Marlena Orlińska 26.22.2009.r.

Wydział: IZ

Nr albumu: 179110

Ćwiczenie nr 81

Wyznaczanie promieni krzywizny soczewki i długości fali świetlnej za pomocą pierścieni Newtona.

Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia jest pomiar promienia krzywizny soczewki oraz długości fali świetlnej przy wykorzystaniu zjawiska interferencji występującego w klinie optycznym.

I. Wstęp teoretyczny:

Gdy wiązka światła pada na powierzchnię rozgraniczającą dwa różne ośrodki (różniące się współczynnikiem załamania), wówczas część światła odbija się, pozostała zaś część przejdzie do ośrodka drugiego. Jeżeli dwie takie powierzchnie tworzą klin, to wiązki odbite od tych powierzchni, jako pochodzące od tego samego źródła wzajemnie ze sobą interferują.

Prążki interferencyjne równej grubości najłatwiej zaobserwować umieszczając na płaskiej płytce szklanej płasko-wypukłą soczewkę. Tworzy się wówczas między powierzchniami klin powietrzny o zmiennym kącie . Prążki interferencyjne powstające w takim klinie tzw. prążki Newtona będą miały kształt kolisty. W miarę wzrostu odległości od środkowego ciemnego (zerowego) prążka, utworzonego w punkcie styku obu powierzchni, kolejne prążki coraz bardziej się zagęszczają, aż przestają być rozróżnialne.

Prążki Newtona można wykorzystać do wyznaczenia promienia krzywizny R soczewki. Należy w tym celu zmierzyć promień r dowolnego k-tego ciemnego prążka oraz znać długość fali użytego światła. Promień krzywizny R obliczamy ze wzoru:

Jeżeli znamy promień krzywizny soczewki R oraz promień k-tego prążka r, który powstał w wyniku interferencji światła monochromatycznego, to jego długość możemy obliczyć przekształcając wzór na promień R. Otrzymujemy wówczas:

II. Część doświadczalna:

Pomiar promienia krzywizny soczewki:

Środek prążków interferencyjnych to s = 5,00±0,01 [mm].

Tabela 1:

	λ [nm]	k	ap [mm]	∆ap [mm]	∆ap/ap	al [mm]	∆al [mm]	∆al/al
	500	2	4,07	0,01	0,0025	5,78	0,01	0,0017
			4,06		0,0025	5,79		0,0017
			4,06		0,0025	5,79		0,0017
			4,07		0,0025	5,78		0,0017
			4,08		0,0025	5,79		0,0017
Średnia			4,068		0,0025	5,786		0,0017
Odchylenie standardowe			0,010			0,006
Odchylenie standardowe średniej			0,004			0,003
	500	5	3,39	0,01	0,0039	6,45	0,01	0,0035
			3,38		0,0039	6,42		0,0036
			3,40		0,0039	6,42		0,0036
Średnia			3,390		0,0039	6,430		0,0036
Odchylenie standardowe			0,013			0,023
Odchylenie standardowe średniej			0,008			0,004
	500	9	2,76	0,01	0,0141	6,97	0,01	0,0019
			2,79		0,0140	6,96		0,0019
Średnia			2,775		0,0140	6,965		0,0019
Odchylenie standardowe			0,039			0,013
Odchylenie standardowe średniej			0,028			0,019
	500	13	2,25	0,01	0,0231	7,43	0,01	0,0017
			2,29		0,0227	7,44		0,0017
Średnia			2,270		0,0229	7,435		0,0017
Odchylenie standardowe			0,052			0,013
Odchylenie standardowe średniej			0,037			0,026

Tabela 2:

	λ [nm]	∆λ [nm]	∆λ/ λ	k	r [mm]	∆r [mm]	∆r/r	R [mm]	∆R [mm]	∆R/R
	500	10	0,02	2	0,859	0,010	0,0116	737,881	31,934	0,0433
				5	1,520	0,018	0,0119	924,160	40,427	0,0437
				9	2,095	0,026	0,0124	975,339	43,697	0,0448
				13	2,583	0,032	0,0126	1026,047	46,326	0,0451
Średnia							0,0121	915,8568	40,5960	0,0442

Promień k-tego prążka policzyłam ze wzoru:

Niepewność promienia r k-tego prążka policzyłam metodą różniczki zupełnej:

Aby ustalić niepewność a_l i a_p policzyłam dla nich odchylenia standardowe pomiarów i porównałam je z niepewnością miernika. Większą wartość wstawiłam do wzoru.

Odchylenie standardowe policzyłam ze wzoru:

Odchylenie standardowe wielkości średniej policzyłam ze wzoru:

Promień krzywizny soczewki policzyłam ze wzoru:

Niepewność pomiaru promienia krzywizny soczewki policzyłam metodą różniczki zupełnej:

Pomiar długości fali światła:

Za promień krzywizny soczewki przyjmuje R = 915,8568 ± 40,5960 [mm].

Środek prążków interferencyjnych to s = 4,85 ± 0,01 [mm].

Tabela 3:

	k	ap [mm]	∆ap [mm]	∆ap/ap	al [mm]	∆al [mm]	∆al/al
	3	3,58	0,01	0,0028	6,10	0,01	0,0033
		3,57		0,0028	6,11		0,0033
		3,58		0,0028	6,12		0,0033
		3,58		0,0028	6,14		0,0033
		3,57		0,0028	6,14		0,0033
Średnia		3,576		0,0028	6,122		0,0033
Odchylenie standardowe		0,006			0,020
Odchylenie standardowe średniej		0,003			0,009
	6	2,99	0,01	0,0051	6,70	0,01	0,0015
		2,99		0,0051	6,70		0,0015
		2,97		0,0051	6,71		0,0015
średnia		2,983		0,0051	6,703		0,0015
Odchylenie standardowe		0,015			0,008
Odchylenie standardowe średniej		0,011			0,005
	10	2,41	0,01	0,0041	7,29	0,01	0,0014
	14	1,95	0,01	0,0051	7,75	0,01	0,0013

Tabela 4:

	k	r [mm]	∆r [mm]	∆r/r	R [mm]	∆R [mm]	∆R/R	λo [nm]	∆λo [nm]	∆λo/λo
	3	1,273	0,015	0,0120	915,857	40,596	0,0442	589,804	40,194	0,0681
	6	1,860	0,013	0,0068				629,574	35,410	0,0578
	10	2,440	0,010	0,0041				650,058	34,090	0,0524
	14	2,900	0,010	0,0034				655,904	33,544	0,0511
Średnia				0,0066				631,3353	35,8095	0,0574

Promień k-tego prążka policzyłam ze wzoru:

Niepewność promienia r k-tego prążka policzyłam metodą różniczki zupełnej:

Aby ustalić niepewność a_l i a_p policzyłam dla nich odchylenia standardowe pomiarów i porównałam je z niepewnością miernika. Większą wartość wstawiłam do wzoru.

Odchylenie standardowe policzyłam ze wzoru:

Odchylenie standardowe wielkości średniej policzyłam ze wzoru:

Długość fali światła policzyłam ze wzoru:

Niepewność pomiaru długości fali światła policzyłam metodą różniczki zupełnej:

Pomiary te zostały wykonane dla fali o długości
[nm], a wynik po wstawieniu promienia krzywizny soczewki (wyliczonego z pierwszego pomiaru) wyniósł:

[nm].

λ - długość fali światła

λ_o - długość fali światła obliczona ze wzoru

k - rząd prążka

a_p - pomiar dla naprowadzonego ramienia krzyża w prawą stronę od środka

a_l - pomiar dla naprowadzonego ramienia krzyża w lewą stronę od środka

r - promień prążka

R - promień krzywizny soczewki

n - ilość pomiarów w danej serii

α - współczynnik Studenta:

n	2	3	5
p = 0,6827	1,837	1,321	1,142

III. Wyniki i ich niepewności:

Promień krzywizny soczewki wyniósł R = 915,8568 ± 40,5960 [mm].

Długość fali światła wyniosła λ_o = 631,3353 ± 35,0895 [nm].

Błąd pomiaru długości fali światła wyniósł 5,22%.

IV. Dyskusja wyników i ich niepewności:

Z pierwszej tabeli widzimy, że niepewności pomiarów dla a_p i a_l są różne. Przy pomiarze dla a_p niepewności rosną wraz ze wzrostem rzędów prążków, a dla a_l niepewności wahają się. Spowodowane jest to tym, iż dużą trudność sprawiało dobre ustawienie krzyża mikroskopu, gdzyż ciężko było go dostrzec. Poza tym prążki o niskim rzędzie były bardzo rozmazane, co wpłynęło na niepewności wszystkich pomiarów. Wpłynęło to również na obliczenie promienia prążków r. Jak widzimy niepewność zwiększa sie, wraz ze wzrostem rzędu prążka.

Zauważyć można także, iż największy wpływ na niepewność promienia krzywizny soczewki R miała niepewność długości fali, gdyż sięga ona rzędu 2,00%.

W trzeciej tabeli zauważamy, iż niepewności dla a_p zwiększają się wraz ze wzrostem rzędów prążków, a niepewności dla a_l zmniejszają sie. Mogło to być spowodowane tym, że po wielu wcześniejszych pomiarach, soczewka mogla sie ruszyć, co spowodowało większe niedokładności.

Widzimy jednak, z czwartej tabeli, że niedokładność promienia rzędów prążków maleje wraz ze wzrostem k. Spowodowane jest to tym, że dla prążków o wyższym indeksie k błąd odczytu był mniejszy, ze względu na ich mniejszą grubość, a co za tym idzie możliwe było bardziej precyzyjne ustawienie krzyża mikroskopu.

Możemy zauważyć, iż na obliczenie niepewności długości fali λ największy wpływ miała niepewność promienia krzywizny soczewki R, gdzyż siega ona rzędu prawie 4,5%.

Po podstawieniu R, które zostało wyliczone dla λ = 500 [nm] do wzoru na obliczenie wartości długości fali dla innego filtra interferencyjnego, który powinien wynieść λ = 600 [nm] wyniósł λ_o = 631,3353 ± 35,0895 [nm]. Kryterium zbieżności wyniosło 5,22%, co świadczy o tym, że pomiar wyszedł z dobra dokładnością.

Za niepewność długości fali przyjęłam szerokość połówkową krzywej.

Z wykresu widzimy liniową zależność między kwadratami promieni kolejnych rzędów prążków, a indeksem rzędu prążka przemnożonym przez długość fali. Można stwierdzić, iż wykres powinien przechodzić przez środek układu współrzędnych, ponieważ prążek zerowy ma promień równy 0. Wykres ten jednak nie przechodzi. Ale jeżeli przesuniemy go równolegle w górę, tak aby został ten sam współczynnik kierunkowy a, to wykres przetnie środek układu współrzędnych.

V. Wnioski:

Niestety nie udało się uniknąć błędów, które są dość znaczne. Największy wpływ na niedokładność pomiarów miał sprzęt (wskazówkowy czujnik zegarowy) oraz liczne zabrudzenia i rysy zarówno na powierzchni płytki jak i soczewki. Wspomniane nieczystości zasłaniały i tak mało ostry obraz, w związku z czym pomiary kolejnych prążków nastręczały wielu trudności. Na szczęście pomimo wspomnianych błędów poszczególne wyniki nie odbiegają od siebie w sposób bardzo znaczący co pozwala stwierdzić, że cel doświadczenia został osiągnięty z pozytywnym skutkiem.

---