• Sofizmaty - prawda czy fałsz?

1.

Weźmy proste równanie z dwoma niewiadomymi:
16x = 12y
Teraz dokonamy kilku przekształceń algebraicznych:
28x - 12x = 21y - 9y
Niektóre z wyrazów przenosimy na drugą stronę równania (pamiętając oczywiście o zmianie znaków):
28x - 21y = 12x - 9y
Wyłączamy wspólne czynniki przed nawiasy:
7(4x - 3y) = 3(4x - 3y)
Obie strony równania dzielimy przez wspólny czynnik, czyli przez (4x - 3y) otrzymując zagadkową równość:
7 = 3

16x = 12y
28x - 12x = 21y - 9y
28x - 21y = 12x - 9y
7(4x - 3y) = 3(4x - 3y) ://(4x - 3y)

i tutaj właśnie tkwi błąd. Dlaczego? Przyjrzyjmy się jeszcze raz startowemu wyrażeniu: 16x = 12y
Podzielmy jego obie strony przez 4, otrzymując:
4x = 3y,
co po przeniesieniu na jedną stronę równania wszystkich wyrazów da nam równość:
4x - 3y = 0
A to oznacza, że dowodząc swoją równość, dokonaliśmy (co prawda ukrytego, ale zawsze...) DZIELENIA PRZEZ ZERO.

2.

Fałszywe równości:

1zł = 10gr × 10gr = 0,1zł × 0,1zł = 0,01zł = 1gr

Wniosek: 1zł = 1gr

W rzeczywistości 1zł ≠ 10gr × 10gr ponieważ: 10gr × 10gr = 100gr² = 0,01zł². Prawdziwa równość wygląda zatem następująco:

1zł = 10 × 10gr = 10 × 0,1zł = 1zł = 100gr

Kwadraty magiczne

Kwadrat magiczny to tablica liczb składająca się z dowolnej ilości wierszy i kolumn, w którą wpisano różne liczby naturalne w ten sposób, że suma liczb w każdym wierszu, w każdej kolumnie i w każdej przekątnej jest taka sama (tzw. suma magiczna). Kwadrat, w którym suma liczb w każdym wierszu i każdej kolumnie jest taka sama, ale sumy liczb w przekątnych są różne, nazywa się półmagicznym.

Niektóre własności kwadratów magicznych:

• Jeśli do każdej liczby w kwadracie dodamy tę samą wartość k, to kwadrat pozostanie magicznym, a jego suma magiczna wzrośnie o n·k.

• Jeśli każdą liczbę w kwadracie pomnożymy przez tę samą wartość k, to kwadrat pozostanie magicznym, a jego suma wzrośnie k-krotnie.

• Jeśli weźmiemy dwa kwadraty magiczne o tym samym rozmiarze i sumach magicznych S₁ i S₂, i dodamy liczby na odpowiadających sobie pozycjach, to otrzymany w wyniku tego dodawania nowy kwadrat też będzie magiczny, a jego suma magiczna wyniesie S₁+S₂ (jednak nie ma gwarancji, że w tym nowym kwadracie wszystkie liczby będą różne).

8		1			6
3		5			7
4		9			2
16			3			2			13
5			10			11			8
9			6			7			12
4			15			14			1
37	48			59			70			81		2	13	24	35
36	38			49			60			71		73	3	14	25
26	28			39			50			61		72	74	4	15
16	27			29			40			51		62	64	75	5
6	17			19			30			41		52	63	65	76
77	7			18			20			31		42	53	55	66
67	78			8			10			21		32	43	54	56
57	68			79			9			11		22	33	44	46
47	58			69			80			1		12	23	34	45

Piramida przedstawiająca potęgowania liczby 11.

1² = 1

11² = 121

111² = 12321

1111² = 1234321

11111² = 123454321

111111² = 12345654321

1111111² = 1234567654321

11111111² = 123456787654321

111111111² = 12345678987654321

1111111111² = 12345678900987654321

Zauważyć można, że:

1. na początku jak i na końcu występuje ta sama liczba

2. podnosząc potęgę co wyższy stopień, można zauważyć, że cyfry wzrastają i maleją w środku liczby

3. podnosząc liczbę powyżej dziesięciu jedynek, liczba zer będzie się powiększać.

Mnożenie lustrzane




2 × 41 = 82 28 = 14 × 2

21 × 32 = 672 276 = 23 × 12

221 × 312 = 68952 25986 = 213 × 122

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Liczby pierwsze otacza wiele tajemnic.

Do najważniejszych tajemnic nierozwiązanych należą:

Liczby zaprzyjaźnione

Liczby m i n nazywamy liczbami zaprzyjaźnionymi wtedy, gdy suma wszystkich dzielników (za wyjątkiem m) liczby m jest równa n, a także suma wszystkich dzielników liczby n (za wyjątkiem n) jest równa liczbie m.

Przykładem liczb zaprzyjaźnionych są liczby 220 i 284, gdyż podzielnikami 220 są 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 i 110, natomiast podzielnikami liczby 284 są 1, 2, 4, 71, 142.

Ponadto mamy:
1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
1+2+4+71+142=220

Innymi liczbami zaprzyjaźnionymi są 1184 i 1210, a także 17296 i 18416 oraz 9363584 i 9437056.

Liczby doskonałe

   Liczbę m nazywamy liczbą doskonałą, gdy jest ona równa sumie wszystkich swoich podzielników (mniejszych od m). Przykładem liczby doskonałej jest 6, bo: 6 = 1 + 2 + 3.

   Inne takie liczby to np. 28, 496 lub 8128.

   Można udowodnić następujące twierdzenie (patrz:
W. Sierpiński Teoria liczb):

   Każdą parzystą liczbę doskonałą można przedstawić w postaci: 2s-1(2s-1), gdy 2s-1 jest liczbą pierwszą.

   Zwróćmy uwagę, że na przykład 6 = 2(22-1).

   Do roku 1994 znaleziono tą metodą 35 liczb doskonałych.

   Jak dotąd nie wiemy jeszcze, czy istnieje nieparzysta liczba doskonała. Jest więc szansa dla poszukiwaczy...

Liczby doskonałe drugiego rzędu

   Liczbę n nazywamy liczbą doskonałą drugiego rzędu, gdy jest ona iloczynem swoich podzielników (mniejszych od n). Przykładem takiej liczby może być 35.

   W książce Teoria liczb W. Sierpińskiego można znaleźć dowód następującego twierdzenia dotyczącego liczb doskonałych drugiego rzędu:

Wszystkie sześciany liczb pierwszych oraz wszystkie liczby mające dokładnie cztery całkowite podzielniki są jedynymi liczbami doskonałymi drugiego rzędu.

   Jako ciekawostkę (i zarazem proste ćwiczenie) podajmy fakt, że jedyną liczbą będącą zarazem liczbą doskonałą i liczbą doskonałą drugiego rzędu jest liczba 6.

Liczby bliźniacze

   Liczbami bliźniaczymi nazywamy parę liczb pierwszych różniących się od siebie o 2. Przykładem liczb bliźniaczych jest para 5 i 7.

   Największą znaną parą liczb bliźniaczych jest para 242206083x238880 +/-1. znaleziona w listopadzie 1995 roku przez K. H. Indekofera i A. Ja'raia z Padeborn University. Łatwo jest zauważyć, że istnieje tylko jedna trójka kolejnych nieparzystych liczb pierwszych, czyli 3, 5 i 7. Zawsze bowiem jedna z kolejnych liczb nieparzystych będzie wielokrotnością trójki.

Duże, wielkie i ogromne liczby

Przedstawiony tu system nazewnictwa liczb obowiązuje w Polsce i jeszcze w kilku krajach (Wielkiej Brytanii, Niemczech), ale w innych, np. w we Francji, Hiszpanii, Stanach Zjednoczonych system jest zupełnie inny. Dla przykładu w systemie amerykańskim bilion oznacza tysiąc milionów, czyli miliard.

jeden	1	10^0
tysiąc	1 000	10^3
milion	1 000 000	10^6
miliard	1 000 000 000	10^9
bilion	1 000 000 000 000	10^12
biliard	1 000 000 000 000 000	10^15
trylion	1 000 000 000 000 000 000	10^18
tryliard	1 000 000 000 000 000 000 000	10^21
kwadrylion	1 000 000 000 000 000 000 000 000	10^24
kwadryliard	1 000 000 000 000 000 000 000 000 000	10^27
kwintylion	1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000	10^30
kwintyliard	1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000	10^33
sekstylion	1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000	10^36
sekstyliard	1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000	10^39
septylion	1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000	10^42
septyliard	...	10^45
oktylion	...	10^48
oktyliard	...	10^51
nonilion	...	10^54
noniliard	...	10^57
decylion	...	10^60
...	...	...
centylion	...	10^100
...	...	...
centezylion	...	10^600

MAGIA MATEMATYCZNA

1.

Pomnóż numer dnia twoich urodzin przez 20. Następnie dodaj 77. Sumę tą pomnóż przez 5 a następnie dodaj liczbę oznaczającą miesiąc twoich urodzin. Wynik pomnóż przez 20 i po raz kolejny dodaj 77. pomnóż wszystko przez 5, dodaj do tego dwie ostatnie cyfry roku twoich urodzin. Powiedz mi wynik a ja ci powiem dokładną datę twoich urodzin.

Działanie na przykładzie daty xx.yy.19zz

{[(xx * 20 + 77) * 5 + yy] * 20 + 77} * 5 + zz = ...

Rozwiązanie

Datę twoich urodzin obliczę odejmując od podanego przez Ciebie wyniku liczbę 38885. Dwie pierwsze cyfry wyniku będą reprezentować dzień, kolejne dwie miesiąc, a pozostałe rok Twoich urodzin.

Przykład - 11 stycznia 1999

11 * 20 + 77 = 297
297 * 5 + 1 = 1486
1486 * 20 + 77 = 29797
29797 * 5 + 99 = 149084
149084 - 38885 = 110199 (11 - dzień, 01 - miesiąc, 99 - rok)

W działaniu występuje dwukrotnie liczba 77. Można ją zastąpić dowolną liczbą (k), wtedy zamiast 38885, czyli 505 * 77, trzeba odjąć 505 * k.








---