1.Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia było zapoznanie się zespołu z budową i zasadą działania licznika Geigera-Mullera i wykazanie, że częstość przemian promieniotwórczych jest funkcją statystyczną, której gęstość prawdopodobieństwa wyrażona jest jako:

a/ rozkład Poissona, w przypadku małych wartości częstości,

b/ rozkład Gaussa, gdy wartości częstości są duże.

W części pomiarowej ćwiczenia dokonano pomiarów napięcia licznika i opowiadającej mu szybkości zliczania impulsów w celu wyznaczenia charakterystyki roboczej licznika. Wykonano również pomiary szybkości zliczania impulsów dla dwóch próbek promieniotwórczych razem oraz dla każdej z osobna. Posłużyło to następnie do obliczenia czasu martwego licznika. Zgodność rozpadu promieniotwórczego z rozkładem Poissona została zbadana przy pomocy testu χ² na zautomatyzowanym ( komputer ) stanowisku pomiarowym.

Schemat blokowy aparatury pomiarowej przedstawia poniższy rysunek

2.Pomiary

A.Wyznaczenie charakterystyki roboczej licznika Geigera-Mullera

W pierwszej części ćwiczenia wyznaczaliśmy charakterystykę roboczą licznika. W tym celu dokonaliśmy pomiarów, na podstawie których można ją narysować.

U[V]	N[imp]	I[imp/min]	sigma
496	6741	6741	82,10359
498	9087	9087	95,32576
500	9627	9627	98,11728
502	9938	9938	99,68952
504	10153	10153	100,7621
506	10506	10506	102,4988
508	10459	10459	102,2693
510	10430	10430	102,1274
530	10832	10832	104,0769
550	11170	11170	105,6882
570	11453	11453	107,0187
590	11509	11509	107,28
610	11952	11952	109,3252
630	12482	12482	111,7229
650	13212	13212	114,9435
670	15535	15535	124,6395
690	19010	19010	137,8768
710	28123	28123	167,6991
712	30098	30098	173,4878
720	31022	31022	176,1306

Gdzie:

U[V] - napięcie między katodą a anodą licznika

N[imp] - ilość zliczonych impulsów podczas pomiarów (t=1min)

I[imp/min] - szybkość zliczania impulsów

Sigma=

Na podstawie wykresu możemy określić podstawowe parametry licznika:

Napięcie progowe: Up=496 [V]

Napięcie U₁=506[V]

Napięcie U₂=578[V]

Napięcie pracy: U=542 [V]

Długość plateau: 72 [V]

Nachylenie plateau:12,57%

Zmierzyliśmy również tło licznika: I = 12 [imp/min]

B. Czas martwy licznika Geigera-Mullera

Dalsza część ćwiczenia miała na celu określenie czasu martwego badanego licznika, który jest głównym czynnikiem ograniczającym szybkość zliczania impulsów. Opieraliśmy się na pomiarze aktywności dwóch próbek osobno i razem.

Nr. preparatu	t [min]	N [imp]	In [imp/min]	I = In-Itła
1	10	113533	11353	11341
1+2	10	252845	25285	25273
2	10	144525	14453	14441

Wartość czasu martwego mogę wyznaczyć korzystając z przybliżonej zależności. Została ona wyprowadzona w oparciu o równanie, które stwierdza równość między rzeczywistą aktywnością obu próbek jednocześnie i sumą rzeczywistych aktywności każdej z próbek z osobna. Wyniki pomiarów aktywności przy pomocy licznika Geigera-Mullera stwierdzają brak takiej zgodności w przypadku aktywności zmierzonych. Wynika ona z tego, że pomiar aktywności obarczony jest błędem wynikającym z istnienia czasu martwego. Czas martwy powoduje, że przy pomiarze większych aktywności pominięta zostanie większa liczba cząstek, które powinny wzbudzić licznik i wywołać zliczenie kolejnego impulsu, niż przy pomiarze mniejszych aktywności. Spowodowane jest to tym, że cząstki są częściej wysyłane i częściej trafiają na licznik w `stanie martwym'. Dlatego zmierzona aktywność połączonych próbek jest mniejsza niż suma zmierzonych aktywności obu próbek z osobna. Znając zależność między intensywnością rzeczywistą, a intensywnością zmierzoną i czasem martwym licznika można dojść do zależności:

τ = ( I₁ + I₂ - I_1,2 ) / 2I₁I₂

gdzie:

τ - czas martwy licznika;

I₁ -zmierzona intensywność pierwszej próbki;

I₂ -zmierzona intensywność drugiej próbki;

I_1,2 - zmierzona intensywność obu próbek razem;

τ = 1.55 [ μs ];

Błąd wyznaczenia czasu martwego licznika wyznaczam metodą różniczki zupełnej:

Przy czym błędy zliczania impulsów wyznaczam z zależności:

Zatem błąd wyznaczenia czasu martwego:

Ostatecznie więc wyznaczony przez nas czas martwy licznika wynosi:

τ = 1,55 ± 0,36 [μs]

Charakterystyka U - I badanego przez nas licznika ma spodziewany przebieg. Obszar `plateau' charakteryzuje się względnie dużym pochyleniem ( rzędu 13 % ), co sprawia, że w obszarze pracy licznik podaje różne wartości zliczonych impulsów podczas zmian napięcia pracy. Długość obszaru `plateau', która nie jest zbyt duża (72 [V]) także świadczy o niezbyt wysokiej klasie licznika. Na końcu obszaru `plateau' charakterystyka rośnie parabolicznie względnie łagodnie, co spowodowane jest wzrostem prawdopodobieństwa wyładowania samoistnego.

Zmierzone promieniowanie tła, które wynosiło I_tła = 12 [imp/min], jest nieznaczne w porównaniu do promieniowania badanego, preparatu promieniotwórczego i w znikomy sposób mogło wpłynąć na uzyskane wyniki.

C. Badanie statystycznego charakteru rozpadu promieniotwórczego

Aby wyznaczyć własności statystyczne rozpadu promieniotwórczego rejestrowaliśmy w krótkich odcinkach czasu impulsy pochodzące z licznika Geigera - Mullera. Krótkie chwile czasu w których następowało zliczanie spowodowały losowy rozrzut uzyskanych stanów przelicznika. Gdyby czas pojedynczych pomiarów był długi to uzyskiwane stany przelicznika byłyby bardzo zbliżone co uniemożliwiałoby analizę statystyczną. Wyniki pomiarów zostały zarejestrowane w postaci histogramów dla dwóch serii pomiarowych:

• seria 1 - ilość wartości zmiennej losowej 650 przy wartości średniej rozkładu
  =7;

• seria 2 - ilość wartości zmiennej losowej 650 przy wartości średniej rozkładu
  =26;

Histogram te zostały ponadto opisane tabelarycznie.

Dla wartości oczekiwanej zmiennej losowej
< 20 (poziom ufności 99,5%) zarejestrowany rozpad promieniotwórczy podlega rozkładowi Poissona Dla wartości oczekiwanej zmiennej losowej
> 20 zarejestrowany rozpad promieniotwórczy podlega rozkładowi Gaussa. Za pomocą testu χ² określiłem zgodność otrzymanych wyników z danym rozkładem. Poszczególne etapy obliczeń zostały zebrane w poniższych tabelach:

Seria pomiarowa 1:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
kj	n(kj)	ki*n(kj)	ki-k	(ki-k)^2	Pk(ki)	Pk,k(ki)	n*Pk(ki)	n*Pk,k(ki)	nj-n*Pk(ki)	nj-n*Pk,k(ki)
0	2	0	-17	289	0,0009119	1,035E-09	0,5927233	6,726E-07	1,4072767	1,9999993	3,341235	6,7485072
1	4	4	-16	256	0,0063832	9,339E-09	4,1490629	6,07E-06	-0,149063	3,9999939	0,0053554	3,8562807
2	20	40	-15	225	0,0223411	7,376E-08	14,52172	4,795E-05	5,4782797	19,999952	2,0666662	27,544814
3	47	141	-14	196	0,0521293	5,099E-07	33,884014	0,0003314	13,115986	46,999669	5,0769985	65,192065
4	62	248	-13	169	0,0912262	3,085E-06	59,297025	0,002005	2,7029754	61,997995	0,1232115	64,821994
5	76	380	-12	144	0,1277167	1,633E-05	83,015834	0,0106155	-7,015834	75,989384	0,5929222	69,557652
6	122	732	-11	121	0,1490028	7,567E-05	96,851807	0,049188	25,148193	121,95081	1,5298898	153,55419
7	91	637	-10	100	0,1490028	0,0003069	96,851807	0,1994673	-5,851807	90,800533	0,3535674	85,127341
8	80	640	-9	81	0,1303774	0,0010891	84,745331	0,70791	-4,745331	79,29209	0,2657157	74,189757
9	56	504	-8	64	0,1014047	0,0033827	65,913035	2,198763	-9,913035	53,801237	1,4908776	43,915033
10	46	460	-7	49	0,0709833	0,0091952	46,139125	5,9768576	-0,139125	40,023142	0,0004195	34,717866
11	25	275	-6	36	0,0451712	0,021875	29,361261	14,218751	-4,361261	10,781249	0,6478127	3,9587986
12	9	108	-5	25	0,0263498	0,045544	17,127402	29,60357	-8,127402	-20,60357	0,8566659	24,785258
13	8	104	-4	16	0,0141884	0,0829865	9,2224474	53,941221	-1,222447	-45,94122	0,162037	228,85419
14	1	14	-3	9	0,0070942	0,1323361	4,6112237	86,018434	-3,611224	-85,01843	2,8280859	1567,5089
15	1	15	-2	4	0,0033106	0,1846898	2,1519044	120,04839	-1,151904	-119,0484	0,6166091	6586,0362
120	650	4302		1784							19,958069	9040,3688
7,5				111,5							Poisson	Gauss
				(k^)2

Dla rozkładu Poissona *² = 20

Dla rozkładu Gaussa *² = 9040

Seria pomiarowa 2:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
12	1	12	-14	196	0,0010179	0,0355105	0,6616069	23,081853	0,3383931	-22,08185	0,1730784	737,00597
13	0	0	-13	169	0,0020357	0,0427523	1,3232138	27,788972	-1,323214	-27,78897	1,3232138	583,59954
14	0	0	-12	144	0,0037806	0,050768	2,4573971	32,999229	-2,457397	-32,99923	2,4573971	443,1311
15	2	30	-11	121	0,0065531	0,0594636	4,2594884	38,651343	-2,259488	-36,65134	1,1985683	315,37143
16	6	96	-10	100	0,0106487	0,0686976	6,9216686	44,653436	-0,921669	-38,65344	0,1227266	215,85664
17	7	119	-9	81	0,0162863	0,0782819	10,586081	50,88323	-3,586081	-43,88323	1,2148007	181,91225
18	23	414	-8	64	0,0235246	0,0879854	15,291006	57,190509	7,7089936	-34,19051	0,8865056	76,449572
19	22	418	-7	49	0,0321916	0,0975415	20,924535	63,401969	1,0754649	-41,40197	0,055276	81,919288
20	24	480	-6	36	0,0418491	0,106659	27,201896	69,328375	-3,201896	-45,32838	0,3768905	75,533765
21	14	294	-5	25	0,0518131	0,1150364	33,678537	74,773687	-19,67854	-60,77369	2,4982676	109,6675
22	44	968	-4	16	0,0612337	0,1223778	39,801908	79,545582	4,1980921	-35,54558	0,4427923	31,744418
23	53	1219	-3	9	0,0692207	0,1284102	44,993461	83,46662	8,0065389	-30,46662	1,4247552	20,629997
24	61	1464	-2	4	0,0749891	0,1329002	48,742916	86,38515	12,257084	-25,38515	3,0822141	13,220502
25	60	1500	-1	1	0,0779887	0,1356693	50,692633	88,185026	9,3073672	-28,18503	1,7088693	15,670831
26	41	1066	0	0	0,0779887	0,136605	50,692633	88,79328	-9,692633	-47,79328	2,8532699	45,059755
27	49	1323	1	1	0,0751002	0,1356693	48,815128	88,185026	0,1848721	-39,18503	0,0007001	31,454721
28	48	1344	2	4	0,0697359	0,1329002	45,328333	86,38515	2,671667	-38,38515	0,1574689	32,505491
29	45	1305	3	9	0,0625218	0,1284102	40,639195	83,46662	4,3608049	-38,46662	0,4679379	36,410192
30	31	930	4	16	0,0541856	0,1223778	35,220636	79,545582	-4,220636	-48,54558	0,5057764	66,911726
31	30	930	5	25	0,045446	0,1150364	29,539888	74,773687	0,4601119	-44,77369	0,0071667	67,863596
32	24	768	6	36	0,0369249	0,106659	24,001159	69,328375	-0,001159	-45,32838	5,597E-08	85,606765
33	19	627	7	49	0,0290923	0,0975415	18,910004	63,401969	0,0899959	-44,40197	0,0004283	104,25883
34	18	612	8	64	0,0222471	0,0879854	14,460591	57,190509	3,5394086	-39,19051	0,866314	106,21253
35	8	280	9	81	0,0165264	0,0782819	10,742154	50,88323	-2,742154	-42,88323	1,6999906	171,19206
36	9	324	10	100	0,0119357	0,0686976	7,758222	44,653436	1,241778	-35,65344	0,1987585	163,84779
37	3	111	11	121	0,0083873	0,0594636	5,4517236	38,651343	-2,451724	-35,65134	1,1025777	233,14063
38	6	228	12	144	0,0057387	0,050768	3,7301267	32,999229	2,2698733	-26,99923	1,3812734	195,42456
39	0	0	13	169	0,0038258	0,0427523	2,4867511	27,788972	-2,486751	-27,78897	2,4867511	310,5365
40	0	0	14	196	0,0024868	0,0355105	1,6163882	23,081853	-1,616388	-23,08185	1,6163882	329,60643
41	1	41	15	225	0,001577	0,0290928	1,0250267	18,910298	-0,025027	-17,9103	0,000611	312,94675
795	649	16903		2255							31,310768	5194,6911
				72,74							Poisson	Gauss
				(k^)2

Dla rozkładu Poissona *² = 31,31

Dla rozkładu Gaussa *² = 5194,7

Wnioski

Zestawienie wyników

Rozkład doświadczalny	N=650 r=16 ksr=7	N=650 r=31 ksr=26
Rozkład Poissona	sp= r-2 =14 *p^2= 20 *gr^2= 31,32	sp.= r-2 =29 *p^2=31,31 *gr^2=52,34
Rozkład Gaussa	sG= r-3 =13 *G^2=9040,37 *gr^2=29,82	SG= r-3 =28 *G^2= 5194,69 *gr^2=50,99

. Prawdopodobieństwo w rozkładzie dwumianowym określone przez trzy parametry: czas obserwacji t, stałą przemiany λ, oraz ilość atomów N. W praktycznych badaniach nie jesteśmy w stanie dokładnie określić liczby atomów w próbce stąd stosujemy dwie aproksymacje rozkładu dwumianowego: rozkład Poissona ( gdy średnia liczba przemian jest mała) oraz rozkład normalny czyli rozkład Gaussa ( gdy średnia liczba przemian jest duża).

Warto się zastanowić jaki rozkład teoretyczny dobrze opisuje rozkład doświadczalny zmiennej losowej, gdzie zmienna losową jest liczba przemian jąder w preparacie promieniotwórczym w określonym czasie . Wiadomo ,źe jeżeli liczba k będzie większa od 20 to dane zjawisko dobrze opisuje rozkład Gaussa, w przeciwnym przypadku rozkład opisuje rozkład Poissona. Wartości liczby *² dla rozkładu Poissona dla obu przeprowadzonych serii przybiera wartości odpowiednio 20 oraz 31 (obie wartości są mniejsze od *_gr²), podczas, gdy liczby te w rozkładzie Gaussa przybierają wartości kilku tysięcy. Zatem słuszne jest stwierdzenie mówiące, że rozpady promieniotwórcze opisuje rozkład Poissona.

---