Politechnika Częstochowska

Wydział Elektryczny

Katedra Elektrotechniki

Zakład Elektrotechniki

Laboratorium Elektrotechniki Teoretycznej

Badanie składowych symetrycznych
w niesymetrycznym układzie trójfazowym

Częstochowa 2004

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia są pomiary składowych symetrycznych kolejności zgodnej i przeciwnej napięć międzyfazowych oraz porównanie wyników pomiarów z wynikami uzyskanymi sposobami analitycznymi i wykreślnymi.

2. Wiadomości podstawowe

2.1. Składowe symetryczne

Mówimy, że układ trójfazowy jest kolejności zgodnej, jeśli faza B spóźnia się za fazą A o T/3, faza C spóźnia się za B o T/3, a faza A spóźnia się za C o T/3. Jeśli kolejność faz jest przeciwna, to mówimy, że jest to układ trójfazowy kolejności przeciwnej. Jeśli wszystkie fazy A, B, C nie są przesunięte względem siebie, to mówimy, że jest to układ kolejności zerowej. Układy poszczególnych kolejności zobrazowano na rysunku 1.

Kolejność zerowa	Kolejność zgodna	Kolejność przeciwna

Rys.1. Układy trójfazowe kolejności zerowej, zgodnej i niezgodnej

Układ dowolnych trzech napięć lub prądów sinusoidalnych o tej samej pulsacji można przedstawić jako superpozycję trzech symetrycznych układów trójfazowych kolejności zerowej, zgodnej przeciwnej. Pewną analogią może być możliwość rozkładu dowolnego wektora na składowe w układzie kartezjańskim.

Jeśli dany jest układ trzech napięć trójfazowych U_A, U_B, U_C, to składowe symetryczne tych napięć U₀, U₁ i U₂ (dokładniej - składowe symetryczne względem fazy A U_A0, U_A1 i U_A2) wyznacza się ze wzoru

gdzie

Gdy dane są napięcia U₀, U₁ i U₂, to napięcia U_A, U_B i U_C wyznacza się ze wzoru

Analogiczne zależności obowiązują dla prądów.

Składowe symetryczne mają duże znaczenie w analizie stanów awaryjnych trójfazowych obwodów symetrycznych oraz w analizie wirujących maszyn elektrycznych prądu sinusoidalnego
w stanach ustalonych.

2.2. Wykreślne metody znajdowania składowych symetrycznych

Spośród różnych metod wykreślnych znajdowania składowych symetrycznych omówimy dwie. Pierwsza z nich może być stosowana do dowolnego układu prądów lub napięć trójfazowych. Rysujemy układ prądów lub napięć trójfazowych (rys. 2). Znajdujemy środek ciężkości trójkąta ABC - oznaczmy go przez D (środek ciężkości trójkąta leży na przecięciu środkowych). Odcinek OD obrazuje składową kolejności zerowej. Na boku BC budujemy dwa trójkąty równoboczne, otrzymując po lewej punkt M, a po prawej punkt N. Odcinek MA jest obrazem trzykrotnej składowej zgodnej, a NA - trzykrotnej składowej przeciwnej.

Rys. 2. Wykreślna metoda znajdowania składowych symetrycznych

Druga metoda nadaje się do układu napięć lub prądów trójfazowych tworzących wielobok zamknięty (np. napięcia liniowe, prądy liniowe w układzie trójprzewodowym). Dla takiego układu składowa kolejności zerowej jest równa zeru. Pozostałe dwie składowe wyznacza się w następujący sposób. Rysujemy trójkąt wskazów (rys. 3). Z punktu C prowadzimy półprostą przechodzącą przez połowę odcinka AB, czyli punkt D. Pod kątem 30° do tej półprostej z punktu C prowadzimy drugą półprostą. Następnie z punktu D prowadzimy półprostą pod kątem 90°. Dwie ostatnie półproste przecinają się w punkcie E. Odcinek BE jest graficznym obrazem wskazu U_1AB, natomiast odcinek EA - wskazu U_2AB. Jeśli wykres był wykonany w skali, to można z niego odczytać bezpośrednio części rzeczywiste i urojone obydwu składowych oraz ich długości:

Rys. 3. Wykreślna metoda znajdowania składowych symetrycznych dla układu wskazów tworzących trójkąt

2.3. Filtry składowych symetrycznych

Filtrami składowych symetrycznych są urządzenia, których zadaniem jest wydzielenie odpowiednich składowych symetrycznych napięć lub prądów występujących w układzie trójfazowym. Rozróżniamy filtry składowej zerowej, zgodnej i przeciwnej.

Najbardziej rozpowszechnione i najprostsze w budowie są filtry składowej zerowej prądu
i napięcia. Wynika to stąd, że składowa zerowa jest równa ¹/₃ sumy mierzonych napięć lub prądów. Filtr należy zbudować tak, aby jego wskazanie było proporcjonalne do sumy odpowiednich wielkości. Trudniejsze w wykonaniu są filtry składowej symetrycznej zgodnej lub przeciwnej.

W instrukcji ograniczymy się do pokazania, że jeśli

to wskazania woltomierzy V₁ i V₂ w układzie zastosowanym w ćwiczeniu są równe modułom składowych symetrycznych U₁ i U₂ napięć liniowych U_AB, U_BC i U_BC. Przy założeniu, że potencjały punktów A, B i C są znane, potencjał punktu N wynosi

Jak wiadomo, jednemu dowolnie wybranemu punktowi układu można przypisać potencjał równy zeru. Niech to będzie punkt N, tzn. niech V_N = 0. Wynika stąd, że

Podstawiając otrzymaną zależność we wzorach na składowe symetryczne, otrzymujemy

przy czym w powyższych wyprowadzeniach wykorzystano tożsamości:

Z otrzymanych zależności wynika, że

3. Przebieg ćwiczenia

• Zestawić układ pomiarowy wg schematu z rysunku 4 (elementy oznaczone linią przerywaną znajdują się we wspólnej obudowie; woltomierze V₁ i V₂ powinny być cyfrowe; w razie braku dwóch woltomierzy cyfrowych zastosować jeden z możliwością łatwego przełączania pomiędzy zaciskami A i C),

Rys. 4

• Nastawić rezystory dekadowe R_D1 i R_D2 na wartości: R_D1 = 686,4 , R_D2 = 686,8 ,

• Nastawić wartość rezystora suwakowego R_s na wartość maksymalną,

• Upewnić się, że kolejność faz na wyjściu autotransformatora jest zgodna,

• Nastawić napięcie zasilania na 60 V lub mniej (UWAGA: maksymalna dopuszczalna wartość napięcia podawanego na układ wynosi 60 V),

• Dla trzech różnych położeń suwaka rezystora R_s odczytać wskazania mierników.

Tabela 1

Lp.

Pomiary

Metoda analityczna

Metoda wykreślna

UAB

UBC

UCA

U1

U2

UAB

UBC

UCA

U1

U2

U1

U2

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

1

2

3

4. Opracowanie sprawozdania

1. Cel ćwiczenia.

2. Schemat pomiarowy i tabela wyników.

3. Parametry i dane znamionowe zastosowanych przyrządów.

4. Wyznaczyć zespolone wartości napięć liniowych (zob. Dodatek),

5. Wyznaczyć składowe symetryczne napięć liniowych metodą analityczną (zob. punkt 2.1).

6. Wyznaczyć składowe symetryczne napięć liniowych metodą wykreślną (zob. punkt 2.2).

7. Przykłady obliczeń poszczególnych wartości w tabeli.

8. Wnioski.

5. Pytania sprawdzające

1. Co to są składowe symetryczne?

2. Podać związki między układem napięć lub prądów trójfazowych a ich składowymi symetrycznymi.

3. Omówić wykreślne metody znajdowania składowych symetrycznych.

4. Omówić zastosowanie składowych symetrycznych.

5. Omówić różne filtry składowych symetrycznych prądów i napięć.

6. Uzasadnić działanie układu pomiarowego jako filtra składowej zgodnej i niezgodnej napięć liniowych.

Literatura

[1] Bolkowski S.: Elektrotechnika teoretyczna, tom I - teoria obwodów elektrycznych, WNT,
W-wa 1986, ss. 223-232.

[2] Bolkowski S.: Obwody elektryczne w stanie ustalonym, WNT, W-wa 1974, seria E, ss. 232-
-239.

[3] Bolkowski S., Matusiak R.: Podstawy elektrotechniki, część 3, Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej (skrypt), W-wa 1972, ss. 189-195.

[4] Cholewicki T.: Elektrotechnika teoretyczna, tom I, WNT, W-wa 1970, ss. 616-656.

[5] Klonowicz Z., Zurzycki Z.: Podstawy elektrotechniki, część 3, Wydawnictwa AGH (skrypt), Kraków 1975, ss. 65-71.

[6] Krakowski M.: Podstawy elektrotechniki, część 2, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej (skrypt), Łódź 1974, ss. 95-113.

[7] Kurdziel R.: Podstawy elektrotechniki, WNT, W-wa 1973, ss. 622-629.

Dodatek

Aby na podstawie tabeli 1 wyznaczyć zespolone wartości napięć liniowych, można skorzystać z poniższej metody. Ponieważ układ napięć liniowych tworzy trójkąt ABC (rys. 5), to znamy boki tego trójkąta (napięcia zmierzone U_AB, U_BC i U_CA). Kąty  i  w tym trójkącie łatwo wyznaczymy za pomocą twierdzenia kosinusów, z którego otrzymuje się

Przyjmując, że kąt przesunięcia fazowego napięcia U_AB jest równy zero, otrzymujemy

Rys. 5. Układ niesymetrycznych napięć liniowych

Badanie składowych symetrycznych w niesymetrycznym układzie trójfazowym

6

Politechnika Częstochowska, Wydział Elektryczny, Katedra Elektrotechniki

---