Maciej Pawnuk, Tomasz Imiołek.

Minimalizacja na kierunku

Rozwiązanie analityczne

Obliczam gradient

G=
=

Obliczam punkty podejrzane

Rozwiązaniem układu jest:

Obliczam Hesjan

H=

Obliczam wyznacznik hesjana

det(H)= 42.2566

det(H)>0 ---> minimum

punkt
to minimum funkcji.

Metoda Gaussa-Saidla

Kod programu:

Zloty podział:

function z = zloty_podzial(x,baza,e)

a = -1000;

b = 1000;

X = [b - (b-a)*(sqrt(5)-1)/2;a+(b-a)*(sqrt(5)-1)/2];

f=[funkcja(x+X(1)*baza);funkcja(x+X(2)*baza)];

while b-a>e*0.001

if f(1)>f(2)

a=X(1);

X(1)=X(2);

X(2)=a+(b-X(1));

else

b=X(2);

X(2)=X(1);

X(1)=a+(b-X(2));

end

f=[funkcja(x+X(1)*baza);funkcja(x+X(2)*baza)];

if f(1)>f(2)

z=X(2);

else

z=X(1);

end

if z - e < a && z + e > a

a = a - 500;

b = b - 500;

end

if z + e > b && z - e < b

b = b + 500;

a = a + 500;

end

end

Gauss:

function gauss(x,e)

baza=[1 0 0;0 1 0;0 0 1];

i=0;

odl=10;

while odl>e

xp=x;

x=x+baza(:,1)*zloty_podzial(x,baza(:,1),e);

x=x+baza(:,2)*zloty_podzial(x,baza(:,2),e);

x=x+baza(:,3)*zloty_podzial(x,baza(:,3),e);

odl=sqrt(((xp(1)-x(1))^2)+((xp(2)-xp(2))^2)+((xp(3)-x(3))^2));

i=i+ 1

f=funkcja(x)

x

odl

end

Funkcja:

function f=funkcja(x)

f= 2*x(1)^2+2*x(2)^2+3*x(3)^2+1.9643*x(1)*x(2)-1.7347*x(1)*x(3)+1.4643*x(2)*x(3)-8*x(1)-8*x(2)-24*x(3)+98;

Tabele Wyników:

Dla X=[1;1;1] (punkt bliski minimum)

dokładność	X	f(X)	iteracje	odległość
1	5.4805 -2.7570 6.5190	4.5477	4	0.8290
0.1	6.9133 -3.9272 6.9785	2.0080	9	0.0727
0.01	6.9898 -3.9939 6.9953	1.9990	13	0.0099
0.001	6.9991 -3.9993 6.9997	1.9989	18	6.0760e-004
0.0001	7.0001 -4.0001 7.0001	1.9989	23	4.1513e-005

dokładność	X	f(X)	iteracje	odległość
1	8.4924 -4.9229 7.8818	4.3091	12	0.7533
0.1	7.1320 -4.1053 7.0799	2.0171	17	0.0934
0.01	7.0128 -4.0063 7.0069	1.9991	21	0.0099
0.001	7.0016 -4.0015 7.0009	1.9989	26	7.0514e-004
0.0001	7.0002 -4.0002 7.0001	1.9989	31	6.7187e-005

Dla X=[100;100;100] (punkt daleki minimum)

Metoda najszybszego spadkuWynikówSaidlahesjana

Kod programu:

Zloty podzial:

function z = zloty_podzial(x,g,e)

a = -100;

b = 100;

z=b;

xn=[b-(b-a)*(sqrt(5)-1)/2; a+(b-a)*(sqrt(5)-1)/2];

f= [funk(x-xn(1)*g);funk(x-xn(2)*g)];

while norm(b-a)>0.01*e

if f(1)>f(2)

a=xn(1);

xn(1)=xn(2);

xn(2)=a+(b-xn(1));

else

b=xn(2);

xn(2)=xn(1);

xn(1)=a+(b-xn(2));

end

f = [funk(x-xn(1)*g);funk(x-xn(2)*g)];

end

if f(1)>f(2)

z = xn(2);

else

z = xn(1);

end

if z - e < a & z + e > a

a = a - 500;

end

if z + e > b & z - e < b

b = b + 500;

end

end

Gradient:

function g=gradient(x)

g(1) = 4*x(1)+1.9643*x(2)-1.7347*x(3)-8;

g(2) = 1.9643*x(1)+4*x(2)+1.4643*x(3)-8;

g(3) = -1.7347*x(1)+1.4643*x(2)+6*x(3)-24;

g=[g(1);g(2);g(3)]

Funkcja:

function f = funkcja(x)

f= 2*x(1)^2+2*x(2)^2+3*x(3)^2+1.9643*x(1)*x(2)-1.7347*x(1)*x(3)+1.4643*x(2)*x(3)-8*x(1)-8*x(2)-24*x(3)+98;

Spadek:

function i=spadek(x,E)

i=0;

stop=0;

while stop==0

i = i+1;

x = x - zloty_podzial(x,gradient(x),E)*gradient(x);

stop = norm(gradient(x))<E ;

end

end

Tabele wyników:

dokładność	X	f(X)	iteracje
1	6.6382 -3.6605 6.8261	2.1452	9
0.1	6.9537 -3.9566 6.9777	2.0013	15
0.01	6.9971 -3.9973 6.9986	1.9989	23
0.001	6.9997 -3.9998 6.9999	1.9989	29
0.0001	7.0001 -4.0001 7.0001	1.9989	35

Dla X=[1;1;1] (punkt bliski minimum)

dokładność	X	f(X)	iteracje
1	7.3968 -4.3914 7.2957	2.1452	10
0.1	7.0310 -4.0306 7.0232	2.0001	16
0.01	7.0057 -4.0056 7.0042	1.9989	20
0.001	7.0005 -4.0005 7.0004	1.9989	26
0.0001	7.0002 -4.0002 7.0001	1.9989	32

Dla X=[100;100;100] (punkt daleki minimum)

Wnioski:

Z naszych wyników można wywnioskować, że metoda Gaussa-Seida jest bardziej efektywna (potrzeba mniej iteracji do osiągnięcia wyniku) niż metoda najszybszego spadku. Jednakże metoda ta jest bardziej zależna od punktu startowego(im dalej tym więcej iteracji) dlatego gdy nie wiemy gdzie mniej więcej będzie znajdować się minimum lepszym wyborem staje się metoda najszybszego spadku.

wykres zależności dokładności a ilości iteracji.

---