z1 10, SPRAWOZDANIA czyjeś


Wprowadzenie do systemów telekomunikacyjnych

Seminarium rok 2000/2001

Prowadzący: dr inż. Wojciech J. Krzysztofik

Wykonał: Wojciech Radajewicz (nr ind.: 94884; rok stud./Gr.: III/TEL)

Zadanie Z 1/10

I. Treść zadania

Określić transformatę Fouriera impulsów w. cz.

f(t) =0x01 graphic
0x01 graphic
cos 0x01 graphic
ω0 t dla t 0x01 graphic
τ/2 0x01 graphic

0 dla t  > τ/2

0x08 graphic

Naszkicować ich charakterystykę gęstości widmowej. Dla jakich częstotliwości funkcja ta jest równa 0?

II. Wprowadzenie teoretyczne

Liniowe przekształcenie Fouriera pomaga w rozwiązywaniu wielu zagadnień dotyczących układów liniowych i jest stosowane w różnych dziedzinach nauki. Zastosowanie tego przekształcenia umożliwia rozwiązywanie zagadnień zarówno fizycznych jak i matematycznych. Ponieważ można zmierzyć przebiegi i widma zjawisk elektrycznych np. odpowiednio za pomocą oscyloskopu, a także spektroskopu. Zatem transformaty Fouriera nie są jedynie przekształceniami matematycznymi, ale mają również określony sens fizyczny, skoro widma są transformatami Fouriera przebiegów fizycznych.

Ciągłym przekształceniem Fouriera dokonanym nad funkcją f(t) nazywamy przekształcenie całkowe postaci

F(ω)=0x01 graphic
f(t) e-jωt dt

Odwrotnym przekształceniem Fouriera nazywamy przekształcenie

f(t)=0x01 graphic
f(ω) ejωt 0x01 graphic
.

Transformata Fouriera funkcji f(t) istnieje, jeżeli f(t) jest bezwzględnie całkowalna w przedziale (-∞;+∞), tzn.

0x01 graphic
f(t)dt < ∞.

Przez przekształcenie Fouriera funkcji f(t) można przyporządkować transformatę F(ω), będącą funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej ω. Wobec tego można zapisać, że

F(ω) = F(ω)  ejϕ(ω), gdzie ϕ(ω) = arg F(ω). Przebieg F(ω) w funkcji ω nazywa się ciągłym widmem amplitudowym, przebieg ϕ(ω) ciągłym widmem fazowym funkcji f(t).

W powyższym zadaniu muszę określić transformatę Fouriera dla funkcji cos ω0t. Dlatego niezbędne jest skorzystanie ze wzoru Eulera:

cos ω0t = 0x01 graphic
, a także z poniższych własności przekształcenia Fouriera:

0x01 graphic
= 2Πδ(ω-ω0),

δ(t-t0) = 0x01 graphic
F(ω) = 0x01 graphic
,

F{δ(t)} = 1,

δ(t) ↔ F(ω),

1 ↔ 2Πδ(-ω),

0x01 graphic
↔ δ(t-t0),

0x01 graphic
↔ 2Π δ(t-t0) ⇔ 0x01 graphic
= 2Π δ(ω-ω0),

cos ω0t = 0x01 graphic
= Π[δ(ω-ω0) + δ(ω+ω0)].

III. Rozwiązanie

Określam transformatę Fouriera dla zadanej funkcji.

F(ω)=0x01 graphic
f(t) e-jωt dt = 0x01 graphic
cos ω0t e-jωt dt = 0x01 graphic
0x01 graphic
( 0x01 graphic
+0x01 graphic
)0x01 graphic
0x01 graphic
= 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
+ 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
= 0x01 graphic
0x01 graphic
-0x01 graphic
0x01 graphic
= 0x01 graphic
(0x01 graphic
- 0x01 graphic
) - 0x01 graphic
(0x01 graphic
- -0x01 graphic
) = 0x01 graphic
0x01 graphic
+0x01 graphic
0x01 graphic
= =0x01 graphic
0x01 graphic

W obliczeniach skorzystałem ze wzoru Eulera na sin x= 0x01 graphic
. Sa(x) oznacza 0x01 graphic
.

Poniżej przedstawiam wykres gęstości widmowej F=f(ω)dla dla określonego przebiegu w.cz., oraz obliczenia przy jakich częstotliwościach funkcja F(ω) przyjmuje wartość 0.

0x08 graphic

Funkcja F(ω) jest równa 0 ⇔ gdy 0x01 graphic

0x01 graphic
, gdzie k∈Z

ω=0x01 graphic
, gdzie ω0=0x01 graphic

ω=0x01 graphic
; ω=0x01 graphic
; ω=0x01 graphic
[0x01 graphic
]

ω=2Πf ; 0x01 graphic
=2Πf ; f=0x01 graphic
=0x01 graphic
[Hz] .

IV. Wnioski

Jak widać z obliczonych wyników transformata zadanych impulsów w.cz. jest funkcją skomplikowaną. F(ω)=0x01 graphic
0x01 graphic
Dlatego wykres zostal wykonany z pewnym przybliżeniem. Charakterystyka gęstości widmowej jest funkcją parzystą i osiąga zera dla czestotliwości f=0x01 graphic
, gdzie k∈Z.

1



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Z5 10, SPRAWOZDANIA czyjeś
z1 02, SPRAWOZDANIA czyjeś
z1 15, SPRAWOZDANIA czyjeś
z1 07, SPRAWOZDANIA czyjeś
10 b, SPRAWOZDANIA czyjeś
z1 07a, SPRAWOZDANIA czyjeś
Z1 06, SPRAWOZDANIA czyjeś
silnik jednofazowy 10, SPRAWOZDANIA czyjeś
Z1 13, SPRAWOZDANIA czyjeś
Z1 01, SPRAWOZDANIA czyjeś
Z1 04, SPRAWOZDANIA czyjeś
z1 05, SPRAWOZDANIA czyjeś
protokol(10), SPRAWOZDANIA czyjeś
Z5 10, SPRAWOZDANIA czyjeś
Sprawozdanie 10 Cez, SPRAWOZDANIA czyjeś
Miernictwo 10 Protokół Mrozek, SPRAWOZDANIA czyjeś
713[07] Z1 10 Wykonywanie konse Nieznany
pomoc2cd(1), SPRAWOZDANIA czyjeś

więcej podobnych podstron