Data:

POLITECHNIKA ŚLĄSKA

WYDZIAŁ MECHANICZNY-TECHNOLOGICZNY

KATEDRA WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
I METOD KOMPUTEROWYCH MECHANIKI

LABORATORIUM
WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

SPRAWOZDANIE

TEMAT: DOŚWIADCZALNE SPRAWDZENIE TWIERDZEŃ O WZAJEMNOŚCI PRAC (BETTIEGO) I PRZEMIESZCZEŃ (MAXWELLA).

Krzysztof Boroń

Automatyka i Robotyka

Grupa: 1 Sekcja: 1 CEL ĆWICZENIA

1. Zapoznanie się z teorią układów liniowo-sprężystych.

2. Doświadczalne wyznaczenie macierzy podatności i potwierdzenie jej symetryczności.

3. Doświadczalne sprawdzenie twierdzenia Maxwella i twierdzenia Bettiego.

1. WSTĘP TEORETYCZNY

Twierdzenie o wzajemności prac i przemieszczeń

Twierdzenie Bettiego:

2. OPIS STANOWISKA POMIAROWEGO

Ćwiczenie przeprowadza się z użyciem ramy przedstawionej na rys. 1. Jest ona sztywno utwierdzona w punkcie 0 i ma możliwość obciążenia w punktach A, B i C oraz pomiaru przemieszczenia tych punktów za pomocą czujników zegarowych w kierunkach osi układu współrzędnych.

Rys. 1 Rama wykorzystywana w ćwiczeniu

3. CZĘŚĆ OBLICZENIOWA

Na podstawie przeprowadzonych doświadczeń uzupełniono protokół pomiarowy.

Weryfikacja twierdzenia Maxwella:

u₁₂=u₂₁

Próba 1 - obciążenie P1=P2=0,7 [kG]

u₂₁=0,76 [mm]

u₁₂=0,68 [mm]

różnica 0,08 [mm]

średnia=0,72 [mm]

błąd w procentach = 11,1%

Próba 2 - obciążenie P1=P2=0,4 [kG]

u₂₁=0,41 [mm]

u₁₂=0,38 [mm]

różnica 0,03 [mm]

średnia=0,395 [mm]

błąd w procentach = 7,59%

Weryfikacja twierdzenia Bettiego:

Twierdzenie o wzajemności prac dla naszego układu ma następującą postać (porównanie prac układów sił na odpowiadających im przemieszczeniach):

P­­₁u_1k + P­­₂u_2k = P­­₃u_3i + P­­₄u_4i

Po podstawieniu danych z doświadczenia otrzymujemy:

L = 0,7*-1,23+0,4*-3,08 P = 0,4*-2,62+0,7*-1,66

L = (-0,861) + (-1,232) P = (-1,048) + (-1,162)

L = -2,093 P = -2,21

L≠P

-2,093 ≈ -2,21

Różnica: -0,117 [kG*mm]

Wyznaczenie macierzy podatności i sztywności:

Siła [kG] P1=P2=P3=0,7 = 6,867 N

Przemieszczenia zamienione z [mm] na [m].

Macierz podatności D [m/N]:

Symetryczność

u₂₁ i u₁₂

różnica : -0,00001313

u₃₁ i u₁₃

różnica : 0,0000146

u₃₂ i u₂₃

różnica: -0,0000248

Macierz sztywności A=D^-1 [N/m]:

u₂₁ i u₁₂

różnica : 14148

u₃₁ i u₁₃

różnica : -9299,426

u₃₂ i u₂₃

różnica: -2820

4. WNIOSKI

Porównane wartości przemieszczeń w weryfikacji tw. Maxwella są do siebie zbliżone. Podobnie jest w przypadku weryfikacji tw. Bettiego - wartości porównywanych prac różnią się w małym stopniu. Niestety jednak problemy pojawiają się przy symetryczności macierzy. O ile w macierzy podatności błędy między symetrycznymi wartościami są niewielkie, to jednak te niewielkie odchyłki prowadzą do większych błędów w macierzy sztywności. Nawarstwiają się wzajemnie i niestety są zbyt duże aby można było mówić o symetryczności macierzy.

Wszelkie różnice i błędy pomiarów mogą być spowodowane faktem, iż w obliczeniach nie uwzględnia się takich czynników jak: masa nici na których zawieszano obciążenia, tarcie na powierzchniach styku ruchomych części układu czy też brak możliwości zapewnienia w danych warunkach laboratoryjnych całkowitej statyczności obciążeń

---