ELEKTROSTATYKA

POLE ELEKTRYCZNE. RODZAJE PÓL.

Każdy ładunek wytwarza w otaczającej go przestrzeni pole elektryczne. Działa ono kulombowską siłą elektrostatyczną na każdy ładunek umieszczony w jego obszarze.

Polem elektrycznym stałym nazywamy pole wytwarzane przez stały ładunek lub przewód przewodzący prąd o nie zmieniających się w czasie wartościach napięcia i natężenia. Pole elektryczne zmienne pojawia się, gdy mamy do czynienia ze zmieniającym się ładunkiem bądź napięciem i natężeniem prądu płynącego w przewodzie wytwarzającym pole.

Pole elektrostatyczne opisujemy, umieszczając w jego wnętrzu ładunek dodatni o jednostkowej wartości, zwany ładunkiem próbnym. W zależności od kierunku i zwrotu linii sił działających na ten ładunek wyróżniamy pola jednorodne i centralne.

Pole jednorodne charakteryzuje się równoległym układem linii sił. Zazwyczaj pole to wytwarzane jest w wewnętrznej części obszaru ograniczonego przez dwie płaszczyzny naładowane ładunkami o przeciwnych wartościach (kondensator). Zwroty sił działających na ładunek próbny umieszczony w tym polu kierują się w stronę płaszczyzny naładowanej ujemnie, a wartości tych sił są jednakowe w całej przestrzeni objętej polem.

Pole centralne wytwarza z reguły jednostkowy ładunek ujemny lub dodatni, umieszczony w przestrzeni. Linie sił takiego pola kierują się we wszystkich kierunkach; jeżeli ładunek główny jest dodatni, biegną od niego w stronę nieskończoności, jeżeli jest ujemny — dążą z nieskończoności ku niemu (odpowiada to odpychaniu i przyciąganiu). Wartość siły elektrostatycznej działającej na ładunek umieszczony w pewnej odległości od źródła pola zależna jest od tej odległości zgodnie z równaniem Coulomba:

gdzie Q — ładunek będący źródłem pola;

q — ładunek umieszczony w polu;

ε — względna przenikalność dielektryczna ośrodka, w którym umieszczone są obydwa ładunki;

ε₀ — bezwzględna przenikalność dielektryczna próżni;

r — odległość ładunku umieszczonego w polu od źródła pola.

Współczynnik k jest nazywany stałą elektryczną. Jego wartość wynosi:

PRZENIKALNOŚĆ DIELEKTRYCZNA ŚRODOWISKA

Względna przenikalność dielektryczna ε substancji (stała dielektryczna substancji) jest wielkością dla niej charakterystyczną. Definiujemy ją jako stosunek natężenia pola elektrycznego E₀ przyłożonego do substancji do natężenia pola E, które wytworzy się wewnątrz tej substancji pod jego wpływem.

Posługujemy się również inną wielkością, tzw. bezwzględną przenikalnością dielektryczną ε₀ substancji, definiowaną jako iloczyn przenikalności względnej i bezwzględnej przenikalności dielektrycznej próżni.

NATĘŻENIE POLA ELEKTROSTATYCZNEGO

Natężeniem pola elektrostatycznego E nazywamy stosunek siły elektrostatycznej F, działającej na ładunek q umieszczony w danym punkcie tego pola, do wartości tego ładunku.

Natężenie pola ładunku punktowego Q maleje wraz z kwadratem odległości od źródła pola. Natężenie pola jednorodnego w każdym jego punkcie jest stałe.

Jednostką natężenia pola elektrostatycznego jest:

POTENCJAŁ POLA ELEKTROSTATYCZNEGO

Potencjałem pola elektrostatycznego V nazywamy stosunek energii potencjalnej E_pot ładunku q umieszczonego w danym punkcie tego pola do wartości tego ładunku, albo inaczej — pracy, jaką należy wykonać, aby przesunąć ten ładunek z nieskończoności na określoną odległość r od źródła pola.

Jednostką potencjału jest 1 wolt (1 V):

Powierzchnię łączącą punkty pola o jednakowej wartości potencjału nazywamy powierzchnią ekwipotencjalną. Dla pola centralnego powierzchnie takie są jest współśrodkowymi sferami otaczającymi ładunek wytwarzający pole. Dla pola jednorodnego powierzchnie ekwipotencjalne są płaszczyznami nawzajem do siebie równoległymi.

Różnicę potencjałów między dwoma punktami B i A pola elektrostatycznego nazywamy napięciem U między tymi punktami.

Napięcie to jest inaczej równe pracy, jaką należy wykonać przeciw siłom pola elektrostatycznego, aby przesunąć ruchem jednostajnym jednostkowy ładunek próbny z punktu A do punktu B. Jeżeli przesuwany ładunek q ma wartość inną od jednostkowej, należy dodatkowo pomnożyć przez nią otrzymany wynik.

Potencjał pola centralnego wyraża się wzorem:

gdzie k jest stałą elektryczną,

Q — wartością ładunku źródła pola;

r — odległością określonego punktu pola od źródła.

Dla pola centralnego dla prostoty opisu potencjał równy zeru przyjęto w nieskończoności. Znak potencjału jest zatem ujemny, kiedy pole wytwarzane jest przez ładunek ujemny (działający na ładunek próbny siłami przyciągania), lub dodatni, kiedy pole wytwarzane jest przez ładunek dodatni (działający na ładunek próbny siłami odpychania). Wynika z tego, że znak potencjału odpowiada znakowi ładunku będącego źródłem pola, linie sił pola biegną zaś zawsze od potencjału wyższego do niższego.

Warto zauważyć, że przy przenoszeniu ładunku po drodze zamkniętej w jakimkolwiek bądź polu elektrycznym nie towarzyszy wykonanie żadnej pracy (U = 0). Pole elektryczne jest zatem polem zachowawczym.

PRĄD STAŁY

Prądem stałym nazywamy uporządkowany ruch elektronów wewnątrz przewodnika, do którego końców przyłożone zostało napięcie. Elektrony poruszają się w kierunku potencjału wyższego, czyli ich ruch zwrócony jest przeciwnie do linii sił pola elektrycznego. Kierunek natężenia (przepływu) prądu elektrycznego umownie przyjęto za zgodny z liniami sił pola, czyli w kierunku od wyższego do niższego potencjału.

NATĘŻENIE PRĄDU

Natężenie prądu stałego określone jest wzorem:

gdzie Q oznacza ładunek, przepływający przez przekrój poprzeczny przewodnika w czasie t. Natężenie prądu I nie zależy od powierzchni S przekroju poprzecznego przewodnika, przez który prąd przepływa, ponieważ wewnątrz danego przewodnika w czasie t taka sama ilość elektronów musi przepływać przez jego każdy przekrój.

Jednostką natężenia prądu jest amper (A). Amper jest jedną z jednostek podstawowych układu SI. Jeżeli dwa przewodniki, w których płynie prąd stały, oddalone od siebie o 1 m, oddziałują na siebie nawzajem siłą 2 · 10^-7 N na każdy metr długości, to prąd ten ma natężenie 1 ampera.

Natężenie jest wielkością skalarną, makroskopową, mierzoną za pomocą amperomierzy.

GĘSTOŚĆ PRĄDU

W pewnych warunkach zamiast natężeniem wygodniej jest nam posługiwać się wielkością wektorową zwaną gęstością prądu
. Kierunek i zwrot wektora
zgodny jest z kierunkiem i zwrotem wektora
, a jego wartość określa ładunek, jaki przepływa w jednostce czasu przez jednostkę przekroju poprzecznego przewodnika S:

Jednostką gęstości prądu jest 1
.

OPÓR PRZEWODNIKA

Zależność natężenia prądu I płynącego przez przewodnik od napięcia U na jego końcach nazywamy charakterystyką prądowo-napięciową przewodnika. Dla przewodników metalicznych znaleziona doświadczalnie zależność I od U w stałej temperaturze jest linią prostą, której kąt nachylenia α (do osi odciętych) wyznacza się następująco:

Odwrotność tangensa kąta α jest wielkością stałą, oznaczaną jako R i nazywaną oporem lub opornością elektryczną przewodnika między wybranymi punktami.

Jednostką oporu jest om (1 Ω). Jest to opór odcinka przewodnika, w którym pod wpływem różnicy potencjałów 1 V zaczyna płynąć prąd o natężeniu 1 A.

W danej temperaturze opór odcinka przewodnika zależy od jego długości l, pola przekroju poprzecznego S oraz od tzw. oporu właściwego, charakterystycznego dla danego przewodnika.

Opór właściwy przewodnika ρ jest liczbowo równy oporowi przewodnika o jednostkowej długości i polu przekroju poprzecznego. W układzie SI jest to długość 1 m i przekrój poprzeczny 1 m². Ponieważ jednak przewodniki mają najczęściej postać drutów o dużej długości i małym przekroju, za miarę oporu właściwego przyjmujemy często opór przewodnika o długości 1 m i przekroju poprzecznym 1 mm².

Jednostką oporu właściwego jest Ω · m:

Odwrotność oporu właściwego przewodnika,
, oznaczamy jako
i nazywamy przewodnością lub przewodnictwem właściwym przewodnika.

Opór właściwy przewodników zależy od temperatury. Opór przewodników metalicznych ze wzrostem temperatury rośnie, natomiast opór dielektryków, półprzewodników, elektrolitów i gazów — maleje.

PRAWO OHMA DLA ODCINKA OBWODU

Wszystkie przewodniki, których charakterystyka prądowo-napięciowa jest linią prostą, nazywamy przewodnikami omowymi. Wnioski z liniowej zależności I od U dla takich przewodników wyraża prawo Ohma, mówiące, że:

1. Opór elektryczny przewodników omowych (w tym metalicznych):

1. nie zależy od przyłożonego napięcia U;

2. nie zależy od natężenia prądu I płynącego przez przewodnik;

3. w ustalonej temperaturze jest dla danego przewodnika wielkością stałą.

2. Natężenie prądu płynącego przez przewodnik omowy jest wprost proporcjonalne do napięcia na jego końcach.

Zależność
jest definicją oporu elektrycznego przewodnika i słuszna jest bez względu na to, czy przewodnik ten spełnia prawo Ohma, czy nie. Prawo Ohma opisuje specjalne własności pewnych materiałów, np. metali, i nie stanowi ogólnego prawa elektromagnetyzmu.

Prawo to można wyrazić również w nieco innej postaci, wychodząc z definicji gęstości prądu:

a ponieważ
, to:

Jest to tak zwana postać wektorowa (różniczkowa) prawa Ohma.

I PRAWO KIRCHHOFFA

Prawo to mówi, że suma natężeń prądów wpływających do węzła jest równa sumie natężeń prądów z niego wypływających:

Prawo to wyraża zasadę zachowania ładunków elektrycznych.

ŁĄCZENIE OPORÓW

Kilka oporów, znajdujących się w obrębie jednego obwodu, możemy zastąpić jednym oporem, tzw. oporem zastępczym.

Ogólnie rzecz biorąc, opór zastępczy R_z układu złożonego z kilku oporników ma wartość:

W zależności od rodzaju połączenia oporów może on przyjmować różne wartości.

1. Równoległe łączenie oporów.

Na oporach połączonych równolegle mamy do czynienia z jednakowymi wartościami przyłożonego napięcia.

Z I prawa Kirchhoffa wynika, że natężenie prądu płynącego w całym obwodzie ma wartość:

,

ponieważ natężenia prądów płynących przez poszczególne opory wynoszą odpowiednio:

,
,
.

Opór zastępczy układu oporów połączonych równolegle wyznaczamy następująco:

Jest on mniejszy od najmniejszego z tych oporów.

Opór zastępczy układu n jednakowych oporników o oporach R połączonych równolegle wynosi:

2. Szeregowe łączenie oporów.

Na oporach połączonych szeregowo przez każdy z nich płynie prąd o jednakowym natężeniu I.

Napięcie przyłożone do całego obwodu ma wartość:

ponieważ napięcia na poszczególnych oporach wynoszą odpowiednio:

,
,
.

Stąd wartość oporu zastępczego wynosi:

Jest on więc większy od największego z tych oporów.

Opór zastępczy układu n jednakowych oporników o oporach R połączonych szeregowo wynosi:

.

METODY POMIARU OPORU

1. Metoda pomiaru oporu za pomocą amperomierza i woltomierza.

W metodzie tej mierzymy natężenie prądu płynącego przez opór (za pomocą amperomierza) oraz przyłożone do tego oporu napięcie (za pomocą woltomierza), a następnie obliczamy opór R z zależności I od U:

(gdzie U_R i I_R są odpowiednio wartościami natężenia i napięcia prądu na oporze)

Należy jednak zastanowić się, czy otrzymany przez nas opór R₁, wyznaczony ze stosunku wskazań woltomierza U_V i amperomierza I_A, będzie rzeczywiście równy oporowi R. Okazuje się że nie — aby zatem uniknąć znaczących błędów w naszych obliczeniach, dla oporów o różnej wielkości konstruujemy różne obwody pomiarowe.

• Jeżeli mierzymy opory niewielkie, stosujemy następujący obwód elektryczny:

Woltomierz mierzący napięcie na końcach opornika R wskazuje napięcie na tym oporniku, natomiast przez amperomierz płynie prąd, którego natężenie jest sumą natężeń prądów płynących przez opór I_R i przez woltomierz I_V.

Stąd wartość zmierzonego oporu będzie równa:

Ponieważ woltomierz jest podłączony równolegle do oporu R, między natężeniami płynących w nich prądów zachodzi następująca zależność:

Zmierzona wartość oporu R jest zatem zawsze nieco mniejsza od oporu badanej części przewodnika:

Jeżeli jednak R_V jest odpowiednio większy od R, iloraz
można pominąć.

• Dla oporów dużych, wielokrotnie przewyższających opór amperomierza, stosujemy obwód o następującej konstrukcji:

Amperomierz połączony szeregowo z oporem R wskazuje natężenie prądu płynącego przez ten opór, natomiast woltomierz — napięcie, będące sumą napięć na oporze R i na amperomierzu.

W ten sposób wyznaczony opór R₂ jest równy:

Widzimy zatem, że obliczony opór R₂ jest większy od rzeczywistego oporu odcinka obwodu o wartość oporu amperomierza R_A. Jeżeli jednak R znacznie przewyższa R_A, to opór amperomierza można pominąć.

2. Metoda pomiaru oporu za pomocą mostka Wheatstone'a.

Między punkami A i B mamy dwa połączenia. Na jednym z nich umieszczamy ruchomy suwak (opory r₁ i r₂), na drugim — opory R (o znanej wartości) i R_x (którego wartość chcemy zmierzyć). Punkt D, umieszczony między oporami, połączony jest z punktem C suwaka za pomocą galwanometru. Przez gałąź ADB układu płynie prąd o natężeniu I₁, zależnym od R i R_x, a przez gałąź AB — prąd o natężeniu I₂, zależnym od r₁ i r₂.

Zasada pomiaru jest następująca: przesuwając suwak C na odpowiednie odległości od punktów A (l₁) i B (l₂), dobieramy tak opory r₁ i r₂, aby po dołączeniu do układu napięcia galwanometr nie wskazywał przepływu prądu w gałęzi CD (mimo że w gałęziach AB i ABD prąd płynie). Napięcia między punktami AD i AC, a także DB i CB, będą wówczas równe. Oznacza to, że:

Dodając stronami obie te równości i przekształcając równość otrzymaną, uzyskujemy zależność końcową:

II PRAWO KIRCHHOFFA

Prawo to mówi, że suma algebraiczna zmian potencjału w obwodzie zamkniętym (oczku elektrycznym) jest równa zeru. Oznacza to, że suma spadków potencjału na całym obwodzie musi być równa sile elektromotorycznej wytwarzanej wewnątrz obwodu (w źródle).

Siła elektromotoryczna ξ źródła jest liczbowo równa pracy, jaką wykonuje źródło przeciw siłom pola elektrycznego, przenosząc ładunek 1 C od bieguna o potencjale niższym (ujemnego) do bieguna o potencjale wyższym (dodatniego).

Inaczej mówiąc, źródło siły elektromotorycznej wytwarza różnicę potencjałów, powodującą przepływ prądu w przewodniku. Jak wiadomo, prąd w obwodzie płynie od wyższego do niższego potencjału, a więc od dodatniego do ujemnego bieguna źródła siły elektromotorycznej.

Jeżeli w obwodzie elektrycznym znajduje się kilka źródeł SEM, o kierunku przepływu decyduje źródło, którego SEM jest większa. SEM tego źródła przypisujemy wartość dodatnią, a prąd płynie od jego dodatniego do ujemnego bieguna. Jeżeli pozostałe źródła są podłączone podobnie jak źródło główne, ich SEM dodają się do SEM głównej. Jeżeli któreś z nich jest podłączone przeciwnie, jego SEM należy odjąć od SEM głównej. Podobnie odejmują się spadki potencjału na wszystkich napotkanych po drodze oporach, łącznie z oporami samych źródeł siły elektromotorycznej.

SEM źródła prądu w obwodzie elektrycznym o oporze zewnętrznym R nie jest dokładnie równa napięciu prądu w tym obwodzie, ponieważ każde źródło ma opór własny r_w, na którym również następuje spadek potencjału. Napięcie prądu w całym obwodzie, zwane napięciem użytecznym, dane jest wzorem:

Jest ono zatem zawsze mniejsze od SEM źródła prądu i maleje liniowo wraz ze wzrostem natężenia I prądu płynącego przez źródło SEM.

Drugie prawo Kirchhoffa pozwala nam wyprowadzić wzór na natężenie prądu w obwodzie o znanej sile elektromotorycznej ξ, oporze R i oporze własnym źródła r_w. Suma wzrostów i spadków potencjałów w całym obwodzie ma równać się zeru, co daje nam równanie:

Po jego przekształceniu otrzymujemy wzór:

.

Opisuje on natężenie prądu stałego w obwodzie zamkniętym i jest matematycznym wyrażeniem tzw. prawa Ohma dla całego obwodu.

POJEMNOŚĆ PRZEWODNIKA

Pojemnością przewodnika nazywamy stosunek wprowadzonego nań ładunku Q do wywołanej w ten sposób zmiany potencjału V.

Jednostką pojemności jest 1 farad (1 F). Jest to pojemność olbrzymia, bo zazwyczaj do uzyskania jednostkowego potencjału wystarczą niezmiernie małe ładunki. Dlatego zazwyczaj stosujemy jednostki mniejsze: mikrofarady (10^-6 F) , nanofarady (10^-9 F) i pikofarady (10^-12 F).

KONDENSATOR PŁASKI

Kondensatorem nazywamy układ dwóch przewodników rozdzielonych próżnią lub dielektrykiem. Kondensator płaski tworzą dwie równoległe płytki przewodzące (okładki), umieszczone od siebie w niewielkiej odległości d. Ładowanie kondensatora polega na wprowadzaniu na obie okładki ładunków elektrycznych o jednakowej wartości, ale o przeciwnych znakach.

Zależność napięcia między okładkami kondensatora a natężenia pola elektrycznego w jego wnętrzu ilustruje równanie:

Natężenie pola elektrycznego w kondensatorze możemy też wyrazić przez pojęcie gęstości ładunku:

gdzie σ jest gęstością powierzchniową ładunku,

ε — względną przenikalnością dielektryczną ośrodka wypełniającego kondensator,

ε₀ — bezwzględną przenikalnością dielektryczną próżni

Po porównaniu obydwu wzorów i przekształceniu otrzymujemy zależność końcową:

Okazuje się, że stosunek Q do U jest stały. Oznaczamy go literą C i nazywamy pojemnością kondensatora płaskiego. Jednostką pojemności kondensatora, podobnie jak przewodnika, jest farad.

SCHEMAT MOSTKA WHEATSTONE'A

---