M3. badanie drgań struny

Drgania struny występują wtedy, gdy powstaje w niej fala stojąca jako rezultat interferencji poprzecznych fal przeciwbieżnych. Z praw dynamiki wynika, że po każdym odkształceniu poprzecznym struny, np. szarpnięciu, będzie się w niej rozchodziła fala opisana podstawowym równaniem fali poprzecznej

gdzie
jest prędkością z jaką rozchodzi się zaburzenie wzdłuż struny.

Cel

Celem pomiarów jest wyznaczenie częstości drgań własnych struny w zależności od siły napinającej oraz znalezienie gęstości materiału struny.

Wymagania

Zasady dynamiki Newtona, definicja fali, rodzaje fal, parametry opisujące falę: prędkość, częstość długość fali, liczba falowa, amplituda, faza. Równanie fali w postaci różniczkowej i jego rozwiązania. Interferencja fal, fala stojąca w strunie (warunki brzegowe), węzły i strzałki, częstości drgań własnych struny. Zjawisko rezonansu.

Literatura

R. Resnick, D. Halliday, Fizyka, tom I, PWN

F.S. Crawford, Fale, Kurs berkelejowski tom III, PWN

D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki, tom II, PWN

A. Piekara, Elektryczność i magnetyzm , PWN

Opis przyrządu

Podstawa, na której jest rozpięta stalowa struna, jest zamocowana pionowo do ściany pracowni. Górny koniec struny jest trwale unieruchomiony. Jej drugi koniec jest połączony z prętem, na który mogą być nakładane obciążniki o znanej masie, co powodować będzie zmiany napięcia struny. Ponad prętem umieszczona jest śruba aretująca, której dokręcenie ustala długość struny. Napięcie struny zmieniamy przy śrubie aretującej odkręconej, a pomiary prowadzimy przy strunie zaaretowanej. Przy aretowaniu należy uważać, aby struna znalazła się dokładnie pod śrubą, bo tylko wtedy zostanie właściwie unieruchomiona.

Wychylenia struny wywołuje elektromagnes, umieszczony w górnej części podstawy struny, zasilany sinusoidalnym sygnałem z generatora. Częstotliwość sygnału może być, w szerokim zakresie, regulowana w sposób ciągły. Sygnał z generatora jest jednocześnie kierowany do wzmacniacza odchylania pionowego (osi Y) oscyloskopu i do częstościomierza.

Do detekcji drgań struny zastosowano przetwornik elektromagnetyczny dostosowany do pracy z częstotliwościami akustycznymi. Składa się on z magnesu trwałego i osadzonych w pobliżu jego biegunów dwóch cewek z cienkiego drutu. Wprawiona w drgania struna zmienia swą odległość od biegunów magnesu, powodując zmiany strumienia magnetycznego w układzie i indukowanie się sił elektromotorycznych w uzwojeniach cewek. Sygnały z przetwornika są podawane do wzmacniacza odchylania poziomego (osi X) oscyloskopu.

Wyprowadzenie wzoru

Struną nazywamy sprężystą nić, naprężoną i zamocowaną sztywno na obu końcach. Niech w stanie równowagi położenie struny pokrywa się z osią x wybranego układu współrzędnych. Rozważmy mały fragment, o długości Δx, struny wychylonej z położenia równowagi. Na jego końce działają, równe co do wartości, siły
i
pochodzące od sąsiednich elementów struny (III prawo dynamiki). Oznaczmy przez θ₁ i θ₂ kąty jakie tworzą siły
i
z osią x.

Wypadkowa tych sił nada elementowi Δx przyspieszenie

gdzie
, a Δm jest masą tego fragmentu struny. Gdy wychylenie struny jest bardzo małe, to kąty θ₁ i θ₂ są bardzo małe, a wtedy słuszne są przybliżenia
, a także
oraz
. Przyspieszenie elementu Δx zapiszemy

. (*)

Uwaga: Używamy pochodnych cząstkowych, ponieważ wychylenie y zależy zarówno od miejsca na strunie x, jak i od czasu t.

Stwierdzamy, że wychylony z położenia równowagi element Δx uzyskuje przyspieszenie tylko wzdłuż osi y.

Tangensy kątów θ₁ i θ₂ w punktach x₁ i x₂ są z definicji równe nachyleniu krzywej w tych punktach, a nachylenie krzywej określają pochodne
i
(graficzna interpretacja pochodnej), czyli

, a także
.

Ponieważ Δx jest bardzo małe, to funkcję
możemy rozwinąć w szereg Taylora wokół punktu x₁

a zaniedbując wyrazy mnożone przez małe wyższego rzędu, czyli Δx² i wyższe potęgi, otrzymamy

.

Po wstawieniu do równania oznaczonego (*) i przekształceniach będziemy mieli równanie

.

Jest to podstawowe równanie falowe, gdzie prędkość fali
, ρ jest gęstością struny, S jej przekrojem poprzecznym, zaś r promieniem.

Rozważmy jedno z rozwiązań różniczkowego równania falowego zapisując je w postaci:

.

Równanie to opisuje falę o amplitudzie A, częstości ω i liczbie falowej k rozchodzącą się w dodatnim kierunku osi x. W miejscu zamocowania fala ulega odbiciu zaczyna poruszać się w kierunku ujemnej części osi x. W strunie są więc jednocześnie dwie fale biegnące w przeciwnych kierunkach. Wynikiem nałożenia się tych dwóch fal (interferencji) jest fala stojąca o równaniu

.

Fala ta musi znikać w miejscach zamocowania, czyli spełniać następujące warunki brzegowe:

oraz
.

Aby tak się stało
, czyli
, gdzie
. Przekształcając zapiszemy

.

W strunie powstaną tylko takie fale stojące, których długości fal są:
, lub
, lub
, lub
itd. Korzystając ze wzoru
, gdzie ν jest częstotliwością fali, zapiszemy:

.

Wzór ten opisuje częstotliwości drgań własnych struny, czyli jej harmoniki. Gdy n = 1 częstość
nazywamy częstością podstawową lub pierwszą harmoniczną. Gdy n = 2 częstość
nazywamy drugą harmoniczną, gdy n = 3 częstość
nazywamy trzecią harmoniczną itd. Wynika z niego, że każda z harmonik zależy liniowo od pierwiastka z siły naciągu. Do sprawdzenia tej zależności potrzeba znaleźć częstotliwości drgań własnych struny dla różnych naciągów, natomiast by wyznaczyć gęstość materiału, z którego jest wykonana struna, musimy dodatkowo zmierzyć długość struny i promień przekroju poprzecznego.

Wykonanie ćwiczenia

Wyniki wszystkich pomiarów muszą być zapisane w sprawozdaniu, opatrzone odpowiednimi jednostkami i podpisane przez asystenta.

1. Pomiar promienia struny

Mierzymy kilkakrotnie średnicę struny w różnych miejscach na jej obwodzie.

Propozycja zapisu wyników:

d₁ = ...... Δd = ......

d₂ = ...... itd.

gdzie Δd jest błędem systematycznym wynikającym z dokładności przyrządu.

2. Pomiar długości struny

Mierzymy miarką zwojową długość struny pomiędzy miejscami zamocowania.

Propozycja zapisu wyników:

l₁ = ...... Δl = ......

l₂ = ...... itd.

gdzie Δl jest błędem systematycznym wynikającym z dokładności przyrządu.

3. Pomiary częstotliwości drgań własnych

1. Sprawdzamy wstępne ustawienia przyrządów: generator - zakres częstotliwości akustycznych 20 - 2000 Hz, napięcie sygnału wyjściowego U = 7,75 V, dzielnik napięcia - N = 500, częstościomierz na zakresie 1 s.

2. Na odaretowaną strunę zakładamy ciężarki o znanej masie i śrubę aretującą dokręcamy tak, by docisnęła ten fragment struny do obudowy. Masa samego pręta jest równa m_p = 0,145 kg. Początkowa masa pręta i ciężarków powinna wynosić powyżej 1,5 kg.

3. Po włączeniu przez asystenta przyrządów zmieniać będziemy bardzo powoli częstotliwość gałką generatora i obserwować ekran oscyloskopu. Przy poszukiwaniu częstotliwości wzmocnienie sygnału generatora powinno być duże. Gdy częstotliwość generatora jest różna od częstotliwości własnej struny, to na ekranie oscyloskopu obserwujemy linię pionową, odpowiadającą sygnałowi z generatora. Gdy częstotliwość generatora zbliża się do częstotliwości własnej struny, wtedy sygnał z przetwornika rośnie, a na ekranie obserwujemy elipsę. Przy zbyt silnym wzmocnieniu sygnału może się zdarzyć, że struna uderzać będzie o obudowę, wtedy wzmocnienie sygnału wzbudzającego zmniejszamy tak, by na ekranie oscyloskopu mieścił się cały obraz. Gdy struna jest w rezonansie z sygnałem generatora, to sygnał z przetwornika jest największy, czyli składowa X - owa krzywej na ekranie oscyloskopu uzyskuje największą wartość. Pomiary powtarzamy kilkakrotnie.

Uwaga: w rezonansie kształt krzywej obserwowanej na ekranie może ulec zmianie.

4. Dla tego samego naciągu struny znajdujemy drugą i trzecią harmoniczną drgań struny. Każdy pomiar powtarzamy kilkakrotnie.

Uwaga: gdy miniemy już częstotliwość rezonansową dotykamy lekko palcem struny, by przyspieszyć stłumienie drgań.

5. Na odaretowaną strunę zakładamy kolejne ciężarki (siedem różnych obciążeń struny), i po zaaretowaniu znajdujemy kolejne harmoniki.

Propozycja zapisu wyników:

Do tabeli wpisujemy błędy systematyczne wynikające z dokładności przyrządów pomiarowych.

Opracowanie wyników

1. Obliczamy wartości średnie długości struny i jej promienia. Błędy obliczamy metodą Studenta - Fishera.

2. Dla każdej masy obciążników m obliczamy odpowiadającą jej siłę naciągu F i pierwiastek z tej siły
   . Błąd
   liczymy metodą różniczki zupełnej.

3. Na papierze milimetrowym sporządzamy wykres, na którym dla każdej wartości pierwiastka z siły naciągu zaznaczamy częstotliwości harmoniczne. Zaznaczamy również przedziały błędów
   oraz
   .(Wykres można sporządzić wykorzystując programy komputerowe).

4. Metodą najmniejszych kwadratów (regresji liniowej) wyznaczamy dla każdej harmonicznej współczynnik A nachylenia prostej najlepiej dopasowanej do punktów pomiarowych (B=0). Nanosimy te proste na wykres. Wyznaczamy również błędy ΔA.

5. Korzystając z wyznaczonych współczynników A obliczamy gęstość materiału struny. Błąd Δρ obliczamy metodą różniczki zupełnej.

We wnioskach spróbujmy ocenić

• czy wyniki pomiarów potwierdzają liniową zależność częstotliwości własnych struny od pierwiastka z siły naciągu;

• jaka jest korelacja między punktami pomiarowymi a narysowanymi prostymi;

• dla której harmoniki ta korelacja jest najlepsza.

• czy obliczone wartości gęstości materiału struny pokrywają się w granicach błędów doświadczalnych z wartością literaturową przyjmując, że struna jest wykonana z żelaza.

3

θ₁

θ₂

₁

₁

x₁

x₂

x

y

m ν₁ ν₂ ν₃

[jednostka] Δν = ......

---