Definicja pochodnej funkcji f(x) w punkcie x₀ i jej interpretacja geome-tryczna:Niech funkcja f(x) będzie określona w pewnym otocze-niu x₀.Pochodną funkcji f(x) w punkcie x₀ nazywamy liczbę: f(x₀)=lim?/\x->0 f(x0+/\x)-f(x0)//\x.Twierdzenie o pochodnej funkcji złoż-onej:Jeżeli funkcja y=g(x) jest różniczkowalna w punkcie x₀ i z=f(y),jest różniczkowalna w punkcie y₀=g(x) to funkcja złożona z=(fog)(x) jest różniczkowalna w punkcie x₀ i zachodzi wzór: (fog)`(x) =f`[g(x₀)]*g`(x<sub>0</sub>).Twierdzenie o działaniach algebraicy-nych na pochodnych(Wzory na pochodną sumy,różnicy,ilocz-ynu i ilorazu dwóch funkcji):Jeżeli funkcje f(x) oraz g(x) są róż-niczkowalne w pewnym przedziale otwartym to funkcja:f(x)+ g(x),f(x)-g(x),f(x)*g(x),c*f(x)są różniczkowalne w tym samym przedziale i zachodzą wzory:[f(x)+g(x)]`=f`(x)+g`(x),[f(x)-g(x)]`=f`(x)-g`(x),[f(x)*g(x)]`=f`(x)*g(x)+g`(x)*f(x),[cf(x)]`=cf`(x). Jeżeli założymy dodatkowo,że g(x) jest różne od 0 w rozważa-nym przedziale to różniczkowalna jest funkcja:f(x)/g(x) i zachodzi wzór:[f(x)/g(x)]`=f`(x)*g(x)-g`(x)*f(x)/(g(x))<sup>2</sup>.Warunek konieczny istnienia ekstremum dla funkcji jednej zmiennej:Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x<sub>0</sub> i posiada w punkcie x<sub>0</sub> ekstremum lokalne, to f`(x₀)=0,o ile f`(x<sub>0</sub>) istnieje lub f`(x₀) nie istnieje.Powyższego twierdzenia nie można obrócić,tzn.,że możliwa jest sytuacja,w której pochodna w punkcie x₀ f(x₀)=0 lub f`(x<sub>0</sub>) nie istnieje,a funkcja ekstremum nie posiada.Warunek dostateczny istnien-ia ekstremum dla funkcji jednej zmiennej:Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x<sub>0</sub> i różniczkowalna w pewnym sąsiedztw-ie tego punktu oraz pochodna funkcji zmienia znak w punkcjie x<sub>0</sub> to funkcja f(x) posiada w punkcie x<sub>0</sub> ekstremum lokalne wła-ściwe.Jeśli zmiana znaku jest z + na - to jest to maksimum lok-alne właściwe,a jeśli z - na + to jest to minimum lokalne właśc-iwe.Etapy badania funkcji:1)dziedzina funkcji,2)Badanie funk-cji na krańcach określoności,3)Wyznaczenie punktów przecię-cia wykresu funkcji z osiami współrzędnych:a)punkt przecięcia z osią 0x,b)punkt przecięcia z osią oy,4)Inne wartości funkcji (okresowość,nieokresowaość,parzystkość,nieparzystkość,asymptoty,itd.)5)Obliczanie pochodnej funkcji,6)Dziedzina pochod-nej funkcji,7)Obliczanie miejsc zerowych pochodnej funkcji,8)Badanie znaku pochodnej,9)Tabelka,10)Wykres. Definicja funkcji pierwotnej i jej własności:Funkcj pierwotną F(x) funkcji f(x) nazywamy funkcję spełniającą warunek [F(x)]= f(x).Własności:*Jeśli funkcja f(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) to również funkcja G(x)=F(x)+C (c=stała) jest funkcją pier-wotną funkcji f(x).*Jeśli funkcja F(x) oraz G(x) są funkcjami pierwotnymi w tej samej funkcji f(x),to F(x)-G(x)=constans. Definicja całki nieoznaczonej i jej własności(całka sumy i różnicy dwóch funkcji oraz funkcji pomnożonej przez stałą): Całkę nmieoznaczoną z funkcji f(x) nazywamy zbiór funkcji pierwotnych.Całkę nieoznaczoną zapisujemy ∫f(x)dx.Jeżeli fun-kcja f(x) i g(x) są całkowalne na pewnym przedziale,to funkcja f(x)+g(x),f(x)-g(x)(c=stała)są całkowalne i zachodzą wzory:∫[f(x) +g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx,∫[f(x)-g(x)]dx=∫f(x)dx-∫g(x)dx,∫cf(x)dx =c∫f(x)dx.Wzór na całkowanie przez części: ∫f(x)g`(x)dx= f(x)*g(x)-∫f`(x)g(x)dx,∫udv=uv-∫vdu.Wzór na całkowanie przez podstawianie:∫f[g(x)]g`(x)dx=+∫f(t)dt,gdzie t=g(x),a dt=g`(x)dx.

Macierze i działania na macierzach:Układ m*n elementów aij gdzie 1≤i≤m,1≤j≤n nazywamy m-wierszową i n-kolumnową macierzą.Macierz najczęściej zapisuje się w postaci prosto-kątnej tablicy liczb: W tablicy tej na przecięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny leży element aij. Działania na macierzach: *Równość micierzy-mówimy,że macierz A_mxn=[aij]_mxn jest równa macierzy B_mxn=[bij]_mxn wtedy gdy dla każdego 1≤i≤m i 1≤j≤m aij=bij *Dodawanie macierzy-sumą macierzy A_mxn=[aij]_mxn i macierzy B_mxn=[bij]_mxn nazywamy taka macierz C_mxn=[cij]_mxn,że dla każd-ego 1≤i≤m i dla każdego 1≤j≤m to cij=aij+bij*Mnożenie macierzy przez liczbę rzeczywistą-iloczynem maci-erzy A_mxn=[aij]_mxn przez liczbę CeR nazywamy taką macierz C_mxn= [cij]_mxn,że dla każdego 1≤i≤m,dla każdego 1≤j≤n cij=c*aij *Możenie macierzy przez macierz-iloczynem macierzy A_mxp=[aij]_mxp przez macierz B_mxp=[bij]_mxp nazywamy taką macierz C_mxn=[cij]_mxn, w kt-órej dla każdego 1≤i≤n i dla każdego 1≤j≤m, cji= Σ^p_k=1aik bkj=ai1*b1j+ai2*b2j+…+ aip*bpj.Do wyliczenia iloczynu macierzy stosujemy schemat Falka.

Własności wyznaczników:Każdej macierzy kwadratowej można przyporządkować liczbę rzeczywistą zwaną wyznacznik-iem tej macierzy.*Wyznacznik macierzy stopnia I:det A, det[a₁₁]=a₁₁,det[-5]=-5.*Wyznacznik macierzy stopnia II: det
=a₁₁*a₂₂-a₁₂*a₂₁.*Wyznacznik stopnia III:Oblicza się je za pomocą schematu Sarrusa*Wyznacznik macierzy stopnia wyższego niż III:Minor Mij macierzy kwadratowej A nazywamy wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.

Twierdzenie Laplace`a:Wyznacznik macierzy kwadratowej wyznacza się wzorem:*i-tego wiersza det A=ai1 Di1+ai2 Di2+ ai3 Di3+…+ain Din= Σ ⁿ_j=1aijDij (i=1,2…n).*j-tej kolumny det A=a1j D1j +a2j D2j +a3j D3j +…+anj Dnj= Σ ⁿ_i=1aijDij (j=1,2…n).Twierdzenie o rzędzie macierzy:Rząd macierzy nie zmienia się gdy:poddamy macierz przekształcenią elementar-nym,transponujemy macierz,usuniemy z macierzy wiersz lub kolumnę złożoną z samych 0.Definicja macierzy odwrotnej. Metoda odwracania macierzy(wzór i metoda przekształceń elementarnych):Macierz odwrotną do macierzy kwadratowej i niosobliwej A nazywamy taką macierz A^-1,dla której zachodzi, zę A*A^-1=A^-1*A=I-macierz jednostkowa.*za pomocą wzoru:A^-1=1/detA*A^d, gdzie A^d oznacza tzw.macierz dołączoną czyli trans-ponowaną macierz dopełnień algebraicznych.*przekształceń elementarnych, polega na przeprowadzeniu macierzy [A|I] za pomocą przekształceń elementarnych na wierszach w macierz [I|A^-1].Wzory Crammera i warunki ich stosowania:Jeśli macie-rz A jest kwadratowa i nieosobliwa to układ równań Ax=b posiada dokładnie jedno rozwiązanie wyrażone wzorami:x₁=detA¹/detA, x₂= detA²/detA ,…, x_n= detAⁿ/detA ,gdzie Ai oznacza maci-erz powstałą z macierzy A przez zastąpienie i-tej kolumny,kolu-mną wyrazów wolnych (i=1,2…n).Twierdzenie Kroneckera-Capelliniego:Układ rówań Ax=b posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy A=rzędowi macierzy uzupełnio-nej Ax=b nA=n(U).Jeśli rząd macierzy (A)=n,(U)=n to układ po-siada dokładnie jedno rozwiązanie,n-liczba niewidomych.Jeżeli rząd(A)=n (U)<n to układ równań posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n-rz(A) parametrów.Jeśeli rz(A)=/rz(U) to układ nie posiada rozwiązań.Metoda eliminacji Gaussa(prz-ekształceń elementarnych)rozwiązaywania układów równań liniowych:*Metoda przekształceń elementarnych jest metodą uniwersalną stosowaną do wszytkich możliwych układów rów-nań.Polega na doprowadzeniu macierzy uzupełnionej U do po-staci kanonicznej za pomocą przekształceń elementarnych na wierszach.*Układ równań liniowych ax=b nazywamy oznaczo-nym,gdy posiada dokładnie jedno rozwiązanie.Układ równań ax=b nazywamy nieoznaczonym,gdy posiada nieskończenie wi-ele rozwiązań.Układ równań nazywamy sprzecznym,gdy nie posiada rozwiązań.Twierdzenie Schwarza o pochodnych mies-zanych:Jeślei funkcja z=f(x,y)posiada w swojej dziedzinie D cią-głe,pochodne cząstkowe,mieszane rzędu drugiego to w dziedzinie D zachodzi równość:62f/6y6x=62f/6x6y.Definicja punktów stacjonarnych dla funkcji dwóch zmiennych:Punkt P₀(x₀,y₀)na-zywamy punktem stacjonarnym,gdy pochodne cząstkowe rzę-du pierwszego w tym punkcie są równe 0.Warunek konieczny istnienia ekstremum dla funkcji dwóch zmiennych:Jeśeli fun-kcja z=f(x,y)jest ciągła w punkcie P₀(x₀,y₀)posiada pochodne cząstkowe rzędu pierwszego w tym punkcie oraz ma ekstrem-um lokalne w tym punkcie to:6f/6x|_(x0,y0)=0 i 6f/6y|_(x0,y0)=0.Warunek wystarczający istnienia ekstremum dla funkcji dwóch zmien-nych:Niech W_(x0,y0)= Jeżeli funkcja z=f(x,y) ma w penym otoczeniu U(P₀,δ)punktu stacjonarnego P₀(x₀,y₀)ciągłe wszystkie pochodne cząstkowe rzędu pierwsze-go i drugiego to funkcja ma w punkcie stacjonarnym:*maks. lokalne właściwe,gdy W(x₀,y₀)>0 i 62f/6x2|(x0,y0)<0.*min.lok-alne właściwe,gdy W(x₀,y₀)>0 i 62f/6x2|(x0,y0)>0.*nie posiada ekstremum,gdy W(x₀,y₀)<0.*może posiadać ekstremum lub nie,gdy W(x₀,y₀)=0.Etapy poszukiwania ekstremów funkcji dwóch zmiennych:1)dziedzina funkcji.2)Obliczanie rzedu pierwszego.3)Podstawianie do równania.4)Obliczanie rzędu drugiego.5)Weryfikacja punktów stacjonarnych.

---