POLITECHNIKA WARSZAWSKA

INSTYTUT RADIOELEKTRONIKI

ZAKŁAD RADIOKOMUNIKACJI

LABORATORIUM SYGNAŁÓW I SYSTEMÓW

Ćwiczenie 1

Temat: MODELE CZĘSTOTLIWOŚCIOWE SYGNAŁÓW

Opracowała: mgr inż. Kajetana Snopek

Warszawa 2002

Cel ćwiczenia

•ilustracja związków między opisem w dziedzinie czasu i częstotliwości dla wybranych sygnałów ciągłych okresowych i impulsowych

•synteza sygnału okresowego

•ilustracja wpływu układu liniowego na widmo sygnału

•badanie widma sygnału zmodulowanego AM

1. Wprowadzenie teoretyczne

1. Szereg trygonometryczny Fouriera

Rozważmy sygnał rzeczywisty okresowy x(t), t∈R o okresie T.

Rozwinięcie tego sygnału względem funkcji harmonicznych sin(kω₀t), cos(kω₀t), k=0,1,2,... ma postać trygonometrycznego szeregu Fouriera postaci:

(1)

gdzie

(2)

oraz

,
jest częstotliwością podstawową sygnału.

Amplitudą k-tej harmonicznej nazywamy
, natomiast fazą k-tej harmonicznej nazywamy
. Widmem amplitudowym nazywamy {|d_k|, k=0,1,2,...}, natomiast widmem fazowym {ψ_k, k=0,1,2,...}.

Jeżeli sygnał jest funkcją parzystą, to współczynniki b_k=0, natomiast w przypadku sygnału nieparzystego a_k=0.

1.2 Szereg wykładniczy Fouriera

Podstawiając do szeregu (1) znane wzory Eulera

otrzymujemy szereg postaci

(3)

gdzie
oraz

Między współczynnikami zachodzi oczywista zależność
.

W tym przypadku k-tą składową harmoniczną nazywamy funkcję

(4)

Amplitudą k-tej składowej harmonicznej nazywamy moduł 2|c_k|, natomiast fazą k-tej składowej harmonicznej arg(c_k)=ϕ_k.

Szereg (2) daje się zapisać w skróconej postaci

(5)

gdzie
, zwanej wykładniczym szeregiem Fouriera. W tym przypadku widmem amplitudowym określamy ciąg {|c_k|, k=0,∓1, ∓2,...}, widmem fazowym ciąg {ϕ_k: ϕ_k=arg(c_k), k=0,∓1, ∓2,...}, natomiast widmem mocy {|c_k|², k=0,1,2,...}. Zauważmy, że w widmie zespolonym występują częstotliwości ujemne, których nie posiada widmo wyznaczone za pomocą trygonometrycznego szeregu Fouriera. Współczynniki c_k szeregu (4) oraz współczynniki a_k i b_k szeregu (2) powiązane są relacjami

oraz c₀ = a₀ (6)

Przykłady

1. sygnał prostokątny o amplitudzie =1 i współczynniku wypełnienia d ma rozwinięcie w szereg Fouriera postaci

(7)

sygnał trójkątny o amplitudzie =1 i współczynniku wypełnienia d ma rozwinięcie w szereg Fouriera postaci

(8)

Współczynnik wypełnienia d jest zdefiniowany jako iloraz

(9)

gdzie parametry T₁ oraz T pokazane są na poniższym rysunku

1.3 Przekształcenie Fouriera

Przekształcenie Fouriera (transformacja Fouriera) znajduje zastosowanie w analizie widmowej sygnałów nieokresowych (np. impulsowych). Jest ono zdefiniowane w sposób następujący

(10)

(11)

gdzie

(12)

1.4 Synteza sygnału

Zadanie syntezy polegające na rekonstrukcji sygnału na podstawie jego widma można efektywnie rozwiązać przy dostatecznie dużej liczbie składowych harmonicznych m (teoretycznie przy m=∞). Do oceny dokładności przybliżenia kształtu danego przebiegu przez szereg Fouriera mogą służyć zależności energetyczne. Jako miarę przybliżenia przyjmijmy odchylenie średniokwadratowe o postaci

(13)

gdzie x(t) jest szeregiem Fouriera określonym wzorem (2), natomiast x_m(t) szeregiem zawierającym tylko m harmonicznych. Można pokazać, że błąd średniokwadratowy jest równy sumie mocy pominiętych składowych harmonicznych, tzn.

(14)

1.5 Współczynnik zawartości harmonicznych

Współczynnikiem zawartości harmonicznych nazywamy wielkość

(15)

1.6 Modulacja AM z falą nośną

Przy modulacji amplitudy z falą nośną funkcja modulująca ma postać

(16)

gdzie m jest stałą określającą głębokość modulacji. Przebieg zmodulowany ma zatem postać analityczną

(17)

gdzie F₀ nazywamy częstotliwością nośną.

Przykład.

Sygnał modulujący ma postać

sygnał zmodulowany można zapisać w postaci

Korzystając z wzorów Eulera otrzymujemy postać

1.7 Wpływ układu liniowego na widmo sygnału

Rozważmy liniowy układ transmisyjny o transmitancji H(s), zdefiniowanej jako stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego przy zerowych warunkach początkowych w chwili t=0

(18)

Jeżeli w układzie transmisyjnym panuje stan ustalony przy pobudzeniu sinusoidalnym o częstotliwości f₀, to zależność między amplitudami zespolonymi sygnału wejściowego X oraz sygnału wyjściowego Y dana jest wzorem

(19)

Charakterystyką amplitudową układu transmisyjnego nazywamy funkcję A(2πf)=
, natomiast charakterystyką fazową funkcję
.

Jeżeli przez układ o transmitancji H(s) przechodzi sygnał okresowy x(t) o częstotliwości podstawowej f₀ oraz widmie {X_k, k=0,∓1, ∓2,...}, to widmo amplitudowe sygnału wyjściowego daje się wyrazić wzorem

(20)

Widmo fazowe sygnału wyjściowego można wyznaczyć z zależności

(21)

Przykład.

Niech liniowym układem transmisyjnym będzie filtr RC o transmitancji

(22)

czyli

(23)

Charakterystyka amplitudowa filtru RC wyraża się wzorem

(24)

natomiast charakterystyka fazowa dana jest wzorem

(25)

2. Zadania do wykonania w domu

2.1 Wyznaczyć na podstawie wzorów (7) i (8) widma amplitudowe, fazowe i mocy następujących sygnałów okresowych o częstotliwości f =1kHz , A=1 V (pierwszych 10 prążków):

1. przebiegu prostokątnego o współczynnikach wypełnienia d=1/2, 1/3

2. przebiegu trójkątnego o współczynnikach wypełnienia d=0,1/2

Obliczyć dla powyższych sygnałów współczynniki zawartości harmonicznych oraz moc sygnału (z definicji).

2.2 Wyprowadzić wzór na transformatę Fouriera

1. impulsu prostokątnego o czasie trwania Tw

2. impulsu trójkątnego o czasie trwania Tw

2.3 Wyznaczyć i naszkicować widma amplitudowe i fazowe następujących sygnałów:

a) sygnału AM zmodulowanego sygnałem sinusoidalnym o częstotliwości f₀=200 Hz i amplitudzie A=1 V; przyjąć F₀=2 kHz, m=0.5

2. sygnału AM zmodulowanego przebiegiem prostokątnym o amplitudzie A=1 V, współczynniku wypełnienia d=1/2 i częstotliwości f₀=200 Hz; przyjąć F₀=2 kHz, m=0.5

W przypadkach a) i b) obliczyć stosunek mocy zawartej w prążkach bocznych do całkowitej mocy sygnału.

2.4 Wyznaczyć widma amplitudowe i fazowe sygnału po przejściu przez filtr RC o parametrach R=20 kΩ, C=220 nF i transmitancji
, na którego wejście podano:

• sygnał sinusoidalny o amplitudzie A=1 V i częstotliwości f₀=1 kHz

• przebieg prostokątny o amplitudzie A=1 V , wypełnieniu d=1/2 oraz częstotliwości 1 kHz

Naszkicować charakterystykę amplitudową i fazową filtru o wymienionych parametrach.

2.5 Wyznaczyć błąd średniokwadratowy aproksymacji fali prostokątnej o amplitudzie A=1V i okresie T=0.001 w funkcji liczby harmonicznych szeregu Fouriera (m=1,2,...10).

3. Zadania do wykonania w laboratorium

Potrzebne przyrządy:

• generator sygnałowy TG230 2MHz

• oscyloskop OX803 35MHz

• komputer z oprogramowaniem (programy analiza.tpt, four.m, syntez.m)

3.1 Badanie widma sygnałów okresowych

Połączyć wyjście generatora sygnałowego MAIN OUT przy pomocy trójnika z oscyloskopem (kanał CH1 lub CH2) i komputerem. Na generatorze ustawić kształt sygnału o zadanej amplitudzie i częstotliwości (patrz punkt 2.1). Obserwować na oscyloskopie generowany sygnał dobierając właściwy współczynnik wypełnienia. Przebiegi niesymetryczne (d≠1/2) otrzymujemy wciskając na generatorze przycisk SYM. Po uzyskaniu właściwego sygnału uruchomić program analiza (pulpit). Na ekranie monitora pojawia się okno z dwoma przyciskami POMIAR i ANALIZA. Po naciśnięciu przycisku ANALIZA na wykresie górnym rysowany jest generowany przebieg, natomiast na wykresie dolnym jego widmo. Istnieje możliwość powiększania wykresów, zmiany ich skali itd.

• przeanalizować widma amplitudowe sygnałów wymienionych w punkcie 2.1.

• dla każdego z sygnałów należy odczytać wartości pierwszych 10 prążków widma, nanieść je na wykres sporządzony w domu lub umieścić w tabelce oraz porównać je z wartościami obliczonymi teoretycznie.

• na podstawie odczytanych wartości obliczyć współczynniki zawartości harmonicznych dla każdego z sygnałów

• na podstawie odczytanych wartości wyznaczyć widmo mocy badanych sygnałów

• obliczyć moc zawartą w 10 pierwszych prążkach widma dla każdego z sygnałów

• skomentować rozbieżności między wynikami teoretycznymi a obliczonymi

3.2 Badanie widma sygnałów impulsowych

Widmo sygnałów impulsowych prostokątnych i trójkątnych obserwowane jest przy pomocy programu four.m. Korzystamy z opcji impuls, która umożliwia analizę transformaty Fouriera sygnałów wymienionych w punkcie 3.2.

• Zaobserwować i opisać zachowanie się widma amplitudowego i fazowego impulsu prostokątnego oraz impulsu trójkątnego w funkcji czasu trwania impulsu

• Czym różni się widmo amplitudowe i widmo mocy impulsu prostokątnego od widma impulsu trójkątnego?

3.3 Badanie widma sygnału AM zmodulowanego napięciem okresowym

Opcja mod.sygnałem umożliwia obserwację sygnału AM zmodulowanego sygnałem sinusoidalnym oraz przebiegiem prostokątnym o zadanych parametrach.

Zaobserwować i opisać sposób, w jaki zmienia się sygnał zmodulowany oraz jego widmo, gdy zmieniamy amplitudę i częstotliwość sygnału modulującego. Na podstawie przykładowych danych obliczyć moc zawartą w prążkach bocznych w stosunku do całkowitej mocy sygnału AM.

3.4 Badanie widma sygnału okresowego po przejściu przez filtr RC

Opcja pobudzenie w programie four.m umożliwia analizę charakterystyk amplitudowej i fazowej filtru RC oraz obejrzenie widma amplitudowego i fazowego sygnału po przejściu przez filtr o zadanych parametrach.

• Zaobserwować widmo sygnału sinusoidalnego oraz fali prostokątnej po przejściu przez filtr RC

• W jaki sposób filtr RC wpływa na widmo amplitudowe i fazowe sygnału?

3.4 Synteza sygnału

Uruchomić program syntez.m (Matlab), który umożliwia wprowadzenie wartości amplitud i faz dziesięciu pierwszych wyrazów szeregu trygonometrycznego Fouriera i obserwację powstającego sygnału.

• dokonać syntezy sygnałów opisanych w punkcie 2.1 korzystając z wyznaczonego w domu ich widma amplitudowego i fazowego. Wprowadzając stopniowo kolejne harmoniczne opisać obserwowane efekty (w szczególności efekt Gibbsa)

• Skomentować rozbieżności między sygnałem aproksymowanym i aproksymującym w przypadku fali prostokątnej i trójkątnej.

• W którym przypadku aproksymacja przy użyciu 10 harmonicznych jest najlepsza?

4. Opis programu four.m

Program four.m służy do obserwacji widma amplitudowego, fazowego i mocy:

• wybranych przebiegów periodycznych

• wybranych sygnałów impulsowych

• sygnałów zmodulowanych AM

• sygnałów okresowych po przejściu przez układ liniowy (filtr RC)

Uruchamiany jest on w programie MATLAB komendą four, po której wywołaniu na ekranie pojawiają się trzy okna. Prawe okno służy do obserwacji widma wybranego sygnału. Lewe górne okno służy do wprowadzania danych, natomiast w lewym dolnym oknie pojawia się analizowany sygnał..

Opis opcji lewego okna:

• przebieg - generowanie wybranego przebiegu okresowego o współczynniku wypełnienia d. Parametry sygnału wprowadzane są z klawiatury po zaznaczeniu wybranego pola myszą. ZAKRES ZMIENNOŚCI SYGNAŁU określa przedział, w którym obserwujemy sygnał. Na wejściu dane przyjmują wartości: A=1 V, f=1000 Hz, w lewym dolnym oknie pojawia się wykres sygnału sinusoidalnego, natomiast w prawym oknie jego widmo amplitudowe.

• impuls - generowanie impulsu o zadanym czasie trwania Tw i amplitudzie A=1 V.

• mod.sygnałem - modulacja sygnału sinusoidalnego o amplitudzie równej 1 i częstotliwości F₀ innym sygnałem (sinusoidalnym bądź falą prostokątną) o amplitudzie A_m i częstotliwości f₀. Po zaznaczeniu tej opcji myszą w lewym części ekranu pojawia się okno służące do wprowadzania parametrów sygnałów modulowanego i modulującego (zmiana amplitudy sygnału modulującego pociąga za sobą zmianę współczynnika mA_m). Przycisk KONIEC umożliwia powrót do menu wyjściowego.

• Pobudzenie - obserwacja charakterystyk amplitudowej i fazowej filtru RC o zadanych parametrach oraz widma amplitudowego i fazowego sygnału na wyjściu filtru. Sygnałem wejściowym jest bądź sygnał sinusoidalny, bądź fala prostokątna o amplitudzie A i częstotliwości f. Po wywołaniu tej opcji pojawia się okno służące do wprowadzania parametrów filtru (R, C, zakres częstotliwości pracy filtru f_min...f_max) oraz parametrów sygnału wejściowego. Klawisz KONIEC umożliwia wyjście z tego menu i powrót do menu wyjściowego.

We wszystkich okienkach klawisz ODCZYT umożliwia odczytanie współrzędnych punktów wykresu widma, które po zaznaczeniu punktu myszą na wykresie pojawiają się w lewym dolnym rogu prawego okna.

Klawisze
umieszczone przy osiach współrzędnych umożliwiają zmianę skali odpowiedniej osi.

Klawisze WIDMO AMPLITUDY, WIDMO FAZOWE i WIDMO MOCY umożliwiają narysowanie wykresów widma amplitudowego, fazowego oraz widma mocy zadanego sygnału.

Klawisz OK służy do zaakceptowania zmian wprowadzanych danych.

Klawisz KONIEC powoduje całkowite wyjście z programu z równoczesnym zamknięciem wszystkich otwartych okienek.

5. Opis programu syntez.m

Program syntez.m jest uruchamiany w MATLAB komendą syntez, po której wywołaniu pojawiają się dwa okna. Lewe okno umożliwia wprowadzanie amplitud i faz aproksymowanego sygnału. Wywołanie opcji przebieg w pasku głównym umożliwia syntezę wybranego sygnału prostokątnego lub trójkątnego o zadanym współczynniku wypełnienia d. Po wprowadzeniu danych i zaakceptowaniu ich przyciskiem OK w prawym oknie można zaobserwować widmo amplitudowe sygnału aproksymowanego oraz wynik aproksymacji.

Klawisz KONIEC zapewnia wyjście z programu i zamknięcie wszystkich otwartych okienek.

LITERATURA

A. Papoulis, Obwody i układy, WKiŁ, Warszawa 1988

J. Szabatin, Podstawy teorii sygnałów, WkiŁ, Warszawa 1990

Sygnały i systemy, Ćwiczenia laboratoryjne, praca zbiorowa pod redakcją Jacka Wojciechowskiego, Warszawa 1998

2

T

T₁

A

-A

t

T

T₁

t

---