1. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW SIŁ

Redukcja płaskiego układu sił

Zadanie 1.1

Znaleźć wartość liczbową i równanie linii działania wypadkowej czterech sił przedstawionych na rysunku. Wartości liczbowe sił są następujące: F₁=300 N, F₂=500 N, F₃=300 N, F₄=200 N, a ich punkty przyłożenia widać na rysunku 1.1.1.

Rys.1.1.1

Pierwszym etapem redukcji dowolnego płaskiego układu sił będzie redukcja do punktu O, który jest początkiem naszego układu współrzędnych.

Metoda analityczna

Przygotowujemy współrzędne danych sił względem osie x i y :

F_1x = 0 N F_1y = 300N

F_2x = 500N F_2y = 0 N

F_3x = -300N F_3y = 0 N

F_4x = 200N F_4y = 0 N

Wyznaczamy współrzędne S_x i S_y wektora głównego jako sumy algebraiczne współrzędnych F_ix i F_iy :

Moduł wektora głównego jest równy sumie geometrycznej S_x i S_y :

Jego kierunek i zwrot określamy wyznaczając kąt jaki tworzy on z osią 0x :

a więc α = 36,9^o

Wektor momentu ogólnego naszego układu (płaskiego) jest prostopadły do płaszczyzny działania sił. Wystarczy wyznaczyć jego moduł i zwrot.

Otrzymany wynik dodatni mówi nam, że zwrot M_O jest zgodny z kierunkiem osi „z” prawego układu współrzędnych.

W punkcie O otrzymaliśmy więc dwa prostopadłe wektory S i M_O (wektor główny i moment ogólny).

Musimy zredukować je do jednego wektora równoległego i równego co do modułu wektorowi S zwanego wypadkową W układu sił. Poszukujemy równania prostej zwanej osią centralną układu wzdłuż której działa wektor wypadkowy. Równanie to dla płaskiego układu sił ma postać:

wstawiając wartości:

Metoda wykreślna

Mając wyznaczone wektory S i M_O rysujemy z początku układu O pod kątem α wektor S rys.1.1.2. Następnie z punktu O zataczamy okrąg o promieniu h równym:

Przesuwamy równolegle wektor S stycznie do otrzymanego kręgu, tak by powodował obrót względem punktu O przeciwnie do ruch wskazówek zegara (bo otrzymany M_O>0).

Otrzymany wektor to wypadkowa naszego układu sił, a linia wzdłuż której działa to oś centralna układu.

Rys.1.1.2

Zadanie 1.2

Dany jest układ 4-ech sił działających w płaszczyźnie 0xy układu współrzędnych. F₁=100 N, F₂=200 N, F₃=150 N, F₄=300 N, przyłożonych w punktach : A(5, 5), B(-2, 8), C(-10, -5), D(10, -4). Współrzędne punktów wyrażono w metrach. Siły tworzą z dodatnim kierunkiem osi Ox kąty: α₁= 45^o, α₂= 150^o, α₃= 60^o, α₄=330^o. Rys.1.2.1 Zredukować dany układ do punktu 0 oraz określić położenie wypadkowej.

Rys.1.2.1

Pierwszym etapem będzie redukcja do punktu O.

Wypisujemy współrzędne danych sił względem osi x i y:

F_1x = F₁ cosα₁ =
F_1y = F₁ sinα₁ =

F_2x = F₂ cosα₂ =
F_2y = F₂ sinα₂ =

F_3x = F₃ cosα₃ =
F_3y = F₃ sinα₃ =

F_4x = F₄ cosα₄ =
F_4y = F₄ sinα₄ =

Wyznaczamy współrzędne S_x I S_y wektora głównego:

+ 75 +
= 232,3 N

S_y =

+ 100 +
- 150 = 150,6 N

jego wartość liczbową:

oraz kierunek i zwrot (kąt α jaki tworzą z osią 0x):

Długość wektora momentu ogólnego względem punktu O

Wynik ujemny mówi o tym, że wektor M_O ma zwrot przeciwny do zwrotu osi „z”

W punkcie O otrzymaliśmy dwa prostopadłe wektory S i M_O (wektor główny i moment ogólny).

Drugim etapem jest redukcja do wypadkowej W

Redukujemy wektory S i M_O do jednego wektora równoległego i równego co do modułu wektorowi S zwanego wypadkową W układu sił. Równanie wypadkowej ma postać:

wstawiając wartości:

Można to przedstawić graficznie. Wektor główny należy przesunąć równolegle stycznie do okręgu o promieniu h tak aby względem punktu O kręcił on zgodnie z ruchem wskazówek zegara (M_O<0).

Rys.1.2.2

Redukcja przestrzennego układu sił

Zadanie 1.3

Wzdłuż boków sześcianu o boku równym 1 m działają cztery siły F₁ = 3N, F₂ = 4N, F₃ = 12N, F₄ = 1N, jak pokazano na rysunku 1.3.1. Zredukować podany układ sił do punktu O przyjętego za początek układu współrzędnych. Następnie zredukować układ do skrętnika i napisać równanie osi centralnej.

Rys.1.3.1

Rozwiązanie

Wszystkie wartości sił w obliczeniach podane są w niutonach.

Wyznaczamy współrzędne sił działających na ciało.

F_1x = 3 F_1y = 0 F_1z = 0

F_2x = 0 F_2y = -4 F_2z = 0

F_3x = 0 F_3y = 0 F_3z = 12

F_4x = -1 F_4y = 0 F_4z = 0

Współrzędne wektora głównego (ogólnej sumy) układu wynoszą:

S_x = 3 - 1 = 2

S_y = -4

S_z = 12

Równanie wektora głównego w postaci wektorowej:

zaś długość wektor głównego wyliczmy ze wzoru:

Współrzędne momentu ogólnego M_O wyznaczamy jako momenty sił względem poszczególnych osi układu (ramiona wszystkich sił są równe 1m). Obrót w prawo patrząc wzdłuż danej osi jest dodatni.

Wszystkie wartości momentów będą wyrażone w Nm.

M_x = F₂ 1+F₃ 1 = 4 + 12 = 16

M_y = -F₃ 1 -F₄ 1 = -12 -1 = -13

M_z = -F₁ 1 -F₂ 1 = -3 -4 = -7

Równanie wektorowe momentu głównego:

,

a jego długość:

Możemy teraz wyznaczyć parametr układu ze wzoru:

p = S_x M_x + S_y M_y + S_z M_z =

Ponieważ parametr układu jest równy zeru a S ≠ 0 i M_O ≠ 0 w punkcie O otrzymaliśmy dwa wektory wzajemnie prostopadłe. Układ taki można zredukować do siły wypadkowej równoległej do wektora sumy S i przesuniętej o wielkość h w płaszczyźnie prostopadłe do wektora momentu M_O .

Moduł wektora wypadkowej jest równy modułowi wektora głównego
, zaś równanie osi centralnej na której leży wypadkowa można przedstawić jak równanie prostej przechodzącej przez punkt C i równoległej do wektora

Punkt C jest końcem ramienia h i leży na wypadkowej najbliżej początku układu współrzędnych. Współrzędne punktu C wyznaczamy jako współrzędne końca wektora
. Wektor h jest prostopadły do wektorów S i M₀.

W przypadku ogólnym, gdy kąt pomiędzy
(nazwijmy go α) jest różny od 90⁰ składową momentu M₀ prostopadłą do S (nazwijmy ją M') można wyrazić wzorem:

M' = M₀ sinα = h⋅S

więc:

mnożąc licznik i mianownik prawej strony ostatniego równania przez S otrzymamy

jest to długość wektora

więc h jako wektor opiszemy wzorem

wyliczamy współrzędne h_x, h_y, h_z oznaczone w równaniu osi centralnej jako x_c, y_c, z_c, które są równe wartością podwyznaczników powyższego wyznacznika

więc wektor h możemy zapisać wzorem

wstawiając do równania osi centralnej otrzymamy

Wyznaczenie punktów przebicia osi centralnej z płaszczyznami układu.

Podstawiając z = 0 znajdujemy współrzędne punktu przebicia z płaszczyzną 0xy:

y = 0; przebicie płaszczyzny 0xz:

x - 1,122 = 0,628 x = 1,75

z - 0,232 = 3,768 z = 4,00

Patrz rysunek 1.3.2

Równanie osi centralnej można także przedstawić w postaci krawędziowej:

Oczywiście jest to równanie tej samej prostej.

Rys.1.3.2

Zadanie 1.4

Do ciała sztywnego w punktach o współrzędnych M₁(2,0,1), M₂(1,-1,2), i M₃(3,0,0), wyrażonych w metrach, przyłożono sił o wartościach F₁ = 4N, F₂ = 3N, F₃ = 2N. Kąty kierunkowe tych sił wynoszą:

z osią x z osią y z osią z

siła F₁ α₁ = 60⁰, β₁ =60⁰, γ₁ = 45⁰,

siła F₂ α₂ = 135⁰, β₂ = 60⁰, γ₂ = 60⁰,

siła F₃ α₃ = 90⁰, β₃ = 45⁰, γ₃ = 45⁰.

Zredukować podany układ:

1. do początku układu 0,

2. do skrętnika i napisać równanie osi centralnej (sporządzić perspektywiczny szkic osi centralnej).

Rozwiązanie

Wypiszmy wszystkie dane potrzebne przy dalszych obliczeniach

Współrzędne punktów przyłożenia sił w prostokątnym układzie odniesienia

x₁ = 2, y₁ = 0, z₁ = 1,

x₂ = 1, y₂ = -1, z₂ = 2,

x₃ = 3, y₃ = 0, z₃ = 0.

Współrzędne sił działających na ciało (wartość siły mnożona przez cosinus kąta kierunkowego danej osi)

F_1x = 4 cos60⁰ = 2, F_1y = 4 cos60⁰ = 2, F_1z =

F_2x = 3 cos135⁰ =
F_2y = 3 cos60⁰ = 1,5, F_2z = 3 cos60⁰ = 1,5,

F_3x = 2 cos90⁰ = 0,

Współrzędne wektora głównego (sumy ogólnej) wynoszą

a jego długość

Możemy też przedstawić sumę ogólną jako wektor

Przechodzimy teraz do wyznaczania momentu ogólnego M₀ względem początku układu 0.

Współrzędne momentu ogólnego :

Jego długość :

Zapis wektorowy :

Wyznaczamy teraz parametr układu :

Otrzymaliśmy w punkcie 0 dwa wektory skośne: wektor główny
i wektor ogólnego mmetu
. Ponieważ S, M₀ i p są różne od zera układ można zredukować do skrętnika.

Redukcja do skrętnika

Ponieważ wiemy, że moment ogólny układu sił zależy od położenia bieguna redukcji i zminia się wraz ze zmianą położenia bieguna, szukamy takiego zbioru punktów względem których moment ogólny jest równoległy do wektora głównego. Miejscem geometrycznym takich punktów jest prosta zwana osią centralną. Szukamy więc takiego punktu względem którego moment ogólny M jest równoległy do wektora głównego S. Niech ten punkt nazywa się C. Moment względem nowego bieguna C wyznaczamy ze znanego wzoru

więc współrzędne momentu M_C :

Skoro M_C i S są mają być do siebie równoległe to odpowiednie współrzędne tych wektorów muszą być do siebie proporcjonalne:

lub po podstawieniu:

Jest to równanie osi centralnej w postaci krawędziowej.

Po wstawieniu naszych danych

Chcąc wyznaczyć punkty przebicia osi centralnej z płaszczyznami układu współrzędnych należy w równaniu osi centralnej podstawić kolejno z = 0 (punkt przebicia płaszczyzny 0,x,y) itd. rys.1.4.1.

z równań tych :

x = 2,04m, y = -1,14m

Rys.1.4.1

Moment skętnika jest równoległy do wektora głównego a jego długość M_s wyliczamy jako rzut wektora M₀ na kierunek wektora głównego S

ponieważ

Wektor momentu skrętnika możemy przedstawić jako iloczyn jego długości i wersora kierunku wektora głównego

Zadanie 1.5

Dane są dwie sił działające jak pokazano na rysunku 1.5.1. Zredukować układ do punktu O, a następnie do skrętnika i napisać równanie osi centralnej. Dane F₁ = 3N, F₂ = 4N, a = 2m.

Rys.1.5.1

Rozwiązanie

Rozpisujemy dane potrzebne w trakcie obliczeń

Współrzędne sił :

F_1x = 0, F_1y = F₁ = 3, F_1z = 0,

F_2x = 0, F_2y = 0, F_2z = F₂ = 4,

x₁ = 2, y₁ = 0, z₁ = 0,

x₂ = 0, y₂ = 0, z₂ = 0.

Współrzędne wektora głównego :

Forma wektorowa :

jego długość :

N

cosinusy kierunkowe :

Moment ogólny układu względem punktu O.

W zadaniu tym możemy ale nie musimy posługiwać się wzorami na współrzędne momentu M₀, bo widać wyraźnie, że tylko siła F₁ na ramieniu a daje moment względem osi z.

M_x = 0,

M_y = 0,

M_z = F₁ a = 3 ⋅ 2 = 6

Forma wektorowa momentu ogólnego :

Jest to wektor leżący na osi z

Wyznaczamy parametr układu :

Otrzymaliśmy w punkcie O dwa wektor skośne S i M₀.

Układ ten można również zredukować do skrętnika

Współrzędne punktu C leżącego na osi centralnej najbliżej początku układu wyznaczamy z zależności:

x_C = 0,72m

y_C = 0m

z_C = 0m

wstawiamy do równania osi centralnej :

Moment skrętnika

Wektor momentu skrętnika

Zakładając w równaniu osi centralnej np. z = 0

4x -2,88 = 0

x = 0,72; y = 0,75z

Oś centralna leży więc w płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny 0yz o równaniu y= 0,75z i przecina oś x przy x = 0,72m.

Dla sprawdzenia równanie osi centralnej w postaci krawędziowej powinno mieć postać

Rys.1.5.2

---