Zadanie 1

W pewnym zakładzie produkcyjnym wytwarza się cztery wyroby (1, 2, 3 i 4). Ich produkcja wymaga nakładów pewnych środków produkcji. Część z tych środków zakład może nabywać w nieograniczonych ilościach. Jednak niektóre z nich mogą być wykorzystane tylko w ściśle określonych granicach. Do tej grupy należą środki A i B. Limity tych środków podano w ostatniej kolumnie tabeli.

Jednostkowe nakłady środków na produkcje wyrobów przedstawiono w tabeli. Znając zysk ze sprzedaży jednostki każdego z wyrobów (ostatni wiersz) wyznaczyć optymalne z punktu widzenia zysków rozmiary produkcji.

Nakłady środków produkcji na jednostkę wyrobu	Wyroby
		1	2	3	4	Zasoby środków produkcji
A	15	10	20	19	26 000
B	9	3	5	10	100 000
Zyski jednostkowe	6	3	5	2

1. rozwiązać graficznie

2. sprawdzić poprawność uzyskanego rozwiązania wykorzystując arkusz Excela

3. zbadać na ile otrzymany optymalny rozmiar produkcji jest wrażliwy na zmianę

1. zysku jednostkowego wyrobu 1

2. nakładów środka produkcji B na jednostkę wyrobu 1

4. podać przykładowy rozmiar produkcji, który pozwala na osiągnięcie zysku na poziomie 70%zysku optymalnego

5. skonstruować ogólny model matematyczny dla problemu tego typu.

Zadanie 2

Przedsiębiorstwo ma dostarczyć dwa produkty (A i B) w ilościach podanych w ostatniej kolumnie tabeli. Dla wytwarzania tych produktów można stosować trzy rodzaje procesów technologicznych, które wykonywane są sekwencyjnie, przy czym kolejność tych procesów nie gra roli. Stosując np. pierwszy proces technologiczny w jednostce czasu otrzymujemy produkt A w ilości podanej na przecięciu się kolumny odpowiadającej temu procesowi i wiersza dotyczącego produktu A (analogicznie dla pozostałych). Koszty jednostkowe (tzn. przypadające na jednostkę czasu) stosowania poszczególnych procesów technologicznych podano w ostatnim wierszu tabeli.

Należy tak dobrać procesy technologiczne, by dostarczyć pożądaną ilość produktów po jak najniższych kosztach.

Jednostkowa wydajność procesów technologicznych	Rodzaje procesów technologicznych
		1	2	3	4	Pożądana ilość produktów
Produkt A	50	40	20	30	7 000
Produkt B	30	45	40	15	6000
Koszty jednostkowe	5	9	10	4

1. rozwiązać graficznie

2. sprawdzić poprawność uzyskanego rozwiązania wykorzystując arkusz Excela

3. zbadać na ile otrzymany optymalny rozmiar produkcji jest wrażliwy na zmianę

1. kosztu jednostkowego stosowania wybranego procesu technologicznego z trzech procesów;

4. podać przykładowy rozmiar produkcji, który pozwala na osiągnięcie zysku na poziomie 90% kosztu optymalnego

Zadanie 3

W pewnym zakładzie produkcyjnym wytwarza się trzy wyroby (1, 2, 3). Ich produkcja wymaga nakładów pewnych środków produkcji. Część z tych środków zakład może nabywać w nieograniczonych ilościach. Jednak niektóre z nich mogą być wykorzystane tylko w ściśle określonych granicach. Do tej grupy należą środki A i B. Limity tych środków podano w ostatniej kolumnie tabeli 2.

Jednostkowe nakłady środków na produkcje wyrobów przedstawiono w tabeli. Zakładając, że zysk ze sprzedaży wyrobów wyraża się funkcją postaci :

F=c₁x₁+c₂x₂+c₃x₁x₂+c₄x₁²+c₅x₂²

gdzie wartości c_i podano w tabeli 1 a x_i oznacza wielkość produkcji i-tego wyrobu.

Wyznaczyć optymalne z punktu widzenia zysków rozmiary produkcji.

Tabela 1. Wartości współczynników

C1	c2	c3	c4	c5
25	19	11	1	2

Tabela 2.

Nakłady środków produkcji na jednostkę wyrobu	Wyroby
		1	2	3	Zasoby środków produkcji
A	14	10	21	27 000
B	11	4	3	90 000

1. zbudować model matematyczny zagadnienia i skonstruować warunki Kuhna-Tuckera (bez rozwiązywania)

2. sprawdzić poprawność uzyskanego rozwiązania wykorzystując dodatek Solver w arkuszu Excel

3. zbadać na ile otrzymany optymalny rozmiar produkcji jest wrażliwy na zmianę

1. nakładów środka produkcji B na jednostkę wyrobu 1

4. podać przykładowy rozmiar produkcji, który pozwala na osiągnięcie zysku na poziomie 80% zysku optymalnego

Zadanie 4

W pewnym zakładzie produkcyjnym wytwarza się cztery wyroby (1, 2, 3 i 4). Ich produkcja wymaga nakładów pewnych środków produkcji. Część z tych środków zakład może nabywać w nieograniczonych ilościach. Jednak niektóre z nich mogą być wykorzystane tylko w ściśle określonych granicach. Do tej grupy należą środki A i B. Limity tych środków podano w ostatniej kolumnie tabeli.

Jednostkowe nakłady środków na produkcje wyrobów przedstawiono w tabeli. Znając zysk ze sprzedaży jednostki każdego z wyrobów oraz jednostkowy koszt ich wytworzenia (ostatnie dwa wiersze) wyznaczyć optymalne z punktu widzenia zysków i kosztów rozmiary produkcji.

Nakłady środków produkcji na jednostkę wyrobu	Wyroby
		1	2	3	4	Zasoby środków produkcji
A	15	10	10	30	32 000
B	10	5	5	8	90 000
Koszty jednostkowe	2	1	3	5
Zyski jednostkowe	5	3	3	7

1. rozwiązać problem wykorzystując jako metakryterium liniową kombinację wypuklą

2. sprawdzić poprawność uzyskanego rozwiązania wykorzystując arkusz Excela

3. zbadać na ile otrzymany optymalny rozmiar produkcji jest wrażliwy na zmianę

1. zysku jednostkowego wyrobu 1

2. kosztu jednostkowego wyrobu 1

Zadanie 5

W pewnym zakładzie produkcyjnym wytwarza się cztery wyroby (1, 2, 3 i 4). Ich produkcja wymaga nakładów pewnych środków produkcji. Część z tych środków zakład może nabywać w nieograniczonych ilościach. Jednak niektóre z nich mogą być wykorzystane tylko w ściśle określonych granicach. Do tej grupy należą środki A i B. Limity tych środków podano w ostatniej kolumnie tabeli.

Jednostkowe nakłady środków na produkcje wyrobów przedstawiono w tabeli. Znając zysk ze sprzedaży jednostki każdego z wyrobów oraz jednostkowy koszt ich wytworzenia (ostatnie dwa wiersze) wyznaczyć optymalne z punktu widzenia zysków i kosztów rozmiary produkcji.

Nakłady środków produkcji na jednostkę wyrobu	Wyroby
		1	2	3	4	Zasoby środków produkcji
A	15	10	10	30	32 000
B	10	5	5	8	90 000
Koszty jednostkowe	2	1	3	5
Zyski jednostkowe	5	3	3	7

1. rozwiązać problem wykorzystując jako metakryterium odchylenia funkcji-kryterium

2. sprawdzić poprawność uzyskanego rozwiązania wykorzystując arkusz Excela

3. zbadać na ile otrzymany optymalny rozmiar produkcji jest wrażliwy na zmianę

1. zysku jednostkowego wyrobu 1

2. kosztu jednostkowego wyrobu 1

Zadanie 6

W pewnym zakładzie produkcyjnym wytwarza się cztery wyroby (1, 2, 3 i 4). Ich produkcja wymaga nakładów pewnych środków produkcji. Część z tych środków zakład może nabywać w nieograniczonych ilościach. Jednak niektóre z nich mogą być wykorzystane tylko w ściśle określonych granicach. Do tej grupy należą środki A i B. Limity tych środków podano w ostatniej kolumnie tabeli.

Jednostkowe nakłady środków na produkcje wyrobów przedstawiono w tabeli. Znając zysk ze sprzedaży jednostki każdego z wyrobów oraz jednostkowy koszt ich wytworzenia (ostatnie dwa wiersze) wyznaczyć optymalne z punktu widzenia zysków i kosztów rozmiary produkcji.

Nakłady środków produkcji na jednostkę wyrobu	Wyroby
		1	2	3	4	Zasoby środków produkcji
A	15	10	20	19	26 000
B	9	3	5	10	100 000
Koszty jednostkowe	5	3	4	1
Zyski jednostkowe	6	3	5	2

1. rozwiązać problem wykorzystując hierarchizację celów

2. sprawdzić poprawność uzyskanego rozwiązania wykorzystując arkusz Excela

3. zbadać na ile otrzymany optymalny rozmiar produkcji jest wrażliwy na zmianę

1. zysku jednostkowego wyrobu 2

2. kosztu jednostkowego wyrobu 2

Zadanie 7

Naprawa silnika elektrycznego składa się z następujących czynności (w nawiasie podano czasy ich trwania w godzinach):

1. przeniesienie silnika na stanowisku demontażu (3);

2. demontaż silnika (10);

3. Kontrola zużycia części A (5);

4. Kontrola zużycia części B (10);

5. Kontrola zużycia części C (8);

6. Kontrola zużycia części D (12);

7. Naprawa i konserwacja części A (8);

8. Naprawa i konserwacja części B (7);

9. Naprawa i konserwacja części C (9);

10. Naprawa i konserwacja części D (12);

11. Montaż części silnika A, B, C, D (12);

12. Oczekiwania na transport (6);

13. Przeniesienie do magazynu (8).

Wiadomo, że czynność a) musi poprzedzać czynność b). Czynności c), d), e), f) mogą być wykonywane równolegle, jednak czynność g) musi być poprzedzona czynnością c), czynność h) - czynnością d), czynność i) - czynnością e), a czynności j) - czynnością f). Czynność k) może nastąpić po wykonaniu wszystkich poprzednich czynności. Czynność l) następuje po czynności k), a przed czynnością m).

Wyznaczyć:

1. Sieć tego przedsięwzięcia;

2. Najkrótszy czas trwania naprawy;

3. Jak zmieni się rozwiązanie, jeśli czasy trwania czynności e) oraz j) zwiększą się o 4?

4. Czynności krytyczne.

5. Skonstruować i rozwiązać zadanie wyznaczania drogi najdłuższej i najkrótszej w sieci przedsięwzięcia z wierzchołka początkowego do końcowego przedsięwzięcia.

Zadanie 8

Przy budowie pewnego obiektu można wyróżnić 10 zdarzeń (wraz ze zdarzeniem początkowym) oraz 14 czynności. Czynności oraz czasy ich trwania (w dniach) podano w tabeli 1.

Tabela 1

Czynności i-j	Czas trwania tij	Czynności i-j	Czas tij
1-2	6	4-6	8
1-3	10	5-6	7
2-3	6	5-7	8
2-5	12	6-7	6
3-4	5	7-8	7
3-5	8

1. Podać sieć przedsięwzięcia;

2. Wyznaczyć ścieżkę krytyczną oraz najwcześniejszy termin zakończenia przedsięwzięcia.

3. Jak wpłynie na termin końcowy realizacji przedsięwzięcia:

• Wydłużenie czasu trwania czynności 3-4 o 10 dni;

• Opóźnienie momentu rozpoczęcia czynności 4-6 o 7 dni;

• Skrócenie czasu trwania czynności 5-7 o 2 dni;

• Skrócenie czasu trwania czynności 3-5 o 1 dzień.

4. Skonstruować i rozwiązać zadanie wyznaczania drogi najdłuższej i najkrótszej w sieci przedsięwzięcia z wierzchołka początkowego do końcowego przedsięwzięcia.

Zadanie 9

Trzy rodzaje koparek mogą wykonywać cztery rodzaje prac ziemnych. Liczby koparek, którymi zakład dysponuje dziennie, są następujące: typ A- 10, typ B - 4, typ C - 15. Natomiast zapotrzebowanie na koparki do wykonania poszczególnych prac ziemnych wynosi: wykop I -5, wykop II - 8, wykop III -10, wykop IV - 6 koparek dowolnego typu. Wydajność koparek przy wykonywaniu poszczególnych wykopów (w m³/dzień) oraz dzienne koszty eksploatacji poszczególnych koparek podano w tabeli.

Tabela

Koparki	Wydajność przy wykonywaniu wykopu				Dzienne koszty eksploatacji 1 koparki (w tys. zł)
	I	II	III	IV	I	II	III	IV
A B C	140 90 70	100 120 80	80 70 120	70 110 60	1,0 0,8 1,5	1,2 1,7 1,0	1,8 1,0 1,2	1,2 1,0 1,4

Dokonać przydziału koparek do wykonania poszczególnych prac ziemnych tak, aby:

1. Zmaksymalizować ilość wykopanej w ciągu dnia ziemi;

2. Zminimalizować dzienne koszty eksploatacji.

3. O ile zmieni się ilość wykopanej w ciągu dnia ziemi wyznaczona w punkcie 1, jeśli wydajność koparki A zmieni się o 10% (dla wszystkich rodzajów wykopów)?

4. Skonstruować ogólny model matematyczny zagadnienia tego typu.

Zadanie 10

Trzy rodzaje koparek mogą wykonywać cztery rodzaje prac ziemnych. Liczby koparek, którymi zakład dysponuje dziennie, są następujące: typ A- 10, typ B - 4, typ C - 15. Natomiast zapotrzebowanie na koparki do wykonania poszczególnych prac ziemnych wynosi: wykop I -5, wykop II - 8, wykop III -10, wykop IV - 6 koparek dowolnego typu. Wydajność koparek przy wykonywaniu poszczególnych wykopów (w m³/dzień) oraz dzienne koszty eksploatacji poszczególnych koparek podano w tabeli.

Tabela

Koparki	Wydajność przy wykonywaniu wykopu				Dzienne koszty eksploatacji 1 koparki (w tys. zł)
	I	II	III	IV	I	II	III	IV
A B C	140 90 70	100 120 80	80 70 120	70 110 60	1,0 0,8 1,5	1,2 1,7 1,0	1,8 1,0 1,2	1,2 1,0 1,4

Dokonać przydziału koparek do wykonania poszczególnych prac ziemnych tak, aby maksymalizować ilość wykopanej w ciągu dnia ziemi i jednocześnie minimalizować dzienne koszty eksploatacji.

1. rozwiązać problem wykorzystując jako metakryterium liniową kombinację wypukłą funkcji kryteriów i stosując arkusz Excel;

2. zbadać na ile otrzymany optymalny przydział jest wrażliwy na zmianę

• dziennych kosztów eksploatacji koparki typu A dla wykopu I;

• wydajności koparki typu A (dla wszystkich rodzajów wykopów przyjąć taką samą zmianę wydajności).

3. skonstruować ogólny model matematyczny dla problemu tego typu.

Zadanie 11

Trzy rodzaje koparek mogą wykonywać cztery rodzaje prac ziemnych. Liczby koparek, którymi zakład dysponuje dziennie, są następujące: typ A- 10, typ B - 4, typ C - 15. Natomiast zapotrzebowanie na koparki do wykonania poszczególnych prac ziemnych wynosi: wykop I -5, wykop II - 8, wykop III -10, wykop IV - 6 koparek dowolnego typu. Wydajność koparek przy wykonywaniu poszczególnych wykopów (w m³/dzień) oraz dzienne koszty eksploatacji poszczególnych koparek podano w tabeli.

Tabela

Koparki	Wydajność przy wykonywaniu wykopu				Dzienne koszty eksploatacji 1 koparki (w tys. zł)
	I	II	III	IV	I	II	III	IV
A B C	140 90 70	100 120 80	80 70 120	70 110 60	1,0 0,8 1,5	1,2 1,7 1,0	1,8 1,0 1,2	1,2 1,0 1,4

Dokonać przydziału koparek do wykonania poszczególnych prac ziemnych tak, aby maksymalizować ilość wykopanej w ciągu dnia ziemi i jednocześnie minimalizować dzienne koszty eksploatacji.

1. rozwiązać problem wykorzystując jako metakryterium odchylenia funkcji kryteriów i stosując arkusz Excel;

2. zbadać na ile otrzymany optymalny przydział jest wrażliwy na zmianę

• dziennych kosztów eksploatacji koparki typu C dla wykopu I;

• wydajności koparki typu C (dla wszystkich rodzajów wykopów przyjąć taką samą zmianę wydajności).

3. skonstruować ogólny model matematyczny dla problemu tego typu.

Zadanie 12

Trzy rodzaje koparek mogą wykonywać cztery rodzaje prac ziemnych. Liczby koparek, którymi zakład dysponuje dziennie, są następujące: typ A- 8, typ B - 5, typ C - 16. Natomiast zapotrzebowanie na koparki do wykonania poszczególnych prac ziemnych wynosi: wykop I -5, wykop II - 8, wykop III -10, wykop IV - 6 koparek dowolnego typu. Wydajność koparek przy wykonywaniu poszczególnych wykopów (w m³/dzień) oraz dzienne koszty eksploatacji poszczególnych koparek podano w tabeli.

Tabela

Koparki	Wydajność przy wykonywaniu wykopu				Dzienne koszty eksploatacji 1 koparki (w tys. zł)
	I	II	III	IV	I	II	III	IV
A B C	140 90 70	100 120 80	80 70 120	70 110 60	1,0 0,8 1,5	1,2 1,7 1,0	1,8 1,0 1,2	1,2 1,0 1,4

Dokonać przydziału koparek do wykonania poszczególnych prac ziemnych tak, aby maksymalizować ilość wykopanej w ciągu dnia ziemi i jednocześnie minimalizować dzienne koszty eksploatacji.

1. rozwiązać problem wykorzystując hierarchizację funkcji kryteriów i stosując arkusz Excel;

2. zbadać na ile otrzymany optymalny przydział jest wrażliwy na zmianę

• dziennych kosztów eksploatacji koparki typu B dla wykopu I;

• wydajności koparki typu B (dla wszystkich rodzajów wykopów przyjąć taką samą zmianę wydajności).

3. skonstruować ogólny model matematyczny dla problemu tego typu.

---