Zasada rzutu cechowanego i odwzorowanie podstawowych elementów przestrzeni.     Jak już wspomniano autorzy przyjmują, że Czytelnik zna specyfikę i własności rzutu cecho- wanego jak również podstawowe twierdzenia stereometrii. Jednakże uważamy za celowe aby na wstępie krótko przypomnieć zasady tego rzutu i odwzorowanie podstawowych elementów prze- strzeni oraz aby w dalszym ciągu, szczególnie w przypadkach bardziej złożonych tzw. zadań prze- strzennych, podać te twierdzenia raz jeszcze, stanowią one bowiem podstawę, na której oparty jest algorytm rozwiązania. Definicja 1. Rzut cechowany jest rzutem prostokątnym na wybraną płaszczyznę ( rzutnię ), przy czym rzutom punktów przypisuje się liczby (cechy), których wartości bezwzględne wyrażają oddalenie tych punktów od rzutni. Przyjmijmy w przestrzeni zbiór płaszczyzn równoległych oddalonych od siebie o wcześniej założoną jednostkę. Wyróżnijmy następnie jedną z tych płaszczyzn, którą uważać będziemy za rzutnię ၰ(o) i utożsamiać z płaszczyzną rysunku ( arkuszem kreślarskim ). Wspomniane płaszczyzny nazwiemy głównymi płaszczyznami warstwowymi . Punktom leżącym na rzutni ၰ(o) przypiszemy cechę zero, natomiast punktom należącym do płaszczyzn warstwowych położonych po przeciwnych stronach rzutni - odpowiednio cechy dodatnie i ujemne ( rys.1a).   Rys 1a

 

Obierzmy dowolny punkt A na jednej z głównych płaszczyzn warstwowych , na przykład na ၰ(2). Zgodnie z definicją rzutu cechowanego punkt A'(2) jest odwzorowaniem punktu A (rys.1b). Zauważmy , że odwzorowanie to jest wzajemnie jednoznaczne tzn. każdemu punktowi A przestrze-

 

Rys 1b

 

ni odpowiada jeden punkt A'(cecha) ჎ ၰ(o) i na odwrót każdemu A' (cecha) ჎ ၰ(o) odpowia- da jeden punkt A przestrzeni . Rozpatrzmy teraz dowolną prostą m będącą w położeniu ogólnym tzn. nie równoległą ani nie prostopadłą do płaszczyzn warstwowych (rys.2a ). Prosta m przebija główne płaszczyzny warstwowe ၰ(2) , ၰ(1) , ၰ(o) , ၰ(-1) ,.....odpowiednio w punktach 2 , 1 , 0 , -1 ,... . Ich rzuty zwane stopniami prostej położone są na rzucie prostokątnym m' prostej m. Rzut m'; wraz z

  

Rys 2a

 

leżącymi na nim stopniami nazywamy zestopniowanym rzutem prostej m ( rys.2b) Rzut odcinka zawartego między punktami przebicia dwóch sąsiednich płaszczyzn warstwowych prostą m nazy-

 

Rys 2b

  

wamy modułem tej prostej i oznaczamy symbolem ၭm ( na przykład odcinek 0'1' ). Zmienia- jące się nachylenie prostej względem płaszczyzn warstwowych powoduje zmianę długości jej mo- dułu: im większe nachylenie prostej, tym mniejsza długość modułu i na odwrót. Nachylenie prostej m wyrażone jest za pomocą relacji tgၪ = 1/ၭm , gdzie ၪ jest kątem pod jakim prosta m na- chylona jest do płaszczyzn warstwowych. Weźmy na koniec dowolną płaszczyznę ၡ w położeniu ogólnym tzn. nie równoległą ani nie prostopadłą do płaszczyzn warstwowych ( rys.3a ). Płaszczyzna ၡ przecina te ostatnie w równo-

 

Rys 3a

 

ległych do siebie prostych  2ၡ , 1ၡ , 0ၡ , -1ၡ ... , które nazywamy liniami warstwowymi pła- szczyzny ၡ. Rzutami prostokątnymi tych linii są proste 2ၡ' , 1ၡ' , 0ၡ , -1ၡ',... zwane war- stwicami płaszczyzny ၡ . Wyróżnijmy jedną , dowolną prostą s ze zbioru wszystkich prostych płaszczyzny ၡ prosto- padłych do jej linii warstwowych. Prosta s nazywa się linią (największego) spadu płaszczyzny ၡ, a jej rzut s' jest prostopadły do warstwic tej płaszczyzny. Warstwice wraz z rzutem linii (naj- większego) spadu nazywamy planem warstwicowym płaszczyzny ၡ. (rys.3b).

 

Rys 3b

 

Z kolei moduł rzutu linii spadu jest modułem płaszczyzny ၡ i oznaczamy go symbolem ၭၡ. Podobnie jak w przypadku prostej zmieniające się nachylenie płaszczyzny względem płaszczyzn warstwowych pociąga zmianę długości jej modułu; im większe nachylenie płaszczyzny, tym mniej- szy moduł i na odwrót. Nachyleniem płaszczyzny nazywamy nachylenie jej linii (największego) spadu.   Metoda transformacji, czyli zastosowanie rzutni dodatkowych.   Metoda transformacji T polega na sukcesywnym wprowadzaniu dodatkowych rzutni w taki sposób, aby każda z nich była prostopadła do poprzedniej i aby elementy wyjściowe (proste, pła- szczyzny) posiadające położenie ogólne przyjmowały położenia szczególne, w wyniku czego roz- wiązanie może być łatwo i szybko odczytane. Weźmy na przykład prostą ogólną a i punkt A, których rzuty są dane na rysunku 4a. Jeżeli zadanie polega na znalezieniu najkrótszego odcinka zawartego między prostą a i punktem A, to do rozwiązania musimy za- angażować relacje prostopadłości, konstrukcję przebicia płaszczyzny prostą i kład prostokątny odcinka. Można oczywiście także rozwiązać to zadanie stosując prost- szą metodę, a mianowicie kład płaszczyzny określonej tymi dwoma elementami. Jednak nieza- leżnie od wyboru metody otrzymamy rysunek charakteryzujący się pewnym stopniem graficznej komplikacji. Jeżeli natomiast ten sam problem mamy rozwiązać w przypadku pokazanym na rysunku 4b, gdzie prosta a zajmuje położenie rzutujące ( jej rzut jest punktem ), to wynik jest widoczny natychmiast, ponieważ jest nim długość d odcinka A'(3) - a .     Metoda transformacji T jest narzędziem pozwalającym na przekształcenie prostej w położe- niu ogólnym (rys.4) w prostą posiadającą położenie rzutujące, co pozwala na natychmiastowe

Rys 4

 

odczytanie wyniku.  Jeżeli do rozwiązania wystarczy wprowadzenie tylko jednej rzutni dodatkowej ၰI , będziemy mówili o transformacji jednokrotnej (1T) , je- żeli natomiast zajdzie potrzeba wprowadzenia większej liczby takich rzutni ( ၰI , ၰII , ၰIII , ....ၰn ) będziemy używali nazwy transformacja wielokrotna ( dwukrotna , trójkrotna (2T , 3T) itd. ). Należy zauważyć , że większość zadań występujących w kursie geometrii wykreślnej moż- na rozwiązać za pomocą transformacji jedno lub dwukrotnej . Natomiast rzadko mamy do czynienia z koniecznością zastosowania transformacji trójkrotnej.   Transformacja dla punktu   Jednokrotną transformację ( 1T ) dla punktu przedstawia rysunek 5a. W

 

Rys 5a

 

celu sprowadzenia do zapisu  płaskiego dodatkową rzutnię można zjednoczyć z dowolną płasz- czyzną warstwową na przykład z ၰ(5) . Następnie należy od osi x(5) = ၰ(5) Ⴧ ၰI na prostej odnoszącej z A'(7) i prostopadłej do tej osi odmierzyć różnicę cech między punktem A i płaszczyzną warstwową ၰ(5) , czyli w tym przypadku 2 jednostki (rys.5b ).

 

Rys 5b

 

Punkt A^Ijest pierwszym dodatkowym rzutem punktu A.  Z kolei rysunek 6a przedstawia dwu-

 

Rys 6a

 

krotną (2T) transformację dla punktu A. Aby uzyskać zapis płaski drugą rzutnię dodatkową ၰII zjednoczono z pierwszą ၰI , a tę z pła- szczyzną warstwową ၰ(2) . Warto zauważyć, że drugi rzut dodatkowy A^II (2RD) punktu A otrzymuje się w wyniku odmierzenia odcinka A'(5)x(2)..od osi xI,II =ၰI Ⴧ ၰII na prostopadłej z punktu A^I . ( rys 6b )

 

Rys 6b

 

Transformacja dla prostej.   Dwukrotna transformacja (2T) prostej a w położeniu ogólnym pokazana jest na rysunku 7a.

 

Rys. 7a

 

W tym przypadku celem zastosowania transformacji jest uzyskanie położenia rzutującego pros- tej, a więc przekształcenie jej w punkt. Pierwsza rzutnia dodatkowa nie może być prostopadła do a, ponieważ wówczas posiadała by położenie ogólne, co jest sprzeczne z zasadą wprowadza- nia dodatkowych rzutni (ၰI musi być prostopadła do rzutni poprzedniej, czyli do ၰ0 i oczy- wiście do pozostałych płaszczyzn warstwowych). Po- zostaje zatem przyjęcie ၰI równolegle do a (i jednocześnie na przykład do ၰ(3)), co czyni szczególnym położenie tej prostej względem ၰI Druga rzutnia dodatkowa ၰII może być teraz przyjęta prostopadle do rzutu a^I, czyli także do a, przy czym zachodzi również ၰ II ၰၞ I. Rzut a^II na ၰII jest punktem, a zatem cel transfor- macji prostej a został spełniony. Dla uzyskania zapisu płaskiego (rys.7b) rzutnię ၰII zjedno-

 

Rys 7b

 

czono z ၰI, a tę z kolei  z ၰ(3)   Transformacja dla płaszczyzny .   Na koniec weźmy płaszczyznę ၡ w położeniu ogólnym i dokonajmy jej dwukrotnej transformacji ( rys.8a ).

  

Rys 8a

 

Celem tego przekształcenia jest - podobnie jak w przypadku prostej doprowadzenie płasz- czyzny ၡ do tak szczególnego położenia , aby pozwoliło ono na odczytanie wielkości figur nale- żących do ၡ i  których rzut cechowany jest dany lub na odwrót , na znalezienie rzutu cech wa- nego figur tej płaszczyzny, których rozmiary są z góry narzucone. Pierwsza rzutnia dodatkowa ၰI nie może być równoległa do ၡ, ponieważ wówczas posiadała by ona położenie ogólne, co jest sprzeczne z zasadą przyjmowania rzutni dodatkowych. Należy ją zatem przyjąć prostopadle do ၡ i do wszystkich płaszczyzn warstwowych. Płaszczyzna ၡ jest rzutująca względem ၰI, czyli jej rzu- tem na tę rzutnię jest prosta ၡ^I. Drugą rzutnię dodatkową ၰII można teraz przyjąć równolegle do ၡ  ( prosta xI,II ყყ ၡ^I), przy czym jest także ၰII ၞ ၰI (dopuszczalne jest takie przyjęcie tej rzutni, aby ၰII Ⴚ ၡ , czyli xI,II = ၡ^I ). Drugi rzut dodatkowy płaszczyzny ၡ na ၰII (ukazany za pomocą rzutów 2^II ၡ i 3ၡ jej warstwic 2ၡ i 3ၡ) pozwala na wyznaczenie wielkości figur nale- żących do niej i umieszczenie na ၡ figur o zadanych wymiarach, co oznacza, że cel transformacji tej płaszczyzny został osiągnięty. W celu uzyskania zapisu płaskiego (rys.8b)

 

Rys 8b

 

rzutnię ၰII jednoczy się z ၰI, a tę z kolei z dowolną płaszczyzną warstwową , na przykład w na- szym przypadku z ၰ(2) .      Reasumując, aby zastosować metodę podwójnej transformacji (2T) powinniśmy kierować się następującymi prostymi i praktycznymi zasadami :       1. W przypadku transformacji prostej a w położeniu ogólnym pierwszą rzutnię dodatkową ၰI należy wprowadzić równolegle do tej prostej (x(cecha) ၼၼ a' ), czyli wykonać 1T, natomiast drugą rzutnię dodatkową ၰII prostopadle do a ( xI,II ၞ a^I ).       2. W przypadku transformacji płaszczyzny ၡ w położeniu ogólnym pierwszą rzutnię dodatkową ၰI należy przyjąć prostopadle do tej płaszczyzny [ x(cecha) prostopadła do warstwic płaszczyzny ၡ ], czyli wyko- nać 1T, natomiast drugą rzutnię dodatkową ၰII równolegle do ၡ (xI,II ၼၼ ၡ^I ).       Ponadto zaleca się, niezależnie od ilości wprowadzonych rzutni dodatkowych w celu uproszczenia rzutowania wyróżnić wśród płaszczyzn warstwowych ၰ(n) taką rzutnię ၰ(cecha) , która jest najdogodniejsza ze względu na cechy elementów podlegających transformacji, co sprowadza się do przypisania osi x odpowiedniej cechy

2

---