1. Wstęp teoretyczny

Modelem wahadła matematycznego jest mała kulka zawieszona swobodnie na długiej nici. Kulka odchylona z położenia równowagi i swobodnie puszczona porusza się ruchem drgającym zwanym wahadłowym. Wahadło będzie wykonywało ruch zbliżony do harmonicznego, pod warunkiem, że wychylimy je z położenia równowagi o niewielki kąt. Tylko wtedy wypadkowa siły ciężkości kulki mg i reakcji nici R jest wprost proporcjonalna do wychylenia i skierowana do środka tzn. ma znak przeciwny do znaku wychylenia.

F_wyp nie jest proporcjonalna do przemieszczenia kątowego , lecz do sin . Zatem ruch nie jest prostym ruchem harmonicznym. Jeżeli kąt  jest mały, to sin jest bardzo bliskie  mierzonemu w radianach. Przemieszczenie wzdłuż łuku wynosi:

i dla małych kątów ruch jest w przybliżeniu prostoliniowy.

Zatem dla małych wychyleń siła F jest proporcjonalna do przemieszczenia ze znakiem przeciwnym. Jest to właśnie wymagane kryterium dla prostego ruchu harmonicznego.

Wielkości przy x określają stałą k w równaniu:

Przy małej amplitudzie okres drgań wahadła prostego wynosi:

Cel doświadczenia:

Celem doświadczenia jest wyznaczenie przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego.

II Przebieg doświadczenia, pomiary

Potrzebne przyrządy:

• Statyw

• Niewielka metalowa kulka, zawieszona na długiej, nierozciągliwej nici

• Suwmiarka

• Linijka

• Stoper

Przebieg doświadczenia:

1.

Mierzymy długość nici od punktu zawieszenia do górnego punktu styczności kulki z płaszczyzną poziomą.

2. Wykonujemy 3 pomiary średnicy kulki za pomocą suwmiarki.

3.

Wychylamy wahadło około 5 cm od położenia równowagi.

4. Za pomocą stopera mierzymy czas 25 pełnych wahnięć.

5. Pomiary wpisujemy do tabeli.

Długość wahadła l [m]	Średnica kulki d [m]	Czas trwania 25 okresów t [s]	Okres T	Przyspieszenie ziemskie g [m/s^2]	Przyspieszenie ziemskie g' [m/s^2]
1,01	0,02004	50	2	9,96	9,96
1,03	0,02	51	2,04	9,76	9,76
1,01	0,02003	50	2	9,96	9,96
lśr =1,017	dśr =0,02002	tśr = 50,3	2,01	gśr = 9,89	g'śr = 9,89
0,89	0,02004	48	1,92	9,52	9,52
0,9	0,02	47	1,88	10,04	10,04
0,89	0,02003	47	1,88	11,06	11,06
lśr =0,893	dśr =0,02002	tśr = 47,3	1,89	gśr = 10,21	g'śr = 10,21
0,78	0,02004	45	1,8	9,5	9,5
0,78	0,02	44	1,76	9,93	9,93
0,78	0,02003	44	1,76	9,93	9,93
lśr =0,78	dśr =0,02002	tśr = 44,3	1,77	gśr = 9,79	g'śr = 9,79

III Obliczenia:

Obliczam T:

T₁ = 2 s

T₂ = 2,04 s

T₃ = 2 s

T₄ = 1,92 s

T₅ = 1,88 s

T₆ = 1,88 s

T₇ = 1,8 s

T₈ = 1,76 s

T₉ = 1,76 s

Obliczam g:

g₁ = 9,96 m/s²

g₂ = 9,76 m/s²

g₃ = 9,96 m/s²

g₄ = 9,52 m/s²

g₅ = 10,04 m/s²

g₆ = 11,06 m/s²

g₇ = 9,5 m/s²

g₈ = 9,93 m/s²

g₉ = 9,93 m/s²

Obliczam g':

korzystam z wcześniejszych obliczeń:

g₁' = 9,96 m/s²

g₂' = 9,76 m/s²

g₃'= 9,96 m/s²

g₄' = 9,52 m/s²

g₅' = 10,04 m/s²

g₆' = 11,06 m/s²

g₇' = 9,5 m/s²

g₈' = 9,93 m/s²

g₉'= 9,93 m/s²

IV. Błędy pomiarowe:

Obliczamy tylko średni błąd kwadratowy Δg`, ponieważ g`=g.

Lp.	g` [m/s^2]	ε	ε^2	εśr^2
1.	9,96	0,07	0,0049	0,15
2.	9,76	-0,13	0,0169
3.	9,96	0,07	0,0049
4.	9,52	-0,69	0,4761
5.	10,04	-0,17	0,0289
6.	11,06	0,85	0,7225
7.	9,5	-0,29	0,0841
8.	9,93	0,14	0,0196
9.	9,93	0,14	0,0196

Obliczenia:

n - liczba pomiarów

ε= g`- g`_śr

g`_śr=9,89 m/s²

g`_śr = 10,21 m/s²

g`_śr = 9,79 m/s²

 g'= 0,044 m/s²

V. Dyskusja błędów

 Największy wpływ na dokładność wyniku ma pomiar okresu, gdyż T występuje we wzorze na obliczanie g w drugiej potędze. Niedokładny pomiar czasu jest przyczyną dość dużego błędu.

 Pomiar długości wahadła będzie obarczony błędem pomiaru długości nici.

 Przy wprawianiu kulki w ruch wystąpiły dodatkowe drgania.

 Wzór jest ściśle słuszny jedynie w przypadku idealnym, kiedy poruszająca się kulka nie jest narażona na żadne opory ruchu. W rzeczywistości istnieje tarcie nici w punkcie jej zawieszenia oraz opór powietrza przeciwko ruchowi wahadła. Nieuwzględnienie tych oporów wprowadza oczywiście pewne systematyczne błędy metody pomiarowej.

VI. Wnioski

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego jest możliwe, ponieważ jak wynika ze wzoru na okres drgań (T) wahadła matematycznego nie zależy on od masy, ani amplitudy, a jedynie od długości wahadła.

Doświadczenie 2:

Cel doświadczenia:

Celem doświadczenia jest zbadanie zależności okresu drgań wahadła matematycznego od jego długości.

II Przebieg doświadczenia, pomiary

Potrzebne przyrządy:

• zestaw komputerowy

• linijka

• wahadło matematyczne

Przebieg doświadczenia:

• odmierzamy 5 różnych długości nici

• wprawiamy wahadło w ruch odchylając kulkę od położenia równowagi o niewielki kąt (α<5⁰)

• wykorzystując program komputerowy, mierzymy okres drgań T wahadła matematycznego dla 5 różnych długości wahadła

Pomiary

Lp.	Długość wahadła l [m]	Okres wahadła T [s]	Przyspieszenie ziemskie g [m/s^2]	Przyspieszenie ziemskie g śr [m/s^2]
1.	0,34	1,182	9,6	9,75
2.	0,32	1,134	9,81
3.	0,21	0,919	9,8
4.	0,16	0,802	9,81

III Obliczenia:

Aby obliczyć g, przekształcam wzór na T:

Obliczam g:

g₁ = 9,6 m/s²

g₂ = 9,81 m/s²

g₃ = 9,8 m/s²

g₄ = 9,81 m/s²

Obliczam g śr^:

g _śr = g₁+ g₂+ g₃+ g₄

g _śr = 9,75 m/s²

IV. Błędy pomiarowe:

Obliczamy średni błąd kwadratowy Δg

Lp.	g [m/s^2]	ε	ε^2	εśr^2
1.	9,6	-0,15	0,0225	0,008
2.	9,81	0,06	0,0036
3.	9,8	0,05	0,0025
4.	9,81	0,06	0,0036

Obliczenia:

n - liczba pomiarów

ε = g - g_śr

g_śr=9,75 m/s²

Δg = 0,026

V. Dyskusja błędów

• Dzięki wykorzystaniu w doświadczeniu zestawu komputerowego pomiar okresu drgań wahadła jest łatwy i dość dokładny

• Pomiar długości wahadła będzie obarczony błędem pomiaru długości nici i niedokładnie zmierzonej długości średnicy kulki.

• Przy wprawianiu kulki w ruch wystąpiły dodatkowe drgania.

• Wzór jest ściśle słuszny jedynie w przypadku idealnym, kiedy poruszająca się kulka nie jest narażona na żadne opory ruchu. W rzeczywistości istnieje tarcie nici w punkcie jej zawieszenia oraz opór powietrza przeciwko ruchowi wahadła. Nieuwzględnienie tych oporów wprowadza oczywiście pewne systematyczne błędy metody pomiarowej.

VI. Wnioski

Doświadczenie to dowodzi o zależności pomiędzy okresem drgań wahadła

matematycznego a jego długością. Jak wynika ze wzoru

gdzie T jest wprost proporcjonalne do l. A więc gdy zwiększymy długość, nici na której zawieszona jest kulka i wprowadzimy wahadło w ruch zauważymy, że wraz ze zwiększeniem długości wahadła zwiększy się okres drgań.

---