MN07

Uwarunkowanie układu równań liniowych

Zajmiemy się wrażliwością układu równań na zaburzenia danych: prawej strony i współczynników macierzy układu. Czułość danego układu równań na zaburzenia da się precyzyjnie scharakteryzować, a cecha ta nie tylko będzie miała wpływ na jakość rozwiązań możliwych do uzyskania w arytmetyce skończonej precyzji, ale także na efektywność metod iteracyjnych rozwiązywania układów równań liniowych, w których są tysięcy (lub więcej) niewiadomych.

Przykład: Uwarunkowanie układu dwóch równań liniowych

Rozwiązanie układu dwóch równań liniowych można przedstawić w formie graficznej: jest to punkt przecięcia się dwóch prostych wyznaczonych przez dane współczynniki i wyrazy prawej strony.

Rozważmy pewien nieosobliwy układ dwóch równań liniowych. Ma on dokładnie jedno rozwiązanie, na rysunku oznaczone kolorem czerwonym. Co się stanie, gdy trochę zaburzymy prawą stronę takiego układu?

Wykresy zaburzonych prostych mogą zająć jedną z zaznaczonych łososiowym kolorem pozycji.

Obszar, gdzie mogą znaleźć się rozwiązania zaburzonego układu, zaznaczyliśmy na czerwono. Jest on, kolokwialnie rzecz ujmując, z grubsza tak wielki jak wielkie były zaburzenia, co zgodne jest z typową intuicją "człowieka z zewnątrz".

Jednak bywają równania, wrażliwe jak mimoza na nawet delikatne zaburzenia danych. Takie równanie właśnie widzimy na rysunku: jego cechą szczególną jest to, że tym razem proste, choć wciąż przecinają się dokładnie w jednym punkcie, są prawie równoległe.

Bierzemy zaburzenia takie same, jak poprzednio. Wykresy zaburzonych prostych mogą zająć jedną z zaznaczonych łososiowym kolorem pozycji.

Tym razem obszar niepewności, gdzie mogą być rozwiązania naszego zaburzonego układu, jest gigantyczny.

A więc równania liniowe mogą, choć nie muszą, być bardzo podatne na zaburzenia danych. Gdy zamiast prawej strony, zaburzymy wyrazy macierzy układu, może nawet okazać się, że dostaniemy układ równań sprzecznych .

Aby przedstawić ogólną teorię zaburzeń dla układów równań liniowych, musimy mieć narzędzia do pomiaru błędu rozwiązań, a także zaburzeń danych zadania: czyli macierzy i wektora prawej strony. Temu będą służyć normy.

Normy wektorowe i macierzowe

Aby badać odległość między rozwiązaniem dokładnym układu równań a jego wartością przybliżoną uzyskaną np. algorytmem eliminacji Gaussa, będziemy posługiwać się normami wektorów
i macierzy
. Najczęściej używanymi normami wektorowymi będą normy
-te,

oraz

W szczególności, norma
jest dobrze nam znaną normą euklidesową wektora.

Kula jednostkowa w normie
w

Kula jednostkowa w normie
w

Kula jednostkowa w normie
w

Normą macierzową jest norma Frobeniusa

a także normy indukowane przez normy wektorowe (np. przez normy
-te)

Jeśli norma macierzowa jest indukowana przez normę wektorową, to dla dowolnego wektora mamy

Przypomnijmy, że w przestrzeniach liniowych skończenie wymiarowych (a więc także w
i w przestrzeni macierzy wymiaru
) każde dwie normy są równoważne. To znaczy, że jeśli mamy dwie normy
i
w przestrzeni skończenie wymiarowej
, to istnieją stałe
takie, że

W szczególności dla
mamy

a dla
mamy

gdzie
.

Dla macierzy
mamy

oraz

Dowód tego faktu zostawiamy jako ćwiczenie.

Uwarunkowanie układu równań liniowych

Wyprowadzimy teraz wynik świadczący o tym, jak zaburzenie względne danych przenosi się na błąd względny wyniku rozwiązania
układu równań liniowych
.

Lemat Neumanna o otwartości zbioru macierzy odwracalnych

Jeśli
jest macierzą taką, że
, to macierz
jest nieosobliwa oraz

Dowód. Rzeczywiście, gdyby
była osobliwa, to istniałby niezerowy wektor
taki, że
, co implikuje
i w konsekwencji
. Aby pokazać oszacowanie normy macierzy
zauważmy, że

skąd już wynika dowodzona nierówność.

Twierdzenie O uwarunkowaniu układu równań

Niech
i
będą zaburzeniami odpowiednio macierzy
i wektora
na poziomie względnym
, tzn.

Jeśli

to układ zaburzony
ma jednoznaczne rozwiązanie
spełniające

gdzie definiujemy współczynnik uwarunkowania układu

Zauważmy najpierw, że zachodzi

Dowód. Po podstawieniu
mamy teraz

co wobec równości
daje, że macierz
jest nieosobliwa i układ zaburzony ma jednoznaczne rozwiązanie
. Przedstawmy to rozwiązanie w postaci
. Rozpisując układ zaburzony i wykorzystując równość
otrzymujemy, że
, czyli

a stąd

co kończy dowód.

Gdy więc np.
, oszacowanie błędu rozwiązania układu zaburzonego możemy zastąpić czytelniejszym (choć mniej precyzyjnym)

Octave i MATLAB mają wbudowane funkcje wyznaczające normy wektorów i macierzy

N = 3;

x = [1:N]'

A = pascal(N)

norm(A,1)

norm(x,2)

norm(A,Inf)

a także funkcje wyznaczające uwarunkowanie macierzy, przy czym Octave liczy tylko uwarunkowanie w normie
:

cond(A)

W LAPACKu służy do tego funkcja DGECON. Zadanie wyznaczania uwarunkowania macierzy jest zadaniem bardzo intensywnym numerycznie. Problem, czy da się je wyznaczyć z dobrą dokładnością kosztem niższym niż wyznaczenie macierzy odwrotnej i jej normy, jest wciąż otwarty.

W praktyce obliczeniowej trafiają się zarówno układy dobrze uwarunkowane, jak i macierze, których uwarunkowanie może być patologicznie duże (np. takie macierze są chlebem powszednim osób rozwiązujących równania różniczkowe).

Przykład: Macierz Hilberta

Przykładem macierzy o uwarunkowaniu wyjątkowo szybko rosnącym z wymiarem jest m.in. macierz Hilberta
, gdzie

Macierz Hilberta wymiaru 25. Kolor odpowiada rzędowi wielkości elementu macierzy, dokładniej,
. Jak widzisz, większość elementów tej macierzy jest równa prawie zero, a więc w konsekwencji kolumny macierzy są prawie liniowo zależne.

Taką macierz możemy wygenerować w Octave komendą hilb(N). Jest to bardzo specyficzna macierz, co m.in. przejawia się tym, że uwarunkowanie macierzy Hilberta rośnie eksponencjalnie z
,
:

<realnowiki><realnowiki>octave:2> cond(hilb(5))

ans = 4.7661e+05

octave:3> cond(hilb(10))

ans = 1.6025e+13

octave:4> cond(hilb(15))

ans = 3.7689e+17

octave:5> cond(hilb(20))

ans = 7.1209e+19

</realnowiki></realnowiki>

Numeryczna poprawność eliminacji Gaussa

Przedstawimy bez dowodu klasyczne twierdzenie o "praktycznej numerycznej poprawności" eliminacji Gaussa z wyborem w kolumnie.

Twierdzenie Wilkinsona. Algorytm eliminacji Gaussa z wyborem elementu głównego w kolumnie, zrealizowany w arytmetyce
, wyznacza
taki, że
jest dokładnym rozwiązaniem zadania zaburzonego

przy czym

dla pewnej niedużej stałej
. Wskaźnik wzrostu
definiujemy tutaj jako

gdzie
i
są numerycznie wyznaczonymi czynnikami rozkładu PA
LU.

Jak widzimy, kluczowe dla numerycznej poprawności jest oszacowanie wskaźnika wzrostu
. Okazuje się, co wiedział już Wilkinson, że

• w ogólnym przypadku, zachodzi oszacowanie
  , które jest osiągane dla macierzy

• dla macierzy trójdiagonalnych lub diagonalnie dominujących, lub dla macierzy symetrycznych dodatnio określonych,
  ;

• w średnim przypadku, obserwuje się
  , to znaczy macierze spotykane w praktyce obliczeniowej mają mały wskaźnik wzrostu.

Konkluzja jest więc taka, że algorytm eliminacji Gaussa z wyborem w kolumnie jest praktycznie numerycznie poprawny. Z drugiej strony, dla bardzo dużych
i niezbyt dobrze uwarunkowanych macierzy, może okazać się, że arytmetyka pojedynczej precyzji może okazać się niewystarczająca dla uzyskania godnego wyniku.

Algorytm eliminacji Gaussa z pełnym wyborem elementu głównego jest numerycznie poprawny, ze wskaźnikiem wzrostu
, a w praktyce grubo poniżej
.

Literatura

• D. Kincaid, W. Cheney Analiza numeryczna, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2006, ISBN 83-204-3078-X.

---