Nr ćwiczenia 303	Data wykonania ćwiczenia 15.12.2004	Kierunek studiów Mechanika i Budowa Maszyn	Grupa M4
Wykonała Grzegorz Rzepka	Data oddania sprawozdania	Semestr III	Ocena
Prowadzący Dr Izabela Hanyż	Temat ćwiczenia Wyznaczanie ogniskowych soczewek ze wzoru soczewkowego oraz metodą Bessela

Soczewka to ciało przezroczyste ograniczone dwoma powierzchniami sferycznymi. Osią optyczną takiej soczewki nazywamy oś łączącą środki krzywizny obu powierzchni. Światło przechodzące przez soczewkę ulega kolejno załamaniu na obu jej powierzchniach. Promień przechodzący przez środek optyczny soczewki nie ulega załamaniu niezależnie od kąta padania na soczewkę. Wiązka promieni biegnąca równolegle do osi optycznej s
kupia się w jednym punkcie, zwanym ogniskiem. Odległość ogniska od środka soczewki to ogniskowa.

Wyróżniamy soczewki skupiające i rozpraszające. Wiązka równoległa, padająca na soczewkę rozpraszającą staje się po przejściu przez nią wiązką rozbieżną. W tym przypadku ogniskiem jest punkt przecięcia się przedłużeń promieni załamanych.

Położenie ogniska zależne jest od współczynnika załamania n materiału soczewki względem ośrodka, w którym się znajduje, oraz od promieni krzywizn obu powierzchni ograniczających R1 i R2. Zależność ogniskowej f od powyższych parametrów określona jest równaniem:

(1)

Promienie wybiegające z punktu P, zwanego przedmiotem, zostają skupione po przejściu przez soczewkę w punkcie O tworząc obraz przedmiotu. Położenie obrazu zależy od położenia przedmiotu oraz od ogniskowej soczewki - określone jest tzw. równaniem soczewkowym:

, (2)

gdzie:

p - odległość przedmiotu od soczewki,

o - odległość obrazu od soczewki.

Równanie (2) może być stosowane, gdy:

a) promienie wybiegające z P tworzą niewielki kąt z osią optyczną;

b) soczewka jest cienka, tzn jej grubość jest mała w porównaniu z promieniami krzywizny.

W stosunku do odległości p, o, R1, R2 oraz f obowiązuje umowa określająca ich znaki:

a) p jest zawsze dodatnie,

b) o, R, f są dodatnie, gdy leżą po przeciwnej stronie soczewki niż przedmiot,

c) o, R, f są ujemne, gdy leżą po tej samej stronie co przedmiot.

Powiększeniem liniowym nazywamy stosunek wielkości obrazu do wielkości przedmiotu lub stosunek odległości obrazu do odległości przedmiotu od soczewki:

m = -
(3)

Ogniskowa układu składającego się z dwóch soczewek cienkich o ogniskowych f₁ i f₂, znajdujących się w odległości d wyraża się wzorem:

(4).

METODY ZNAJDOWANIA OGNISKOWYCH

Na podstawie wzoru soczewkowego

Na ławie optycznej umieszczamy świecący przedmiot, soczewkę oraz ekran w ten sposób, aby na ekranie otrzymać wyraźny obraz przedmiotu. Ekran i soczewka umieszczone są na wózkach, co umożliwia ich przesuwanie wzdłuż ławy. Wskaźnik wózka przesuwający się względem podziałki naniesionej na ławie wyznacza dokładnie położenie wózka lub soczewki.

Ponieważ oszacowanie ostrości obrazu jest połączone z dużą niepewnością, ustawienie wózka powtarzamy kilkakrotnie, notujemy za każdym razem położenie wózka, po czym obliczamy wartość średnią.

Znając odpowiednie położenia obliczamy odległości przedmiotu i obrazu, a następnie z równania (2) znajdujemy ogniskową.

Opisana metoda nie może być stosowana bezpośrednio do soczewek rozpraszających, gdyż nie dają one obrazu rzeczywistego. Możemy jednak obliczyć ogniskową układu złożonego z badanej soczewki rozpraszającej i soczewki skupiającej. Mając ogniskową układu f oraz ogniskową fs soczewki skupiającej, znajdujemy ogniskową fr soczewki rozpraszającej z równania(4).

Przy stosowaniu tej metody należy pamiętać, że obraz rzeczywisty uzyskamy wtedy, gdy spełniony będzie warunek
oraz, że ogniskowa soczewki rozpraszającej jest ujemna.

Metoda Bessela

Odległości obrazu i przedmiotu występują w równaniu (2) w postaci symetrycznej, tzn. że po zamianie ich wartości równanie pozostaje w dalszym ciągu prawdziwe. Fizyczną konsekwencją symetrii równania soczewkowego jest możliwość uzyskania ostrego obrazu przy dwóch położeniach soczewki względem przedmiotu.

Rys.1.Ilustracja metody Bessela

Przy stałej odległości l przedmiotu od ekranu obraz powstaje w odległości o oraz o' = p od soczewki (rysunek). Przy jednym położeniu obraz jest pomniejszony, a przy drugim powiększony w stosunku do przedmiotu.

Na podstawie rysunku możemy napisać układ równań

o + p = l

o - p = e

Z powyższych równań wyliczamy p oraz o i następnie wstawiamy do równania (2), otrzymując po prostych przekształceniach

(5)

Aby wyznaczyć ogniskową soczewki lub układu soczewek z równania (5) należy zmierzyć odległość przedmiotu od ekranu l odległość e między dwoma położeniami soczewki, przy których obraz na ekranie jest ostry.

WYNIKI POMIARÓW

Dla soczewki B:

Nr pomiaru	o[m]	p[m]	o'[m]	p'[m]
1.	0,433	0,567	0,561	0,439

Dla soczewki A:

Nr pomiaru	o[m]	p[m]	o'[m]	p'[m]
1.	0,133	0,397	0,379	0,151
2.	0,147	0,333	0,342	0,158
3.	0,165	0,285	0,272	0,178
4.	0,130	0,470	0,459	0,141
5.	0,125	0,575	0,563	0,137

Dla układu soczewek 5-A:

Nr pomiaru	o[m]	p[m]	o'[m]	p'[m]
1.	0,127	0,573	0,546	0,154
2.	0,133	0,467	0,440	0,160
3.	0,142	0,408	0,380	0,170
4.	0,154	0,346	0,317	0,183
5.	0,130	0,520	0,473	0,157

Odległość soczewek d = 0,01m

OBLICZENIA

Na podstawie wzoru soczewkowego (2) otrzymujemy wartości ogniskowych:

Dla soczewki B:

Nr pomiaru	Dla o[m] i p[m]	Dla o'[m] i p'[m]	[m]
1.	0,245511	0,246279	0,00051

Wartość średnia f = 0,245895± 0,00051m

Dla soczewki A:

Nr pomiaru	Dla o[m] i p[m]	Dla o'[m] i p'[m]	[m]
1.	0,099624	0,107979	0,00011413
2.	0,101981	0,108072	0,00013877
3.	0,104500	0,107591	0,00010121
4.	0,101833	0,107865	0,00010555
5.	0,102679	0,110187	0,00011254

Wartość średnia f = 0,105100±0,00011253m

Dla układu soczewek 5-A

Nr pomiaru	Dla o[m] i p[m]	Dla o'[m] i p'[m]	[m]
1.	0,103959	0,120120	0,00013458
2.	0,103352	0,117333	0,00014005
3.	0,105338	0,117455	0,00013007
4.	0,106568	0,116022	0,00014695
5.	0,104000	0,117875	0,00013546

Wartość średnia f = 0,1112 ±0,00013883m,

stąd wartość średnia ogniskowej soczewki rozpraszającej 5: f = -1,733626± 0,0007899m

Błędy obliczone zostały metodą różniczki zupełnej:

i
obliczamy z odchylenia standardowego

z uwzględnieniem współczynników Studenta-Fishera

Po zaokrągleniu mamy:

B: f = 0,2459 ±0,00051m

A: f = 0,10510 ± 0,00012m

5-A: f = 0,1112 ±0,00014m

5: f = -1,73363± 0,00079m

Metoda Bessela:

Dla soczewki B:

Nr pomiaru	l[m]	e[m]	f[m]	[m]
1.	1	0,128	0,245904	0,00019

Dla soczewki A:

Nr pomiaru	l[m]	e[m]	f[m]	[m]
1.	0,53	0,255	0,101827	0,0049722
2.	0,48	0,185	0,102174	0,0048114
3.	0,45	0,107	0,106139	0,0049910
4.	0,60	0,329	0,104900	0,0050023
5.	0,70	0,438	0,106484	0,0048877

Wartość średnia: f = 0,104305 ±0,0049715

Dla układu soczewek 5-A

Nr pomiaru	l[m]	e[m]	f[m]	[m]
1.	0,70	0,419	0,112300	0,0043944
2.	0,60	0,307	0,110730	0,0041117
3.	0,55	0,288	0,099798	0,0042744
4.	0,50	0,163	0,111715	0,0044654
5.	0,65	0,353	0,114573	0,0043009

Wartość średnia: f = 0,109823 ±0,0043993

stąd wartość średnia ogniskowej soczewki rozpraszającej 5 z wzoru (4): f = -1,876922 ±0,005122

Błędy obliczone zostały metodą różniczki zupełnej:

B: f = 0,24590 ±0,00019

A: f = 0,1043 ±0,0045

5-A: f = 0,1098± 0,0044

5: f =1,8769± 0,0052

Wnioski:

Błędy pomiarowe wynikały głownie z ograniczonej dokładności ludzkiego oka (problem jednoznacznego określenia ostrego obrazu), a także zastosowanie do pomiaru odległości zwykłej podziałki milimetrowej bardzo elastycznie zamocowanej do ławy optycznej. Wyniki przeprowadzonych pomiarów są dosyć zbliżone jednak błędy pomiarów są minimalnie większe dla pomiaru metodą Bessela. Może to być spowodowane koniecznością dokonywania pomiarów długości dwukrotnie przy metodzie Bessela (w celu określenia odległości pomiędzy położeniami soczewki przy ostrych obrazach). W metodzi soczewkowej natomiast dokonuje się jednego pomiaru odległości (drugą odległość otrzymuje się na podstawie pierwszego pomiaru i odległości przedmiotu od ekranu, która się nie zmienia).

---