POTĘGOWANIE a^m * a^n = a^m+n a^m * a^n = a^m-n (dla m>n * a≠0) (a^m)^n = a^m^⋅^n (a⋅b)^n = a^n⋅b^n (a/b)^n = a^n/b^n (dla b≠0) a^0=1 WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 (a-b)^2= a^2-2ab+b^2 (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 (a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 a^2-b^2= (a-b)(a+b) a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc	PIERWIASTKOWANIE WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI Z WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ Równanie: x-a= b, oznacza, że x-a = b ∨ x-a = -b. Nierówność: x-a<b, jest spełniona ⇔ gdy: x-a>-b ∧ x-a<b Nierówność: x-a>b, jest spełniona ⇔ gdy: x-a<-b ∨ x-a>b	UKŁADY RÓWNAŃ TRÓJMIAN KWADRATOWY f(x)=ax^2+bc+c Δ=b^2-4ac Jeżeli Δ>0, wtedy:
Jeżeli Δ=0, wtedy: Współrzędne wierzchołka paraboli: Wzory Viete'a: TRYGONOMETRIA sin^2α + cos^2α = 1 tgα⋅ctgα = 1	Wzory redukcyjne: sin(90°+α) = cosα sin(180°+α) = -sinα cos(90°+α) = -sinα cos(180°+α) = -cosα tg(90°+α) = -ctgα tg(180°+α) = tgα ctg(90°+α) = -tgα ctg(180°+α)= ctgα sin(270°+α) = -cosα sin(360°+α) = sinα cos(270°+α) = sinα cos(360°+α) = cosα tg(270°+α) = -ctgα tg(360°+α) = tgα ctg(270°+α)= -tgα ctg(360°+α) = ctgα Fukncje trygonometryczne sumy kątów:	Funkcje trygonometryczne różnicy kątów: Funkcje trygonometryczne kąta podwojonego:
Funkcje trygonometryczne połowy kąta: znak + lub - bierzemy zależnie od tego, do której ćwiartki należy Sumy funkcji trygonometrycznych:	Różnice funkcji trygonometrycznych: CIĄGI LICZBOWE CIĄGIEM ARYTMETYCZNYM nazywamy taki ciąg liczbowy, w którym różnica kolejnych wyrazów jest stała ⇒ r =an+1- an Wyraz ogólny ciągu: an = a1 + (n-1)r	Suma częściowa: CIĄG GEOMETRYCZNY to taki ciąg liczbowy, w którym iloraz kolejnych wyrazów jest stały ⇒ Wyraz ogólny ciągu: an = a1 ⋅ q^n-1 Suma częściowa: Suma nieskończonego ciągu geometrycznego:

Kwadrat: P=a^2 P= r = Obw=4a d=a R==1/2d Prostokąt P =ab Obw=2(a+b) d= Równoległobok P =ah P =ab sin α Obw=2(a+b) h=b sin α Romb P = a= Obw = 4a P = a * h Trapez P = Obw = a+b+c+d Koło P = πr^2 = = 0,785D^2 Obw = 2πr = Pw = * πr^2 Pw - pole wyc. koła Trójkąt dowolny P = Obw = a+b+c Trójkąt równoboczny P= r==1/3h h= R== 2/3h Obw = 3 * a		Trójkąt prostokątny P= 1/2 a*b=1/2 c*h Obw = a+b+c sinx=a/c cosx= b/c tgx=a/b ctg=b/a Tw sinusówu 2R = = = Tw cosinusów a^2=b^2+c^2-2bc cos /b^2=a^2+c^2-2ac cos c^2=a^2+b^2-2ab cosγ - Odległość dwóch punktów na płaszczyźnie /AB/ = - Środek odcinka AB ma współrzędne: ( , ) - Odleg. punktu P(xp,yp) od prostej "L" na płaszczyźnie: L : Ax + By + C =0 A^2 + B^2 > 0 d = - Współrzędne wektora na płaszczyźnie: AB = [xB - xA, yB - yA] - Długość wektora na płaszczyźnie : AB = - Równanie okręgu: (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2lub x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0 S=(a,b)c = a^2 + b^2 - r^2 a^2 + b^2 -c > 0 - Równanie ogólne prostej Ax + By + C = 0 Równanie kier prostej y = ax + b - Proste y = a1x + b1 i y = a2x + b2 są: - równoległe a1 = a2 - prostopadłe a1a2 = -1		Kąty na czworokącie a+c = b+d α+γ = β+δ Sześcian P=6a^2 V=a3 d=a√3 Pb=4a^2 d1=a√2 Prostopadłościan V=abc Pb=2ac+2bc Pb=2(a+b)c P=2ab+2bc+2ac P=Pb+2ab P=2(ab+bc+ac) d= P=2ab+2ah+2bh Graniastosłup V=Pp*H= P*h Pb=Obw*H Pb=3ab P=2Pp+Pb Ostrosłup V=1/3PpH P=Pp+Pb Pp= Walec V=πr^2H Pp=πr^2 Pb=2πrH Pc=2πr^2+2πrH Stożek Pb=πrl P=πrl+πr^2 v=1/3πr^2H Kula V=4/3πr^3 P=4πr^2
POLA FIGUR PŁASKICH Trójkąt: S = pr, p - połowa obwodu; r - pr. okręgu wpisanego , R - pr. okręgu opisanego Trójkąt równoboczny: Równoległobok:		Romb: Trapez: Koło i okrąg: S = Πr^2 2p = 2Πr p - połowa obwodu Pole wycinka koła: Długość łuku koła:		LOGARYTMY STEREOMETRIA Sześcian: V=a^3 Prostopadłościan: V=abh Walec: V=Πr^2h Ostrosłup foremny: V=1/3a^2h Stożek: V=1/3Πr^2h, S-boczne=Πrl Kula: V=4/3Πr^3, S=4Πr^2
GEOMETRIA ANALITYCZNA Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty: Odległość punktu od prostej: Współczynnik kierunkowy: Warunek równoległości: A1B2 = A2B1 Warunek prostopadłości: ac = -1		Wyznacznik (Dla trójkąta 1/2 det): Iloczyn skalarny: oblicznie długości wektorów z iloczynu skalarnego OKRĄG Równanie okręgu: (x - a)^2+ (y - b)^2= r^2 x^2+y^2-2ax-2by+c=0		PRAWDOPODOBIEŃSTWO Własności: P(∅)=0 A⊂B ⇒ P(A) ≤ P(B) P(A) ≤ 1 P(A')=1-P(A) P(A∪B)=P(A) + P(B) - P(A∩B) Symbol Newtona: Wariacje: z powtórzeniami: bez powtórzeń: Prawdopodobieństwo warunkowe:
Prawdopodobieństwo przyczyny: Zdarzenie niezależne: P(A∩B)=P(A)⋅P(B) FUNKCJE I WYKRESY FUNKCJI				Pochodne: x^a'= ax^a-1 sinx' = cosx cosx' = -sinx tgx' = = 1+tg^2x ctgx' =- = -(1+ctg^2x) arcsinx' = arccosx' = arctgx' = arcctgx' = e^x' = e^x	a^x' = a^xlna ln|x|' = 1/x loga|x|' = = (1/x) logae ' = 1/(n) [c*f(x)]'=c*f'(x) [f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x) [f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x) f[g(x)]'=f'[g(x)*g'(x) [f(x)*g(x)]'= f'(x)*g(x)+g'(x)*f(x) [f(x)/g(x)]'= ('(x)*g(x)-g'(x)*f(x))/[g(x)]^2
Całki: = = ln(x) = e^x = = = sinx = -cosx = -ln(cosx)	= ln(sinx) = -ctgx = tgx = ln(ax+b) = arctgx = arctg = ln|| = ln||	= arcsinx = arcsin =ln(x+) =ln(x+) =ln(x+ =ln(x+)	= + arcsin = + ln|x+|	Potęgi: a^0=1 {a≠0} a^1=a {a∈R} a^n+1= a^n*a a^-n=1/a^n (a/b)^-n= (b/a)^n {a*b≠0} a^m/n= ^n√a^m a^-(m/n)=1/^n√a^m a^m*a^n=a^m+na^m/a^n=a^m-n (a*b)^m=a^m*b^m (a/b)^m=a^m/b^m(a^m)^n=a^m*n Pierwiastki: ^n√a = b { a ≥ 0, b ≥ 0, n∈N \ {0,1} } ^n√a=-^n√/a/ ^n√a*b = ^n√a*^n√b ^m√^n√a= ^mn√a (^n√a)^m = ^n√a^m a*^n√b=^n√a^nb ^n√a/b=^n√a/^n√b {dla b>0} (^n√a)^n=a √x^2 =/x/ ^3√x^3=x Logarytmy: logab=c a^c=b { a∈R^+\ {1} i b∈R^+} loga1=0 logaa=1 a^loga^b=b logb=c 10^c=b loga(b1*b2)=logab1+logab2 logab1/b2=logab1-logab2 logab^m=m*logab loga^n√b=1/n logab logab=logcb/logca logab=1/logba
Prawdopodoieństwo: - Permutacje : wszystkie elementy zioru n- elementowego można ustawić w ciąg na Pn = n! sposobów. - Kombinacje : ze zb. n-elem moż wybrać podzb. k-elem na C^kn = (^nk) = - Wariacja z powtórzeniami : z elem z n-elem mażna utworzyć k-wyrazowy ciąg na R^kn = n^k sposob - Wariacja bez powtórzeń : z elem zb n-element można utworzyć k-wyraz ciąg o różnych wyraz V^kn = - Prawdopodoieństwo : A- liczba zdarz elem sprzyja zdarz A P(A) = Ω- licza wszyst możliw zdarz eleme A = moc zbioru A, Ω -moc zbioru Ω - Prawdopodobieństwo zdarzeia przeciwn. Do A: P(A')=1-P(A) - Prawdopod warunkowe : P(A\B) = - Prawdop iloczynu zdażeń: P(A∩B) =P(A/B)*P(B) - Zdarzenia nizależne: P(A∩B) =P(A)*P(B)		- Prawdopod całkowite : P(A) =P(A/B1)*P(B1)+P(A/B2)*P(B2)+..+P(A/Bn)*P(Bn) P(Bi /A) = - Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń: P(A∪B) = P(A)+P(B) - P(A∩B) - Schemat Bernouliego: Pn (k) = (^nk) * p^k * q^n-k { 0 ≤ k ≤ n } n - ilość prób k - ilość sukces p - prawdop sukcesu q - prawdop porażki p + q = 1		Ciągi : ciąg arytmetyczny: an+1=an+r an+1-an=r an=a1+(n-1)r Sn=a1+a2+...+an-1+an an== { 0 < k < n , n ≥ 2 } Sn= = Monotoniczność : r >0 -c.rośnie r<0 -c.mal r=0 -stały ciąg geometryczny: an+1=an*q an=a1*q^n-1 Sn =n*a1 { dla q=1 } Sn = a1+a2+...+an-1+an Sn= { dla q≠1} an=√(an+1*an-1)=√(an+k*an-k) {dla 0 < k < n , n ≥ 2 } - ciąg geom. nazywamy naprzemiennym, gdy q < 0 i a1 ≠ 0 - monotoniczność: c.rosnący q>1 i a1>0 lub q∈(0;1) i a1<0 c.malejący q>1 i a1<0 lub q∈(0;1) i a1>0 c.stały q=1 lub a1=0 Sn = a1+a2+a3+... = { dla c. nieskończone zbieżneg } /q/ < 1 lub a1= 0

---