Przedziały ufności dla średniej

Model I

Populacja generalna ma rozkład N (m, σ), m - nieznane, σ - znane.

Z populacji pobrano próbkę n-elementową. Przedział ufności dla średniej m wynosi:

- średnia arytmetyczna z wyników próby.

u_α - wyznacza się z rozkładu normalnego

Model II

Populacja generalna ma rozkład N (m, σ), m - nieznane, σ - nieznane.

Z populacji pobrano małą próbkę n-elementową. Przedział ufności dla średniej m wynosi:

lub

,

- średnia arytmetyczna z wyników próby.

t_α - wyznacza się z rozkładu t Studenta

Model III

Populacja generalna ma rozkład N (m, σ), bądź dowolny inny rozkład o średniej m i skończonej wariancji σ² - nieznanej.

Z populacji pobrano dużą próbkę n-elementową (co najmniej kilkadziesiąt). Przedział ufności dla średniej m wynosi:

lub

,

- środek poszczególnego przedziału klasowego,

n_j - liczebność przedziału klasowego,

r - liczba przedziałów klasowych.

Jeżeli liczba przedziałów klasowych r jest mała i długość h każdego przedziału klasowego jest duża, obliczając wartość s należy stosować tzw. poprawkę na grupowanie czyli odjąć od s² wartość 1/12h² a dopiero potem wyciągnąć pierwiastek.

Przedział ufności dla wskaźnika struktury (procentu)

Model

Populacja generalna ma rozkład dwupunktowy z parametrem p, p >0,05. Wylosowano dużą próbę n > 100. Przedział ufności dla wskaźnika struktury p:

Przedział ufności dla wariancji

Model I

Populacja generalna ma rozkład N (m, σ), m - nieznane, σ - nieznane.

Z populacji pobrano próbkę n-elementową (n<30). Z próby oblicza się s² lub
. Przedział ufności dla wariancji σ² wynosi:

lub

c₁, c₂ - wartości zmiennej
z tablicy rozkładu χ (n-1; 1-α).

c₁ dla (1 - 1/2α),

c₂ dla 1/2α

Model II

Populacja generalna ma rozkład N (m, σ) lub zbliżony do normalnego, m - nieznane, σ - nieznane. Z populacji pobrano dużą próbkę n-elementową. Z próby oblicza się s² lub
. Przedział ufności dla odchylenia standardowego σ wynosi:

Zad. 1.

Wytrzymałość pewnego materiału budowlanego jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N (m, σ). W celu oszacowania nieznanej średniej m wytrzymałości tego materiału dokonano pomiarów wytrzymałości na n = 5 wylosowanych niezależnie sztukach tego materiału. Wyniki pomiarów były następujące: (w kG/cm²): 20,4 19,6 22,1 20,/8 21,1. Przyjmując współczynnik ufności 1 - α = 0,99 zbudować przedział ufności dla średniej wytrzymałości m tego materiału.

Zad. 2.

Chcemy oszacować średni staż pracy pracowników pewnego zakładu. W tym celu z populacji pracowników wylosowana została próba n=100 osób i otrzymano następujące wyniki (pogrupowane w szereg rozdzielczy):

Staż pracy w latach xj	Liczba pracowników nj
0 - 2	4
2 - 4	10
4 - 6	55
6 - 8	25
8 - 10	6

Przyjmując współczynnik ufności 1 - α = 0,90, zbudować przedział ufności dla średniego stażu pracy badanej populacji pracowników.

Zad. 3.

W pewnym eksperymencie chemicznym badano czas przebiegu pewnej reakcji. Dokonano
n = 60 niezależnych doświadczeń i otrzymano z nich średnią x_sr = 46 sekund i odchylenie standardowe s = 13 sek. Przyjmując współczynnik ufności 0,99 oszacować metodą przedziałową średni czas potrzeby na przebieg na przebieg tej reakcji.

Zad. 4.

Dokonano n = 7 pomiarów ciśnienia w komorze spalania silnika i otrzymano następujące wyniki (w kG/cm²): 31,85 31,36 30,32 30,90 31,70 32,40 31,60.Ciśnienie to ma rozkład normalny. Metodą przedziałową oszacować średnie ciśnienie w komorze spalania tego silnika przyjmując współczynnik ufności 1 - α = 0,99.

Zad. 5.

W celu oszacowania średniej powierzchni wybudowanych w 1996 roku w Krakowie mieszkań wylosowano niezależnie 120 wybudowanych w tym roku mieszkań i otrzymano dla nich następujący rozkład powierzchni mieszkalnej (w m²):

Powierzchnia mieszkalna	Liczba mieszkań
15 - 25	10
25 - 35	25
35 - 45	40
45 - 55	30
55 - 56	10
65 - 75	5

Zbudować przedział ufności dla średniej powierzchni mieszkań, przyjmując 1 - α = 0,90

Zad. 6.

Oszacować jaki procent studentów jada obiady w stołówkach. Pobrano w tym celu próbkę n = 900 osób i znaleziono w tej próbce m = 300 osób, które jedzą obiady w stołówkach. Dla współczynnika ufności 1 - α = 0,95 zbudować przedział ufności dla procentu badanej kategorii.

Zad. 7.

Badając wytrzymałość pewnego materiału dokonano n = 4 niezależnych pomiarów i otrzymano wyniki (w kG/cm²): 120, 102, 135, 115. Zbudować przedział ufności dla wariancji σ² dla 1 - α = 0, 94.

Zad. 8.

W badaniach budżetów rodzinnych zbadano 632 gospodarstwa domowe i otrzymano dane: średnia miesięczna wydatków wyniosła 1570 zł, odchylenie standardowe 224 zł. Dla współczynnika ufności 1 - α = 0,90 zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowego wydatków.

Wyznaczanie niezbędnej liczby pomiarów

Model I

Populacja generalna ma rozkład N (m, σ), σ² - znane. Chcemy oszacować średnią wartość populacji m na podstawie próby złożonej z n niezależnych elementów. Niezbędną liczebność próby n oblicza się ze wzoru:

u_α, - wartość zmiennej normalnej N(0,1) dla 1 - α;

d - maksymalny ustalony błąd szacunku.

Model II

Populacja generalna ma rozkład N (m, σ), σ² - nieznane,
- znane, mała liczba elementów. Niezbędną liczebność próby n oblicza się ze wzoru:

,

,

n₀ - liczebność małej próby,

t_α - wartość statystyki t-Studenta

Model III

Populacja generalna ma rozkład dwupunktowy z parametrem p. Jeżeli znamy spodziewany rząd wielkości p, to wielkość próby ustala się wg wzoru:

p - spodziewany rząd wielkości szacowanego wskaźnika struktury; q = 1 - p.

Jeżeli nie znamy rzędu wielkości szacowanego wskaźnika struktury p, to przyjmujemy, że pq=1/4 i otrzymujemy wzór:

Zad. 1.

Zbadać ile niezależnych obserwacji powinna liczyć próba, by na jej podstawie można było oszacować średni czas mielenia rudy piaskowcowej w młynie prętowym z błędem maksymalnym 20 minut, współczynnik ufności 0,95. Czas mielenia jest zmienną losową N(m, 40).

Zad. 2.

Oszacować średnią zawartość miedzi w rudzie piaskowcowej. Ile próbek należy pobrać aby przy wsp. ufności 0,95 oszacować tę zawartość metodą przedziałową z błędem maksymalnym 0,01 %Cu, jeżeli próba wstępna 5 niezależnych pomiarów dała następujące wyniki (w % Cu): 2,10 2,12 2,12 2,16 2,10

Zad. 3.

Ile należy wylosować studentów AGH aby oszacować procent palących z błędem maks. 5% i współczynniku ufności 0,90. Szacowany procent palących jest rzędu 70%.

Zad. 4.

Ile należy wylosować puszek konserw do badania, aby oszacować procent zepsutych konserw, który jest przypuszczalnie rzędu 10%, z błędem maks. 5%, współczynnik ufności 0,90.

Zad. 5.

Ilu pacjentów szpitala należy wylosować aby z błędem maks. 10 dni oszacować średni czas przebywania ich w szpitalu, jeżeli próba 15 wylosowanych pacjentów dała następujące czasy przebywania w szpitalu w dniach: 206 184 272 240 225 196 257 217 236 208 190 248 233 260 188. Współczynnik ufności 0,90.

Testy parametryczne (wzory)

1. Test dla wartości średniej

Model I:

Model II:

Model III:

2. Test dla dwóch średnich

Model I:

Model II:

Model III:

3. Test dla wskaźnika struktury

4. Test dla wariancji

Test zgodności χ²

H₀: F(x) ∈ Ω

• Populacja ma rozkład ciągły o dystrybuancie o określonym typie funkcyjnym

• duża próbka (co najmniej kilkadziesiąt)

• wyniki dzielone są na r klas o liczebności n_i każda (
  )

• powstaje hipotetyczny rozkład Ω

n_i - liczebność i-tej klasy

p_i - prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmuje wartości z i-tej klasy w rozkładzie Ω

r - liczba klas

χ­² < χ­²_teoret nie ma podstaw do odrzucenia H₀

χ­² ≥ χ­²_teoret H₀ odrzucamy

Test zgodności λ Kołmogorowa

H₀: F(x) = F₀(x), F₀ - hipotetyczna ciągła dystrybuanta

• populacja ma rozkład ciągły o dystrybuancie F(x)

• duża próbka (co najmniej kilkadziesiąt)

• wyniki są porządkowane w kolejności rosnącej lub w klasach (wąskie przedziały) o liczebnościach n_i

• dla każdego x_i (prawa strona przedziału) wyznacza się wartość empirycznej dystrybuanty F_n(x) ze wzoru:

n_sk - skumulowana liczebność od początku do danej klasy

• korzystając z rozkładu normalnego obliczana jest wartość hipotetycznej dystrybuanty F(x)

D = sup | F_n(x) - F(x) |

λ = D

λ_teoret (α)

λ < λ_teoret nie ma podstaw do odrzucenia H₀

λ ≥ λ_teoret­­ H₀ odrzucamy

7

---