Rozwiązania zadań: 1, 2, 3, 4, 6

Zadanie 1

a) p- pada deszcz, q- na dworze jest mokro

Sch Z: p → q

Sch Z1: q → p

Z1: Jeśli na dworze nie jest mokro, to nie pada deszcz.

Uzasadnienie:

Należy wykazać, że prawem logicznym jest schemat wyrażenia o postaci: Z1  Z.

Należy zatem uzasadnić to, że prawem logicznym jest wyrażenie:

(q → p)  (p → q). Podane wyrażenie jest prawem logicznym, ze względu na prawo transpozycji:(p → q)  (q → p) oraz fakt przemienności spójnika równoważności.

Sch Z2: q  p

Z2: Na dworze jest mokro lub nie pada deszcz.

Uzasadnienie:

Weźmy pod uwagę prawo wzajemnej definiowalności spójników logicznych: (p q)  (p→ q). Stosując do niego podstawienia: p/q, q/p otrzymujemy zatem jako prawo logiczne wyrażenie: (q  p)  (q → p). Zdanie Z2 jest zatem równoważne logicznie ze zdaniem Z1, ale skoro Z1 jest równoważne logicznie ze zdaniem Z, zatem Z2 jest również równoważne logicznie ze zdaniem Z.

Sch Z3: (p  q)

Z3: Nieprawda, że zarazem pada deszcz i na dworze nie jest mokro.

Uzasadnienie:

Wykażemy w tabelce, że prawem logicznym jest schemat wyrażenia postaci: Z3  Z.

p q p→q q pq ( pq) ( pq)  (p→q)

0 0 1 1 0 1 1

0 1 1 0 0 1 1

1 0 0 1 1 0 1

1 1 1 0 0 1 1

Zdanie Z3 jest zatem równoważne logicznie ze zdaniem Z.

b) p- norma prawna jest zakazująca, q- norma prawna jest dozwalająca.

Sch Z: p  q

Sch Z1: p → q

Z1: Jeśli norma prawna jest zakazująca, to nie jest dozwalająca.

Uzasadnienie:

Należy wykazać, że prawem logicznym jest schemat wyrażenia: Z → Z1, i jednocześnie nie jest prawem logicznym schemat wyrażenia postaci: Z1 → Z.

Wykazanie metodą nie-wprost: (p  q) → (p → q)

1 1 1 1

1 0 1 0

1 0

0

Do sprawdzenia było wartościowanie: v(p)=1, v(q)=1. Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem o fałszywości całości, zatem sprawdzana funkcja zdaniowa jest prawem logicznym. W związku z tym zdanie Z1 wynika logicznie ze zdania Z.

(p → q) → (p  q)

0 0 0 0

0 1 0 1

lub

1 1

1 0

0

Z założenia o fałszywości następnika głównej implikacji mamy do sprawdzenia wartościowania: 1) v(p)=0, v(q)=0, 2) v(p)=1, v(q)=1. Dla pierwszego z podanych wartościowań całość jest fałszywa, zatem sprawdzana funkcja zdaniowa nie jest tautologią. Ze zdania Z1 nie wynika logicznie zdanie Z.

Sch Z: p  q

Sch Z2: q → p

Z2: Jeśli norma prawna nie jest dozwalająca, to jest zakazująca.

Sprawdzenie w tabelce:

p q q pq q→p (pq)→(q→p) (pq)(q→p)

0 0 1 0 0 1 1

0 1 0 1 1 1 1

1 0 1 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 0

Zgodnie z przedostatnią kolumną tabelki ze zdania Z wynika logicznie zdanie Z2, a zgodnie z ostatnią kolumną tabeli zdania te nie są wzajemnie równoważne logicznie.

.

100. p- pojęcie normy prawnej jest tym samym, co pojęcie przepisu prawnego.

q- pojęcia normy prawnej i przepisu prawnego są często utożsamiane

r- znaczenia pojęć normy prawnej i przepisu prawnego są podobne

s- na jedną normę prawną może się składać parę przepisów prawnych

Sch Z: p

Sch Z1: p  q

Sch Z2: p  r

Sch Z3: s  (s→p)

Zdanie Z1: Pojęcie normy prawnej nie jest tym samym co pojęcie przepisu prawnego, ale pojęcia normy prawnej i przepisu prawnego są często utożsamiane.

Należy wykazać, że prawem logicznym jest schemat implikacji: Z1→ Z, i że schemat implikacji: Z→ Z1 nie jest prawem logicznym.

Na podstawie jednego z praw pochłaniania dla koniunkcji: (p  q) → p, wnioskujemy, że prawem logicznym jest wyrażenie implikacyjne: (p  q) → p (otrzymujemy je z podanego prawa pochłaniania po podstawieniu: p/p). Z kolei implikacja odwrotna, czyli wyrażenie: p → (p  q), nie jest prawem logicznym, ponieważ dla v(p)=0 i v(q) = 0 z podanej funkcji zdaniowej otrzymamy zdanie fałszywe ( 0 → (0  0) = 1 → (1  0) = 1→ 0 = 0 ).

Z2: Pojęcie normy prawnej nie jest tym samym co pojęcie przepisu prawnego, ale

znaczenia pojęć normy prawnej i przepisu prawnego są podobne.

Funkcję zdaniową: (p  r) → p, otrzymujemy jak poprzednio z prawa pochłaniania dla koniunkcji: (p  q) → p, tym razem po podstawieniach: p/ p, q/r. Jest ona zatem prawem logicznym. Implikacja w drugą stronę, czyli p → (p  r), nie jest prawem logicznym. Dla v(p)=0 , v(r)=0 otrzymujemy bowiem: 0 → (0  0) = 1 → (1  0) = 1→ 0 = 0.

Z3: Na jedną normę prawną może się składać parę przepisów prawnych a jeśli na jedną normę prawną może się składać pare przepisów prawnych, to pojęcie normy prawnej nie jest tym samym co pojęcie przepisu prawnego.

Sprawdzenie metodą nie-wprost:

[s  (s→p)] →p

1 1 1 1

1 1 0 0

1 10 0

10 0

0 1

Sprawdzana funkcja zdaniowa jest prawem logicznym, a więc ze zdania Z3 wynika logicznie zdanie Z.

p → s  (s→p)

0 0 0 0

1 0 0 1

1 0 1

1 0

0

Powyższa funkcja zdaniowa nie jest prawem logicznym, zatem ze zdania Z nie wynika logicznie zdanie Z3, a to z kolei prowadzi do wniosku, że zdania Z i Z3 nie są parą zdań równoważnych logicznie.

d) p- Kasia jest starsza od Ani, q- Kasia jest znajomą Ani, r- Ania jest starsza od wszystkich swoich znajomych

Sch Z: p→ (q→  r)

Sch Z1: (p q)→  r

Sch Z2: r → (p q)

Z1: Jeśli Kasia jest starsza od Ani i Kasia jest znajomą Ani, to Ania nie jest starsza od

wszystkich swoich znajomych.

Należy wykazać, że prawem logicznym jest wyrażenie: [(p q)→  r] p→ (q→  r)]. Wyrażenie to otrzymujemy z prawa eksportacji i importacji: [(p q)→ r] p→ (q→r)] po zastosowaniu reguły podstawiania: r/ r, zatem rzeczywiście jest prawem logicznym.

Z2: Jeśli Ania jest starsza od wszystkich swoich znajomych, to albo Kasia nie jest starsza od

Ani albo Kasia nie jest znajomą Ani.

Na podstawie prawa transpozycji: (p → q)  (q → p), prawem logicznym jest również funkcja zdaniowa:[(p q)→ r]   r → (p q)], ponieważ otrzymujemy ją z prawa transpozycji po dokonaniu podstawień: p/(p q), q/r. Na podstawie I prawa De Morgana: (p  q)  (p  q) wyrażenie: p q, jest równoważne logicznie z wyrażeniem: (p  q). Zatem prawem logicznym jest w konsekwencji wyrażenie: [(p q)→ r]  r→ (p  q)]. Zdanie Z2 jest zatem równoważne logicznie ze zdaniem Z1, a ze względu na równoważność logiczną Z1 z Z, wnioskujemy, że Z2 jest równoważne logicznie ze zdaniem Z.

• e) p- Paweł dopuścił się czynu przestępczego, q- udowodnią Pawłowi winę.

• Sch Z: p q

• Sch Z1: (p q)

• Sch Z2: p→q

• Sch Z3: p q

• Z1:Nieprawda, że zarazem Paweł dopuścił się czynu przestępczego i nie udowodnią mu winy

Z2: Jeśli Paweł dopuścił się czynu przestępczego, to udowodnią mu winę.

Z3: Paweł nie dopuścił się czynu przestępczego lub udowodnią mu winę.

Uzasadnienia:

Z1 otrzymaliśmy przez zanegowanie zdania Z, a negacja zdania jest zawsze jędną z form jego zaprzeczenia.

Jednym z praw wzajemnej definiowalności spójników logicznych jest wyrażenie: (p→q)  (p q). Skoro lewa strona tego wyrażenia jest schematem zdania Z2, a prawa- schematem negacji zdania Z, więc zgodnie z definicją zdanie Z2 jest zaprzeczeniem zdania Z.

Stosując regułę podstawiania (z podstawieniem: q/q) do pierwszego prawa De Morgana: (p  q)  (p  q), otrzymujemy jako prawo logiczne wyrażenie:(p  q)  (p  q), które świadczy o tym, że zdanie Z3 jest zaprzeczeniem zdania Z (ponieważ schemat wyrażenia postaci: Z3 Z, jest prawem logicznym).

f) p- pójdę do kina, q- pójdę do teatru.

Sch Z: (p  q)

Sch Z1: p  q

Sch Z2: (p  q)

Sch Z3: p → q

Z1: Pójdę do kina lub pójdę do teatru.

Z2: Nieprawda, że ani nie pójdę do kina ani nie pójdę do teatru.

Z3: Jeśli nie pójdę do kina, to pójdę do teatru.

Uzasadnienie:

Skoro negacja zdania jest jedną z form jego zaprzeczenia, to zdanie bez negacji jest jedną z form zaprzeczenia zdania zanegowanego. Stąd wiadomo, że Z1 jest właściwym zdaniem.

Na podstawie drugiego prawa De Morgana wiadomo, że zdanie o schemacie: (p  q) jest równoważne logicznie ze zdaniem o schemacie: p  q. Wobec tego zdanie o schemacie: p  q (czyli Z1) jest równoważne logicznie ze zdaniem o schemacie: (p  q) (czyli ze zdaniem Z2). Skoro Z1 jest zaprzeczeniem zdania Z, to również Z2 jest zaprzeczeniem Z.

Jedno z paw wzajemnej definiowalności spójników logicznych: (p q)  (p→q), świadczy o równoważności logicznej zdania Z3 ze zdaniem Z1. Skoro zatem Z1 jest zaprzeczeniem zdania Z, to również Z2 jest zaprzeczeniem Z.

g) p- dany podział jest podziałem logicznym, q- dany podział spełnia warunek zupełności, r- dany podział spełnia warunek rozłączności.

Sch Z: p→ (q r)

Sch Z1:  [p→ (q r)]

Sch Z2: p  (q  r)

Sch Z3: (q r) → p]

Z1: Nieprawda, że jeśli dany podział nie jest podziałem logicznym, to zarówno spełnia warunek zupełności jak i warunek rozłączności.

Z2: Dany podział nie jest podziałem logicznym i nieprawda, że zarówno spełnia warunek zupełności jak i warunek rozłączności.

Z3: Nieprawda, że jeśli nie jest tak, że zarazem dany podział spełnia warunek zupełności i spełnia warunek rozłączności, to jest podziałem logicznym.

Uzasadnienie:

Z1 jest negacją zdania Z, a więc jest formą zaprzeczenia zdania Z.

Zgodnie z definicją wystarczy wykazać, że prawem logicznym jest schemat wyrażenia Z2, czyli w przypadku tego zadania- wyrażenie: [p  (q  r)]  p→ (q r)]. To wyrażenie można jednak otrzymać korzystając z prawa negacji implikacji: (p→ q) (p q ). Stosując do prawa negacji implikacji podstawienia:p/p, q/( q r) otrzymujemy jako tautologię wyrażenie:  p→ (q r)]  [p  (q  r)], a ze względu na przemienność spójnika równoważności wiadomo, że prawem jest docelowe wyrażenie.

Na podstawie prawa transpozycji: (p → q)  (q → p) wyrażenie:(q r) → p jest równoważne logicznie z wyrażeniem: p→ (q r). Stosując bowiem do prawa transpozycji podstawienia: p/ (q r), q/p otrzymujemy, że prawem logicznym jest:: [(q r) → p] p→ (q r)]. Dalej po zastosowaniu zasady, że jeśli dwa wyrażenia są równoważne logicznie, to ich negacje między sobą wzajemnie też są równoważne logicznie, wnioskujemy, że zdanie Z3 jest równoważne logicznie z negacją zdania Z.

Zadanie 2

a) Z: Nieprawda, że niektóre ptaki potrafią latać.

P- ptak, L- zwierzę potrafiące latać

Sch Z: (PiL)

Sch Z1: PiL

Sch Z2:(PeL)

Sch Z3:(LeP)

Z1: Niektóre ptaki potrafią latać.

Z2: Nieprawda, że żaden ptak nie potrafi latać.

Z3: Nieprawda, że żadne zwierzę potrafiące latać nie jest ptakiem.

Uzasanienie:

Szukamy zdań Z1, Z2, Z3, równoważnych logicznie ze zdaniem Z.

Ponieważ negacja zdania jest jego zaprzeczeniem, to również zdanie bez negacji jest zaprzeczeniem odpowiedniego zanegowanego zdania. Stąd Z1 jest zaprzeczeniem zdania Z.

Zgodnie ze związkiem sprzeczności wynikającym z kwadratu logicznego prawem logicznym jest wyrażenie: PiL (PeL), a skoro zdanie o schemacie: PiL jest zaprzeczeniem zdania Z, to również zdanie o schemacie: (PeL) jest zaprzeczeniem zdania Z. Zatem Z2 spełnia warunki zadania.

Na podstawie prawa konwersji: PeL LeP wiadomo, że parę zdań równoważnych tworzą zdania o schematach: PeL, LeP. W związku z tym negacje tych zdań też są wzajemnie równoważne logicznie. Skoro zdanie o schemacie:(PeL) spełnia warunki zadania, więc zdanie o schemacie (LeP) również spełnia warunki zadania. Zdanie Z3 jest zatem zaprzeczeniem zdania Z.

b) Z: Każdy Amerykanin lubi jeść.

A- Amerykanin

J- osoba lubiąca jeść.

Sch Z: AaJ

Sch Z1: (AaJ)

Z1: Nieprawda, że każdy Amerykanin lubi jeść.

Uzasadnienie: Negacja zdania jest jedną z form jego zaprzeczenia.

Sch Z2: AoJ

Z2: Niektórzy Amerykanie nie lubią jeść.

Uzasadnienie: Zgodnie z kwadratem logicznym parę zdań sprzecznych tworzą zdania o schematach: AaJ oraz AoJ.

Sch Z3: (TylkoJaA)

Z3: Nieprawda, że tylko osoby lubiące jeść są Amerykanami.

Uzasadnienie: Zgodnie z definicją odpowiedniego zdania ze słowem „tylko” prawem logicznym jest wyrażenie: (TylkoJaA)  JaA. Wobec tego (TylkoJaA) jest równoważna z (AaJ) , zatem jest schematem zaprzeczenia zdania o schemacie AaJ.

c) Z: Niektóre nazwy wyraźne nie są nazwami ostrymi

W-nazwa wyraźna, O- nazwa ostra

Sch Z: WoO

Sch Z1: (WoO)

Z1: Nieprawda, że niektóre nazwy wyraźne nie są nazwami ostrymi.

Uzasadnienie: Zanegowanie zdania daje jedną z form jego zaprzeczenia.

Sch Z2: WaO

Z2: Każda nazwa wyraźna jest nazwą ostrą.

Uzasadnienie: Zgodnie z kwadratem logicznym parę zdań sprzecznych tworzą zdania o schematach: WoO oraz WaO.

Sch Z3: TylkoOaW

Z3: Tylko nazwy ostre są nazwami wyraźnymi.

Uzasadnienie: Zgodnie z definicją zdanie typu: Tylko O jest W, jest równoważne logicznie ze zdaniem typu: Każde W jest O. Skoro zatem zdanie Z2 jest zaprzeczeniem zdania Z, to zdanie Z3 też jest zaprzeczeniem zdania Z.

500. Z: Niektóre ssaki są bezkręgowcami.

S-ssak, B- bezkręgowiec

Sch Z: SiB

Sch Z1: (SiB)

Z1: Nieprawda, że niektóre ssaki są bezkręgowcami.

Uzasadnienie: Negacja zdania jest jedną z form jego zaprzeczenia.

Sch Z2: SeB

Z2: Żaden ssak nie jest bezkręgowcem.

Uzasadnienie: Na podstawie zwiąku sprzeczności podanego w kwadracie logicznym wiadomo, że parę zdań sprzecznych stanowią zdania o schematach: SiB, SeB.

Sch Z3: BeS

Z3: Żaden bezkręgowiec nie jest ssakiem.

Uzasadnienie: Zdanie Z3 jest równoważne logicznie ze zdaniem Z2 na mocy prawa konwersji: BeS  SeB. Skoro Z2 jest zaprzeczeniem zdania Z, więc wobec powyższego Z3 jest też zaprzeczeniem zdania Z.

e) Z: Tylko ssaki nie są bezkręgowcami.

S- ssak, B- bezkręgowiec

Sch Z: TylkoSeB

SchZ1: (TylkoSeB)

Z1: Nieprawda, że tylko ssaki nie są bezkręgowcami.

Uzasadnienie: negacja zdania jest jedną z form jego zaprzeczenia.

SchZ2: (nie-S a B)

nie-S - zwierzę nie będące ssakiem (czyli w skrócie: nie-ssak)

Z2: Nieprawda, że każde zwierzę nie będące ssakiem jest bezkręgowcem (skrócona wersja: Nieprawda, że każdy nie-ssak jest bezkręgowcem)

Uzasadnienie: Zgodnie z definicją zdanie typu: tylko S nie jest B, jest równoważne logicznie ze zdaniem typu: każdy nie-S jest B. Zatem negacja zdania pierwszego typu jest równoważna logicznie negacji zdania drugiego typu.

Sch Z3: nie-S o B

Z3: Niektóre zwierzęta nie będące ssakami nie są bezkręgowcami. (skrócona wersja: Niektóre nie-ssaki nie są bezkręgowcami).

Uzasadnienie: Na podstawie kwadratu logicznego (związku sprzeczności) wiadomo, że prawem logicznym jest wyrażenie: (nie-S o B)  (nie-S a B). Prawa strona tej równoważności jest schematem zaprzeczenia zdania Z, zatem lewa strona również.

f) Wykaż, że zaprzeczeniem zdania Z jest zdanie Z', gdy:

Z: Każdy przestępca jest izolowany od społeczeństwa lub żaden przestępca nie jest

izolowany od społeczeństwa.

Z': Tylko niektórzy przestępcy są izolowani od społeczeństwa.

S- przestępca, P- osoba izolowana od społeczeństwa.

Sch Z: SaP  SeP

Sch Z': SiP  SoP

Wystarczy wykazać, że prawem logicznym jest schemat wyrażenia: Z' Z, czyli w tym wypadku funkcja zdaniowa: (SiP  SoP) (SaP  SeP).Stosując do II prawa De Morgana: (p  q)  (p  q ), następujące podstawienia:p/SaP, q/SeP, otrzymujemy jako prawo logiczne wyrażenie:  (SaP SeP)  (SaP)  (SeP)]. Na podstawie kwadratu logicznego- związku sprzeczności- prawami logicznymi są też wyrażenia: SiP  (SeP), SoP  (SaP). W każdej funkcji zdaniowej można zamiast jego dowolnej części wstawić wyrażenie równoważne logicznie z tą częścią i to co otrzymamy będzie równoważne logicznie z wyjściową funkcją zdaniową. Zatem w szczególności zastępując (SaP) przez SoP, a (SeP) przez SiP otrzymujemy z wyrażenia: (SaP)  (SeP) funkcję zdaniową: SoP SiP.

Wnioskujemy zatem, że prawem logicznym jest wyrażenie: (SaP  SeP)  (SoP  SiP). Z kolei prawa strona tego wyrażenia jest równoważna logicznie (na mocy przemienności koniunkcji) z koniunkcją: (SiP  SoP). Zatem prawem logicznym jest funkcja zdaniowa: (SiP  SoP) (SaP  SeP).

Zadanie 3

a) Podaj jedno zdanie równoważne logicznie ze zdaniem Z (i jednocześnie nie będące tym zdaniem).

Z: Nieprawda, że każda norma prawna jest zawarta w jednym przepisie prawnym.

Rozwiązanie:

S- norma prawna, P-to co jest zawarte w jednym przepisie prawnym

Sch Z:  (SaP)

Sch Z1: SoP

Z1: Niektóre normy prawne nie są zawarte w jednym przepisie prawnym.

Uzasadnienie: wynika to ze związku sprzeczności podanym w kwadracie logicznym. Zgodnie z tym związkiem zdanie o schemacie: SoP, jest zaprzeczeniem zdania o schemacie: SaP.

Zgodnie z definicją zaprzeczenia SoP jest zatem równoważne logicznie z  (SaP).

b) Podaj dwa zdania wynikające logicznie ze zdania Z, ale nie równoważne logicznie z tym zdaniem.

Z: Tylko niektórzy ludzie nie znają warunków poprawności dedukcji.

Rozwiązanie:

C- człowiek, Z- osoba znająca warunki poprawności dedukcji.

Sch Z: TylkoCoZ

Sch Z1: CoZ

Z1: Niektórzy ludzie nie znają warunków poprawności dedukcji

Sch Z2: CiZ

Z2: Niektórzy ludzie znają warunki poprawności dedukcji

Uzasadnienie: Zgodnie z definicją zdanie typu TylkoCoZ jest równoważne logicznie z koniunkcją: CoZ  CiZ. Stosując podstawienia: p/CoZ, q/CiZ do praw pochłaniania dla koniunkcji ((p q)→ p oraz (p q)→ q ). Wnioskujemy, że prawami logicznymi są implikacje: (CoZ  CiZ)→ CoZ oraz (CoZ CiZ)→ CiZ. Zdania Z2 i Z3 wynikają więc logicznie ze zdania Z.

c) Podaj dwa zdania równoważne logicznie ze zdaniem Z (nie będące tym zdaniem) i dwa zdania wynikające logicznie ze zdania Z i jednocześnie nie równoważne logicznie ze zdaniem Z.

Z: Tylko owady są motylami

Rozwiązanie:

O-owad, M-motyl

Sch Z: TylkoOaM

Zdania równoważne logicznie ze zdaniem Z:

Z1:Każdy motyl jest owadem.

Z2:Nieprawda, że niektóre motyle nie są owadami.

Uzasadnienie:

Sch Z1: MaO

Sch Z2: (MoO)

Zgodnie z definicją odpowiedniego zdania ze słowem „tylko” prawem logicznym jest wyrażenie: (TylkoOaM)  MaO. Zatem zgodnie z definicją równoważności logicznej zdanie Z1 jest równoważne logicznie ze zdaniem Z. Z kolei zgodnie ze związkiem sprzeczności na podstawie kwadratu logicznego wiadomo, że prawem logicznym jest wyrażenie: MaO  (MoO). Zatem zdanie Z2 jest równoważne logicznie ze zdaniem Z1, czyli również ze zdaniem Z.

Zdania wynikające logicznie ze zdania Z i jednocześnie nie równoważne logicznie ze zdaniem Z:

Z3: Istnieją motyle będące owadami

Z4: Istnieją owady będące motylami.

Uzasadnienie:

Sch Z3: MiO

Sch Z4: OiM

Uzasadnienie:

Jedno z praw kwadratu logicznego mówiące o związku podporządkowania: MaO→ MiO. Zatem zdanie Z3 wynika logicznie ze zdania Z1 i nie jest z nim równoważne logicznie. Z kolei na podstawie prawa konwersji ograniczonej: MaO→ OiM, wiadomo, że zdanie Z4 wynika logicznie ze zdania Z1 nie będąc z nim równoważnym logicznie. Z kolei ze względu na to, że Z1 jest równoważne logicznie ze zdaniem Z wnioskujemy, że zdania Z3 i Z4 spełniają warunki zadania.

d) Na podstawie kwadratu logicznego podaj zdanie przeciwne do zdania Z (nie będące sprzecznym ze zdaniem Z) oraz zdanie sprzeczne ze zdaniem Z..

Z: Żaden człowiek nie jest blondynem

Rozwiązanie:

Na podstawie kwadratu logicznego parę dań przeciwnych tworzą zdania o schematach: SaP, SeP. Jeśli zatem S-człowiek, P- blondyn, to zdanie Z ma schemat: SeP. Zdaniem przeciwnym z wyjściowym jest więc

Z1: Każdy człowiek jest blondynem

Sch Z1: SaP

Na podstawie kwadratu logicznego w związku sprzeczności są zdania o schematach: SeP, SiP. Zatem zdaniem sprzecznym z wyjściowym jest Z2:Niektórzy ludzie są blondynami (SchZ2: SiP).

e) Podaj zdanie podprzeciwne do zdania Z.

Z: Nieprawda, że żaden człowiek nie jest uczciwy.

Rozwiązanie:

C-człowiek, U-uczciwy

Sch Z: (CeU)

Zgodnie z jednym praw kwadratu logicznego mówiących o związku sprzeczności ( CiU (CeU)) zdaniem równoważnym logicznie ze zdaniem Z jest zdanie o schemacie: CiU. Z kwadratu logicznego wiadomo też, że parę zdań podprzeciwnych tworzą zdania o schematach: CiU oraz CoU. Zdaniem podprzeciwnym względem Z jest zatem zdanie o schemacie: CoU.

Z1: Niektórzy ludzie nie są uczciwi.

f) Podaj dwa zdania równoważne logicznie ze zdaniem Z.

Z: Tylko czyny dozwolone nie są czynami zakazanymi.

Rozwiązanie:

Z1: Każdy czyn niedozwolony jest czynem zakazanym.

Z2: Nieprawda, że niektóre czyny niedozwolone nie są czynami zakazanymi.

Uzasadnienie:

D-czyn dozwolony, Z-czyn zakazany.

Sch Z: TylkoDeZ

Sch Z1: nie-D a Z

Sch Z2: (nie-D o Z)

Zgodnie z prawami kwadratu logicznego parę zdań sprzecznych tworzą zdania o schematach: nie-D o Z, nie-D a Z. Związek ten wyraża się między innymi następującym prawem logicznym: (nie-D a Z)  (nie-D o Z). Zatem zdania Z1 i Z2 są wzajemnie równoważne logicznie. Wystarczy zatem wykazać, że jedno z nich jest też równoważne logicznie ze zdaniem Z (automatycznie wtedy wychodzi, że to drugie zdanie jest równoważne logicznie ze zdaniem Z). Weźmy pod uwagę zdanie Z1. Jest ono równoważne logicznie ze zdaniem Z na mocy definicji: TylkoDeZ  (nie-D a Z)

g) Podaj trzy zdania prawdziwe, z których wynika logicznie zdanie Z.

Z: Niektórzy żołnierze są inżynierami

Rozwiązanie:

Z1: Tylko niektórzy żołnierze są inżynierami

Z2: Tylko niektórzy żołnierze nie są inżynierami.

Z3: Niektórzy inżynierowie są żołnierzami

Uzasadnienie:

Zdania te są prawdziwe, ponieważ to co one głoszą jest zgodne z opisywanym przez nie kawałkiem rzeczywistości. Wystarczy wykazać, że z każdego z tych zdań wynika logicznie zdanie Z.

Niech Ż- żołnierz, I- inżynier.

Sch Z: ŻiI

Sch Z1: TylkoŻiI

Sch Z2: Tylko ŻoI

Sch Z3: IiŻ

Należy wykazać, że prawami logicznymi są schematy następujących implikacji: Z1 → Z, Z2→ Z, Z3→ Z, czyli kolejno:

1. (TylkoŻiI) → ŻiI

2. (TylkoŻoI) → ŻiI

3. IiŻ → ŻiI.

Implikacje 1) i 2) można uzasadnić podobnie jak w podpunkcie b) tego zadania. Jeśli chodzi o implikację 3) zauważmy, że na mocy jednego z praw konwersji nieograniczonej: IiŻ  ŻiI, zdanie o schemacie IiŻ jest równoważne logicznie ze zdaniem o schemacie ŻiI. Ponieważ jednak równoważność logiczne to nic innego jak wynikanie logiczne w obydwie strony, wnioskujemy, że ze zdania Z3 wynika logicznie zdanie Z.

Zadanie 4

Czy podane definicje popełniają błędy definicji równościowych, a jeśli tak to jakie? Czy definicje te traktowane jako sprawozdawcze (na gruncie logiki) popełniają błędy a jeśli tak to jakie (chodzi zatem o błędy w definicjach sprawozdawczych)? Odpowiedzi należy uzasadnić.

a) Wynikanie logiczne jest to taka sytuacja, w której z jednego zdania wynika logicznie drugie

Podana zdania popełnia następujące błędy definicji równościowych:

błąd idem per idem (ponieważ pojęcie definiowane występuje w definiensie), błąd przesunięcia kategorialnego (ponieważ wynikanie logiczne jest relacją międzyzdaniową, a nie sytuacją). Popełniony jest też błąd nieadekwatności- błąd rozłączności zakresów definiendum i definiensa, ponieważ każde przesunięcie kategorialne jest błędem rozłączności.

b) Ze zdania Z1 wynika logicznie zdanie Z2 wtedy i tylko wtedy, gdy ze zdania Z1 wypływa zdanie Z2.

Popełniony jest błąd ignotum per ignotum, ponieważ w definiensie jest pojęcie niezrozumiałe (pojęcie „wypływania”). Nie wiadomo, czy są błędy nieadekwatności, bo to zależy od rozumienia pojęcia „wypływania”.

100. Zdanie Z' jest zaprzeczeniem zdania Z wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie Z' ma inną wartość logiczną niż zdanie Z.

Błędów definicji równościowych nie ma, natomiast jest błąd nieadekwatności- błąd definicji za szerokiej. Jeśli bowiem jedno zdanie jest zaprzeczeniem drugiego, to mają one faktycznie inne wartości logiczne, natomiast z faktu, że dwa zdania mają różne wartości nie wynika, że jedno jest zaprzeczeniem drugiego.

500. Zdanie sprzeczne ze zdaniem Z jest to zdanie, które jest negacją zdania Z

Nie ma błędów definicji równościowych natomiast występuje błąd definicji za wąskiej (zakres definiensa jest podrzędny względem zakresu definiendum)- negacja zdania jest jego zaprzeczeniem tego zdania, ale zaprzeczać można też na inne sposoby.

e) Schemat zdania jest to zdanie w którym jest wartość logiczna zdań jednoprawdziwych lub jednofałszywych.

Popełniony jest błąd ignotum per ignotum, ponieważ nie ma takich pojęć jak „zdanie jednoprawdziwe” i „zdanie jednofałszywe”. Występuje również błąd lapsusa, ponieważ wypowiedź jest niejasna. Występuje w końcu błąd nieadekwatności- rozłączność zakresów definiendum i definiensa- ponieważ żaden schemat zdania nie jest zdaniem.

f) Funkcja spełnialna jest to funkcja zdaniowa, która nie jest ani tautologią ani kontrtautologią. Kontrtautologia jest to funkcja zdaniowa nie będąca ani tautologią ani funkcją spełnialną.

W żadnej z podanych definicji z osobna nie ma błędu, natomiast odbierane łącznie popełniają błąd błędnego koła pośredniego, ponieważ w konsekwencji pojęcie funkcji spełnialnej jest definiowane poprzez pojęcie funkcji spełnialnej.

Zadanie 6

Podaj pięć przykładów nazw, które mają jednocześnie następujące własności:

a) są ogólne, generalne, proste

b) są jednostkowe, generalne, złożone

c) są abstrakcyjne, ogólne

d) są abstrakcyjne, jednostkowe, nieostre

e) są abstrakcyjne, jednostkowe

f) są puste, konkretne, niezbiorowe

g) są abstrakcyjne, generalne, ogólne

h) są ogólne, zbiorowe,

i) są indywidualne, puste, proste

Uzasadnij.

Rozwiązanie:

a) krzesło, stół, kot, pies, prawnik

Każda z tych nazw jest ogólna, ponieważ ma wiele desygnatów (jest wiele krzeseł, stołów, kotów, psów, prawników). Są to również nazwy generalne, ponieważ użyte są ze względu na cechy wspólne swoich desygnatów. W końcu nazwy te są proste, ponieważ są jednowyrazowe.

b) najwyższa góra świata, najmniejsza liczba naturalna, obecny Sejm RP, obecny prezydent RP, zwycięzca finału męskiego sprintu (biegu na 100 metrów) na ostatniej letniej olimpiadzie

Każda tych nazw jest złożona, ponieważ jest wielowyrazowa. Każda jest generalna, ponieważ nazwy te są nadane ze względu na cechy ich desygnatów. Każda z tych nazw jest też jednostkowa, ponieważ kolejno: istnieje jedna góra świata wyższa od innych (Mount Everest), istnieje najmniejsza liczba naturalna- jest nią liczba 0 (względnie 1, w zależności, czy 0 uznamy za liczbę naturalną, czy nie), obecny Sejm RP jest jeden, obecny prezydent RP jest jeden, i w końcu- była taka osoba i była jedna, która zwyciężyła finał męskiego biegu na ostatniej (jak do tej pory) letniej olimpiadzie.

100. płacz, zmęczenie, smutek, radość, bieg

Nazwa te są ogólne, ponieważ mają wiele desygnatów (istniało i istnieje wiele płaczu, zmęczenia, smutku, radości i wiele biegów). Nazwy płacz i bieg są nazwami zdarzeń, zmęczenie, smutek i radość są nazwami odczuć. Zarówno zdarzenia jak i odczucia nie są obiektami materialnymi, zatem odpowiednie nazwy są abstrakcyjne.

d)nie ma takich nazw, ponieważ nie ma nazw zarazem jednostkowych i nieostrych.

Jeśli wiemy, że nazwa jest jednostkowa, to o jej jedynym desygnacie jesteśmy w stanie jednoznacznie orzec (posiadając o nim wystarczającą wiedzę), że jest jej desygnatem. O pozostałych obiektach z kolei powiemy, że nie są desygnatami tej nazwy. Sprowadza się to do wniosku, że o każdym obiekcie jesteśmy w stanie jednoznacznie powiedzieć, czy jest, czy też nie jest desygnatem tej nazwy. Wobec powyższego nazwa jednostkowa jest nazwą ostrą.

e) zbiór wszystkich liczb naturalnych, radość reprezentacji Polski w piłce nożnej z wygranej z Belgami w 2006, smutek osoby ... po przeczytaniu treści zadań egzaminacyjnych z logiki, zbiór wszystkich liczb parzystych, 1+2

Nazwy odczuć oraz nazwy liczb i zbiorów liczbowych są abstrakcyjne (ponieważ nie są nazwami obiektów materialnych). Nazwa zbiór wszystkich liczb naturalnych jest jednostkowa, ponieważ jest jeden zbiór złożony ze wszystkich liczb naturalnych (analogiczne jest wyjaśnienie dotyczące nazwy zbiór wszystkich liczb parzystych). Nazwą 1+2 oznaczamy jedną liczbę (liczbę 3), nazwa radość reprezentacji Polski w piłce nożnej z wygranej z Belgami w 2006 jest jednostkowa, bo w 2006 roku odbył się jeden zwycięski dla Polski mecz piłki nożnej z Belgami i zwycięstwo to dostarczyło reprezentacji Polski dużo radości. Nazwa smutek osoby ... po przeczytaniu treści zadań egzaminacyjnych z logiki jest jednostkowa, o ile osoba wpisana w miejsce wielokropka faktycznie się zasmuciła po przeczytaniu treści zadań egzaminacyjnych z logiki (można by uznać, że wtedy smutek był jedyny w swoim rodzaju).

f) krasnoludek, elf, Zeus, nimfa, król Polski po Poniatowskim

Są to nazwy puste, ponieważ w rzeczywistym świecie nie mają desygnatów. Są nazwami konkretnymi, ponieważ obiekty przez te nazwy wyobrażamy sobie jako materialne. W końcu nazwy te są niezbiorowe, ponieważ ich desygnaty gdyby istniały byłyby obiektami niepodzielnymi (bez łatwo wyodrębnionych części)

g) płacz, zmęczenie, smutek, radość, bieg

Desygnatami pierwszych czterech nazw są odczucia, desygnatami piątej- sytuacje. Desygnaty podanych nazw nie są zatem obiektami materialnymi, zatem nazwy są abstrakcyjne. Wszystkie pięć nazw to nazwy generalne, ponieważ są nadane ze względu na cechy desygnatów. Nazwy te są również ogólne, ponieważ jest wiele płaczu, zmęczenia, smutku, radości i bbiegów.

h) Sejm (rozumiany jako zbiór posłów), las, kodeks karny(rozumiany jako zbiór przepisów), księgozbiór, reprezentacja piłki nożnej.

Nazwy te są zbiorowe, ponieważ poszczególne ich desygnaty składają się z części (częściami Sejmu są posłowie, częściami lasu np. drzewa, częściami kodeksu karnego- przepisy, częściami księgozbioru- książki, częściami reprezentacji piłki nożnej- zawodnicy). Podane nazwy są też ogólne, ponieważ nie jest sprecyzowane np. o Sejm jakiego kraju, czy też z jakiego okresu, chodzi. Podobnie jest z nazwą reprezentacja piłki nożnej oraz nazwą kodeks karny (w różnych krajach jest trochę inny). Nazwy las i księgozbiór są ogólne, bo jest wiele lasów i księgozbiorów.

i)Zeus, Posejdon (jako postaci mityczne), Rumcajs, Pegaz itd.

Są to nazwy puste, ponieważ w świecie rzeczywistym nie mają desygnatów. Są proste, ponieważ każda z nich składa się z jednego wyrazu. Nazwy te są indywidualne, ponieważ nie są nadane ze względu na cechy desygnatów.

1

---