źródło zmien.:	df stopnie swobody	SS suma kwadratów	MS średni kwadrat (wariancja)
ogólna	dfogólna = N-1		-
czynnik A	dfA = a-1
czynnik B	dfB = b-1
interakcja A∗B	dfA*B =(a-1)(b-1)
błąd	dfbłąd = dfogólna - dfA - dfB - dfA*B

Wartość statystyki testowej:

• dla INTERAKCJI:

Jeżeli interakcja okaże się istotna bądź wysoce istotna, to kończymy analizę na tym etapie !!!

Jeżeli interakcja okaże się nieistotna, to obliczamy F_A i F_B, aby określić wpływ czynników A i B:

Podejmowanie decyzji:

F_0,05 F_0,01

Poprawka:

Przykład:

Badano przydatność do tuczu dwóch ras królików, stosując dwa rodzaje dawek pokarmowych o różnej wartości odżywczej: pełnowartościową mieszankę A i mieszankę B o zredukowanej zawartości białka. W tabeli podano przyrosty królików. Sprawdź, czy występuje interakcja między rasą, a sposobem żywienia oraz określ wpływ badanych czynników na wielkość uzyskanych przyrostów.

dawka rasa	A	B	xi..
Biała Nowozelandzka	5; 8	2; 3	18
Czarna Podpalana	4; 5	9; 10	28
x.j.	22	24	x... = 46

Źródło zmienności:	df	SS	MS
ogólna			-
czynnik A (między rasami)
czynnik B (między dawkami)
interakcja A∗B
błąd

F_0,05 (df₁ = 1, df₂ = 4) = 7,71

F_0,01 (df₁ = 1, df₂ = 4) = 21,2

Zadanie 1:

Badano wpływ trzech różnych dawek pokarmowych na przyrosty kurcząt obu płci. Uzyskane wyniki przedstawiono w tabeli. Sprawdź, czy istnieje interakcja między dawkami, a płcią kurcząt. Zbadaj wpływ rozpatrywanych czynników na przyrosty.

dawka płeć	A	B	C
KURKI	3; 3; 4	6; 5; 5	7; 10; 11
KOGUTKI	2; 4; 2	6; 7; 8	10; 9; 12

Zadanie2:

Przeprowadzono doświadczenie, którego celem było zbadanie wpływu witaminy B₁₂ i pewnego antybiotyku na przyrosty świń. Zwierzęta podzielono na dwie grupy. Każda grupa poddawana była innej kombinacji obu czynników. W tabeli podano średnie dzienne przyrosty świń w funtach. Sprawdź, czy wystąpiła interakcja między czynnikami i oszacuj istotność ich wpływu na uzyskane wyniki.

antybiotyk (μg)	witamina B12 (μg)
		0	50
0	1,30 1,19 1,08	1,26 1,21 1,19
40	1,05 1,00 1,05	1,52 1,56 1,55

Zadanie 3:

Badano wpływ sezonu (letni, zimowy) oraz rasy na grubość słoniny u tuczników. Wyniki przedstawiono w poniższej tabeli. Oszacuj istotność wpływu badanych czynników. Zbadaj, czy zachodzi między nimi interakcja.

rasa sezon	WBP	PBZ	PUŁ
letni	5; 7; 6	4; 2; 3	2; 3; 1
zimowy	4; 2; 5	2; 3; 5	2; 2; 3

1

X_11•

X_12•

X_1b•

X_21•

X_22•

X_2b•

X_a1•

X_a2•

X_ab•

• dla czynnika B:

• dla czynnika A:

brak podstaw do odrzucenia H₀

F₀ <F_0,05

brak istotnych różnic

F_0,05 ≤ F₀^∗ < F_0,01

różnice istotne

F_0,01 ≤ F₀^∗∗

różnice wysoce istotne

odrzucamy H₀ na rzecz H_A

Σ=13

Σ=5

Σ=9

Σ=19

F₀ > F_0,05 i F₀ >F_0,01 ⇒ odrzucamy H₀

na rzecz H_A, interakcja jest wysoce istotna - kończymy analizę.

---