USTNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

przykładowy zestaw powtórkowy

Przedstawiony zestaw zadań z różnych działów pomoże Ci w przygotowaniu się do egzaminu ustnego z matematyki:

Liczby rzeczywiste

1) Omów podzbiory zbioru liczb rzeczywistych. Udowodnij, że pierwiastek z siedmiu jest liczbą niewymierną.

2) Zdefiniuj wartość bezwzględną (moduł) liczby rzeczywistej. Podaj własności modułu - udowodnij jedną z nich.

3) Zdefiniuj układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Omów metody rozwiązań takiego układu.

4) Udowodnij, że liczba n³ - n (n jest liczbą całkowitą) jest podzielna przez 6.

5) Udowodnij, że dla dowolnej parzystej liczby naturalnej n liczba n(n+1)(2n-1) jest podzielna przez 24.

6) Sprawdzić czy suma kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna
przez 4. Sprawdź również podzielność przez 8.

7) Rozwiąż równanie: |x+3|-|x-1|=4.

8) Rozwiąż nierówność: |x-3|+|x+1|>3.

9) Dla jakich a i b równość (a+b)²=a²+b² jest prawdziwa ?

10) Rozwiąż układ równań w zależności od parametru m:

2mx - (m+2)y = 3m

i

2(m-1)x - my = 3(m-1).

11) Udowodnij, że dla dowolnych nieujemnych liczb a i b prawdziwa jest nierówność:

(a³+b³)/2
((a+b)/2)³.

symbol "/" oznacza kreskę ułamkową

12) Dla jakich wartości parametru k, m i n układ równań:

mx = 17 - y

i

x - ny = k

jest układem równań niezależnych, zależnych, sprzecznych ?

13) Udowodnij, że dla każdych liczb a>0 i b>0 prawdziwa jest nierówność:

a/b + b/a
2.

14) Przedstaw w układzie współrzędnych sumę, wspólną część i różnice następujących zbiorów:

A = {(x;y): x
R, y
R i y
x²+1}

B = {(x;y): x
R, y
R i y
<1;+
)}.

15) Usuń niewymierność z mianownika: 1/ (2 + 5^0,5 - 2*2^0,5). (* - to znak mnożenia).

Własności funkcji

1) Podaj definicję dziedziny funkcji. Wyznacz dziedzinę funkcji f(x) = 1/(4 - x²) + 1/(x - 3).

2) Zdefiniuj miejsce zerowe funkcji. Wyznacz miejsca zerowe następujących funkcji:

f(x) = (x² - 5x +6)/(x - 2) ; g(x) = tg 2x ; h(x) = 5^2-x.

3) Podaj definicję funkcji rosnącej (malejącej) w danym zbiorze. Określ, dla jakich m funkcja
y = mx + n jest rosnąca (malejąca) w R. Udowodnij swoją tezę.

4) Udowodnij na podstawie definicji, że dla a<0 funkcja y = ax² jest rosnąca w zbiorze R_ .

5) Czy funkcja malejąca (rosnąca) w danym zbiorze jest również w tym zbiorze różnowartościowa ? Sformułuj i udowodnij odpowiednie twierdzenie.

6) Zdefiniuj funkcję parzystą i nieparzystą. Zbadaj parzystość następujących funkcji:

f(x) = x|x| ; g(x) = 2^x - 2^-x ; h(x) = (sinx)/x .

7) Dziedziną funkcji y = f(x) jest zbiór liczb rzeczywistych. Zbadaj parzystość funkcji:

g(x) = f(x) + f(-x)

8) Jakie przekształcenia geometryczne wykresu funkcji y = f(x) należy wykonać, aby otrzymać wykresy następujących funkcji:

a) y = f(x -a) + b ;
b) y = -f(x) ;
c) y = f(-x) ;
d) y = |f(x)| ;
e) y = f(|x|) ;
f) y = af(x) ( a>0 lub a<0 );
g) y = f(bx) ( b>0 lub b<0).

9) Znajdź przekształcenie geometryczne, które wykres funkcji y = ax² przekształca na wykres funkcji

y = ax² + bx + c .

10) Wykonaj wykres funkcji y = |||x - 3| - 2| -1| .

11) Podaj definicję funkcji złożonej. Czy funkcja f(x) = sin(2 - x²) jest złożona ?

12) Dana jest funkcja f(x) = 2x² - 3 . Wyznacz funkcję g(x) = f(f(x - 1) + 2) .

13) Dana jest funkcja f(2x - 1) = x - 1,5 . Wyznacz wzór funkcji f(x).

14) Funkcja y = ax + b jest malejąca i posiada ujemne miejsce zerowe. Określ znak wyrażenia a + b.

15) Podaj definicję funkcji okresowej. Wyznacz okres zasadniczy funkcji y = tg(2x - 1).

Funkcja liniowa i kwadratowa

1) Rozwiąż równanie x - 1 = (x² + 1)^0,5 i podaj interpretację geometryczną rozwiązania.

2) Dwie koparki pracując wspólnie wykonują pewną pracę w ciągu 12 dni. Pierwsza koparka pracując sama wykonałaby tę pracę w ciągu 20 dni.
W ciągu jakiego czasu wykonałaby tę pracę druga koparka pracując sama ?

3) Rozwiąż równania w zależności od parametru m :

a) mx -1 = m² - x
b) mx - 2 = x + m
c) (m + x)/m = 1.

4) Rozwiąż rachunkowo i graficznie nierówność: |3x - 1|
2.

5) Podaj graficzne rozwiązanie nierówności:

|x| - |y|
1.

6) Rozwiąż graficznie układ nierówności:

x + 2y < 1
i
x - y
-1
i
2x - 4y + 1 < 0 .

7) Znaleźć i narysować zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których współrzędne (x ; y) spełniają warunek: |2x - y| = |2x| - y .

8) Dany jest trójmian kwadratowy y = 2x² + 3x +1 . Zapisz ten trójmian w postaci kanoniczej, iloczynowej oraz wykonaj jego wykres. Omów własności naszkicowanej funkcji.

9) Wyznacz trójmian kwadratowy y = ax² + bx + c wiedząc, że jego wykres przechodzi przez punkty
(0 ; 1) , (1 ; -2) oraz, że dla x = 1 osiąga on swoją najmniejszą wartość.

10) Naszkicuj wykres funkcji: y = |x - x²| - |x - 1| .

11) Przeanalizuj ilość pierwiastków równania x² + mx + m² - m - 2 = 0 w zależności od parametru m.

12) Podaj i udowodnij wzory Viete'a dla trójmianu kwadratowego. Wiadomo, że p i q są pierwiastkami równania ax² + bx + c = 0. Nie rozwiązując równania wyznacz:

a) p² + q²;
b) p³ - q³;
c)(p/q - q/p)².

13) Rozwiąż równanie: x - 2(x - 3)^1/2 - 6 = 0 .

14) Niech x₁ i x₂ oznaczają pierwiastki równania x² + 2mx + 4 = 0.
Znaleźć te wartości parametru m, dla których prawdziwa jest nierówność:

(x₁/x₂)² + (x₂/x₁)²
3.

15) Rozwiąż rachunkowo i graficznie układ równań:

(x + 2)² + (y - 1)² = 25
i
(x + 2)(y - 1) = 12.

Funkcje wymierne

1) Podaj i udowodnij twierdzenie Bezouta. Dla jakich wartości parametru a wielomian
W(x) = 2ax³ - 4x² + ax - 2a jest podzielny przez x - 2 ?

2) Dane są wielomiany:

W(x) = x³ - 7x² + 16x - 12
G(x) = (x² - ax +b)(x - c) .

Wyznacz a, b i c tak, aby wielomiamy G(x) i W(x) były równe.

3) Zdefiniuj pierwiastek wielokrotny wielomianu. Podaj przykład wielomianu, którego pierwiastkami podwójnymi są liczby -1 oraz 2. Naszkuicuj przybliżony wykres tego wielomianu.

4) Rozwiąż równanie: x⁶ - 8x³ + 15 = 0 .

5) Rozwiąż nierówność: x³ - 2x² - 9x + 18
0 .

6) Rozwiąż równanie:

[x + (x² - 1)^1/2] / [x - (x² - 1)^1/2] + [x - (x² - 1)^1/2] / [x + (x² - 1)^1/2] = 1 .

7) Dla jakiej wartości parametru m rozwiązaniem nierówności (10 -3x) / (x + m)
0
jest zbiór ( -
; -3)
[0.3 ;
) ?

8) Dane są następujące zbiory:

A = {x
R : x² - 1 > 0 } ;
B = {x
R : (x +2)(x - 4)
0 } ;
C = {x
R : x + 1/x < 10/3 } .

Przedstaw je za pomocą przedziałów liczbowych i wyznacz zbiory (A
B)
C , (A
B)
C .

9) Rozwiąż nierówność: (3x² + 4x - 4) / (x² + x - 2)
1 .

10) Rozwiąż rachunkowo i graficznie nierówność: 3/x < 2 + x .

11) Rozwiąż nierówność: (2 + x - x²)^0.5 > x - 3 .

12) Dla jakich wartości parametru a równanie cos2x = (a² - 4a +1) / (a² - 1) ma pierwiastki ?

13) Rozwiąż układ równań:

x² + xy + y² = 13
i
(x + y)² + x²y + xy² = 28 .

14) Naszkicuj linię o równaniu x² + y² + x = 0 .

15) Udowodnij, że dla każdej wartości parametru m układ równań

y - x² = m²
i
xy = m² + 1

ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna

1) Rozwiąż rachunkowo i graficznie równanie: (x + 3)^1/2 = x + 1 .

2) Wykonaj wykres funkcji f(x) = ax^b gdy:

a) a = 2 i b = - 3;
b) a = -1 i b = 0,5;
c) a = 1 i b = -1,5 .

Omów własności naszkicowanej funkcji.

3) Dla jakiej wartości parametru m równanie

(x² - 1) / [(x - 1)(x + 1)]^0,5 = x + m

ma rozwiązanie ?

4) Rozwiąż nierówność: (x - 1)(x + 4)^1/2 < 2(1 - 2x) .

5) Podaj twierdzenia dotyczące działań na potęgach i udowodnij jedno z nich.

6) Zdefiniuj funkcję wykładniczą i omów jej własności. Wykonaj wykres funkcji

y = 2 - 3^-x .

7) Rozwiąż równanie: 4^x(8/2^x-1) = 2^3x-5 .

8) Rozwiąż równanie: 4^x + 6^x = 9^x .

9) Rozwiąż nierówność: 2^-x*x 4^x+1 < 1/64 .

10) Rozwiąż równanie: (3 + 8^0.5)^x + (3 - 8^0.5)^x = 34 .

11) Podaj definicję logarytmu liczby rzeczywistej i twierdzenia dotyczące działań na logarytmach. Udowodnij jedno z nich.

12) Wyprowadź wzór na zamianę podstawy logarytmu. Oblicz log₃5 * log₂₅81 .

13) Zakładając, że log_ax = 2 oblicz:

a) log_a[a²x(x^2/5)];
b) log_a[1/(ax³)²] .

14) Wyznacz dziedzinę funkcji: y = log₂[1 - log_0,5(x² + 5x +6)] .

15) Rozwiąż nierówności:

a) log_x(3x - 2) < 0 ;
b) log²(x - 1) - 2log(x - 1) > 0 ;
c) log₂(x + 1) + log_x+12
0 .

Funkcje trygonometryczne

1) Co to jest miara łukowa kąta ? Jaki jest związek między miarą łukową a miarą stopniową ?
Wyraź w radianach następujące miary kątów: 60^o; 120^o; 75^o.

2) Wykonaj wykres funkcji i omów jej własności:

1) y = sin2x ;
2) y = cos(
/2 - x) ;
3) y = tg(2x -
) ;
4) y = ctg(x/2) .

3) Wyprowadź następujące wzory redukcyjne:

sin(3
/2 -
) ; cos(
/2 +
) ; tg(5
/2 +
) ; ctg(
/2 -
) .

4) Oblicz sin450^o i podaj własności, z których korzystasz.

5) Wyprowadź wzory na sin(
+
) i cos(
-
) .

6) Wiadomo, że sin
= - 3^0,5/2, cos
= 3^0,5/2 i

(0 ; 2
). Wyznacz miarę kąta
.

7) Wiedząc, że sin
= -3/5 i

(
; 3
/2) oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych.

8) Wiedząc, że sin
= 3/4 i

(
/2 ;
), oblicz tg(
/2) .

9) Sprawdź tożsamość: cos2
= 1/(1 + tg
- tg2
) .

10) Rozwiąż równanie: sin3x + sinx = cos3x + cosx .

11) Rozwiąż nierówności:

1) cos2x
0,5 ;
2) sin2x - sinx
sin²x .

12) Dla jakich p liczba p + 1/p może być sinusem pewnego kąta ?

13) Udowodnij równość: sin36^ocos72^o = 0,25 .

14) Rozwiąż układ równań:

2^sinx+cosy = 1
i
log₁₆4 = sin²x + cos²y .

15) Dla jakich m równanie sin⁴x + cos⁴x = m posiada pierwiastki ?

Ciągi liczbowe

1) Podaj zasadę indukcji matematycznej. Udowodnij, że n-elementowy zbiór ma 2ⁿ podzbiorów.

2) Podaj i udowodnij wzór na n-ty wyraz ciągu danego w postaci rekurencyjnej:

a₁ = 1
i
a_n+1 = 2a_n .

3) Podaj definicję ciągu monotonicznego. Zbadaj monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym:

b_n = (3n + 2)/(5n + 3) .

4) Udowodnij na podstawie definicji granicy ciągu liczbowego, że:

1)
[n/(n + 1)] = 1 ;
2)
[(n² - 1)/n] = +
.

5) Podaj twierdzenia o granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów. Udowodnij jedno z nich.

6) Dla jakich wartości k granica
[(kn - 1)/(kn + n + 3)] jest równa:

1) 2 ;
2) 0 ;
3) 1 ?

7) Znajdź granice ciągów o wyrazach ogólnych:

1) a_n = [1+2+3+...+n] / [2(9n⁴ + 1)^0,5] ;
2) b_n = [(n² + n)^0,5] / [1 + 1/3 + 1/9 +...+1/3ⁿ].

8) Podaj definicję symbolu Newtona. Jakie własności ma symbol Newtona ? Podaj wszystkie
i udowodnij jedną z nich.

9) Podaj wzory na n-ty wyraz i sumę częściową ciągu arytmetycznego (geometrycznego) i udowodnij je.

10) Jaki związek zachodzi w ciągu arytmetycznym pomiędzy a₁ i r, w którym a₁/a₂ = a₂/a₄ ?

11) Dana jest funkcja y = ax + b. Udowodnij, że ciąg (b_n) o wyrazie ogólnym

b_n = f(n), n
N₊

jest ciągiem arytmetycznym. Dla jakich a i b ciąg ten jest rosnący ?

12) Oblicz n-ty wyraz ciągu geometrycznego, w którym a₁ = 3, n = 7 oraz S_n = 381.

13) Dla jakich x
R ciąg geometryczny o ilorazie q = log_x2 jest zbieżny ?

14) Zamień na ułamek zwykły liczbę -1,(51).

15) Rozwiąż równanie: 0,5(10*3^x+1 - 9)^1/2 = 3^x + 3^x-1 + 3^x-2 + ... .

Granice i pochodne funkcji

1) Podaj definicje następujących granic funkcji:

a)właściwej w punkcie;
b) właściwej w nieskończoności ;
c) niewłaściwaj w punkcie ;
d) niewłaściwej w nieskończoności.

2) Na podstawie definicji odpowiednich granic funkcji wykaż, że:

a)
[1/(1-x)] = 0 , gdzie * oznacza +
;
b)
[2/x²] = +
, gdzie * oznacza 0.

3) Oblicz następujące granice:

a)
[(x^0,5 - 3) / (x - 9)] , gdzie * oznacza 9 ;
b)
[(x + 4)^0,5 - x^0,5] , gdzie * oznacza +
;
c)
[(1 - cosx) / x²] , gdzie * oznacza 0 .

4) Zdefiniuj funkcję ciągłą w punkcie i w przedziale liczbowym. Zbadaj ciągłość funkcji określonej układem warunków:

f(x) = x² + 1 , dla x
0
i
f(x) = 1/x , dla 0 < x < 1
i
f(x) = x - 1 , dla x
1 .

5) Dla jakich wartości parametru a funkcja określona układem warunków

f(x) = 3x - 2a , dla x < 1
i
f(x) = 2 - x² , dla x
1

jest ciągła w punkcie x_o = 1 ?

6) Podaj definicję pochodnej funkcji w punkcie. Na podstawie definicji oblicz pochodną funkcji
y = 1/x w punkcie x_o = 2 .

7) Omów interpretację geometryczną pochodnej funkcji w punkcie. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = (x³ + 1) / x³ w punkcie (1 ; 2) .

8) Podaj i udowodnij twierdzenie o pochodnej iloczynu (ilorazu) dwóch funkcji.

9) Omów związek między ciągłością a różniczkowalnością funkcji. Sformułuj i udowodnij odpowiednie twierdzenie. Podaj stosowne przykłady.

10) Jaki jest związek pochodnej funkcji w punkcie z istnieniem jej ekstremum w tym punkcie ?
Podaj i udowodnij odpowiednie twierdzenie.

11) Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji

y = 2x² - x

w przedziale <1 ; 2> .

12) Podaj twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej. Oblicz f '(
/6) wiedząc, że

f(x) = (sin²x)^1/3 .

13) Podaj twierdzenie o związku monotoniczności funkcji z jej pochodną. Wyznacz przedziały monotoniczności następujacych funkcji:

a) f(x) = x⁵ + x³/6 + x/6 ;
b) g(x) = (x² - 1) / (x² + 1) .

14) Zdefiniuj asymptotę wykresu funkcji (poziomą, pionową i ukośną). Wyznacz asymptoty wykresu funkcji f(x) = x² / (2x + 3) .

15) Omów związek między całką oznaczoną i nieoznaczoną. Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach:

y = x² i y = x^0,5 .

Geometria analityczna

1) Wyprowadź wzór na równanie kierunkowe (ogólne) prostej przechodzącej przez dwa różne punkty A=(x₁;y₁) i B=(x₂;y₂) .

2) Podaj określenie iloczynu skalarnego wektorów i omów jego własności. Udowodnij wybraną własność.

3) Dane są wektory
= [2 ; 4] ,
= [4 ; 5] i
= [-2 ; 1]. Dla jakich wartości parametru m zachodzi równość
= m
+ m
?

4) Dany jest wierzchołek A = (2 ; -5) trójkąta ABC oraz współrzędne wektorów
= [4 ; 1]
i
= [3 ; -2], gdzie
= (A;B),
= (B;C). Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków trójkąta.

5) Wyznacz wsółrzędne punktu symetrycznego do punktu A = (-1 ; -3) względem prostej o równaniu
x + 2y - 2 = 0 .

6) Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach A = (2 ; 1) , B = (-3 ; 4) i C = (-2 ; 2) .

7) Dla jakiej wartości parametru m punkty A = (1 ; 4), B = (3 , 1) i C = (0 , m) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ?

8) Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt A = (-1 ; 2) i równoległej (prostopadłej) do prostej o równaniu x - 2y + 3 = 0 .

9) Znajdź równanie symetralnej odcinka o końcach A = (a ; b) i B = (c ; d) .

10) Podaj równanie okręgu. Kiedy równanie x² + y² + ax + by + c = 0 przedstawia okrąg ?

11) Znajdź równanie okręgu przechodzącego przez punkty A = (-1 ; 0), B = (7 ; 0) i C = (0 ; 1) .

12) Zbadaj wzajemne położenie okręgów o równaniach:

x² + y² - 6x - 8y = 0
i
x² + y² - 2x - 2y + 1 = 0 .

13) Podaj równanie okręgu o promieniu r = 3 stycznego do osi odciętych i prostej y = 0,75x .

14) Znajdź zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których suma kwadratów odległości od punktów
A = (-3 ; 0) i B = (0 ; -3)jest równa kwadratowi odległości między tymi punktami .

15) Znajdź równanie prostej zawierającej tę cięciwę okręgu x² + y² = 49 , którą punkt A = (1 ; 2) dzieli na połowy.

Planimetria

1) Zdefiniuj figurę wypukłą. Udowodnij że wspólna cząść dwóch figur wypukłych jest figurą wypukłą.

2) Zdefiniuj odległość geometryczną. Podaj warunek wsółliniowości i niewspółliniowości punktów. Dla jakich wartości x punkty A, B, C są współliniowe, gdy |AB|=3x-4, |BC|=7 i |AC|=3x+1 ?

3) Omów wzajemne położenie prostej i okręgu oraz dwóch okręgów. Niech d=8x-2 oznacza odległość punktu A od prostej a oraz r=5-3x długość promienia okręgu o(A ; r). Dla jakich x prosta a:

a) jest styczna do okręgu ;
b) zawiera średnicę okręgu ;
c) przcina okrąg w dwóch różnych punktach ;
d) jest rozłączna z okręgiem ?

4) W jakim stosunku dwusieczna kąta wewnętrznego w trókącie dzieli jego przeciwległy bok ? Sformułuj oraz udowodnij stosowne twierdzenie.

5) Podaj i udowodnij twierdzenie o sumie miar kątów wewnętrznych dowolnego trójkąta.

6) Podaj definicję izometrii, wymień jej podstawowe własności i udowodnij jedną z nich.

7) Zdefiniuj symetralną odcinka. Udowodnij, że symetralna odcinka jest zbiorem punktów jednakowo odległych od jego końców.

8) Udowodnij, że symetralne boków trójkąta (dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta) przecinają się w jednym punkcie. Czym jest ten punkt ?

9) Podaj twierdzenie Talesa i sformułuj twierdzenie odwrotne do tego twierdzenia. Udowodnij, że odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku. Jaka jest długość tego odcinka ?

10) Mając dane odcinki o długościach a, b, c skonstruuj odcinki o długościach:

x = ab/c i y = a/(bc) .

11) Podaj i udowodnij twierdzenie sinusów (cosinusów) dla trójkąta.

12) Wyznacz kąty trójkąta prostokątnego (wartości odp. funkcji trygonometrycznych), którego długości boków tworzą ciąg arytmetyczny.

13) Podaj definicję jednokładności na płaszczyźnie. Wymień jej własności. W trójkąt równoboczny
o boku a wpisz inny trójkąt równoboczny tak, aby jego boki były prostopadłe do boków danego trójkąta. Uzasadnij poprawność podanej konstrukcji.

14) Podaj definicję podobieństwa na płaszczyźnie. Wymień cechy podobieństwa trójkątów.
W trójkącie prostokątnym o bokach a, b, c wyznacz długość h wysokości poprowadzonej
z wierzchołka kąta prostego.

15) Podaj i udowodnij związek międze polem S dowolnego trójkąta, długościami jego boków
a promieniem r okręgu wpisanego w ten trójkąt (promieniem R okręgu opisanego na tym trójkącie).

Stereometria

1) Omów wzajemne położenie w przestrzeni:

a) dwóch prostych ;
b) prostej i płaszczyzny ;
c) dwóch płaszczyzn.

Podaj odpowiednie definicje.

2) Wyznacz promień r kuli wpisanej w czworościan foremny o boku a (R kuli opisanej na czworościanie foremnym o boku a).

3) Oblicz objętość czworościanu o krawędziach a = 2, b = 5 oraz pozostałych c = 3 .

4) Ostrosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzną zawierającą krawędź podstawy oraz środki przeciwległych krawędzi bocznych. Jaką figurą jest tak otrzymany przekrój ostrosłupa ? Wykonaj odpowiedni rysunek i uzasadnij odpowiedź.

5) W czworokątnym graniastosłupie prawidłowym o krawędzi podstawy a, przekątna tworzy ze ścianą boczną kąt
. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej graniastosłupa.

6) Kąt rozwarcia stożka jest równy
, a jego objętość wynosi V. Wyznacz pole powierzchni bocznej stożka.

7) Jak zmieni się objętość stożka, gdy:

a) dwukrotnie zwiększymy wysokość ;
b) dwukrotnie zmniejszymy promień ?

Wykonaj niezbędne obliczenia.

8) Oblicz objętość ośmiościanu foremnego o krawędzi a.

9) Podaj twierdzenie Eulera dla wielościanów. Pewien wielościan ma n+1 ścian. Jedna z nich jest
n-kątem foremnym, pozostałe są trójkątami foremnymi. Jaką liczbą może być n ?

10) W prawidłowym ostrosłupie czworokątnym krawędż boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Znajdź kąt krawędzi bocznej z płaszczyzną podstawy.

11) Zbadaj, który z prostopadłościanów o podstawie kwadratowej i danym polu powierzchni całkowitej
S ma największą objętość.

12) Długość przekątnej prostopadłościanu o podstawie kwadratowej jest równa d. Jaką największą wartość może osiągnąć suma długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu ?

13) Oblicz jaki powinien być promień podstawy walca o objętości V, aby jego pole powierzchni całkowitej było najmniejsze ?

14) Wyznacz wymiary stożka o najmniejszej objętości, opisanego na kuli o promieniu r.

15) Romb o dłuższej przekątnej d i kącie ostrym 2
obraca się dookoła krótszej przekątnej. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej powstałej bryły.

Rachunek prawdopodobieństwa

1) Podaj definicję prawdopodobieństwa. Wymień własności prawdopodobieństwa i udowodnij jedną
z nich.

2) Jakie warunki muszą spełniać liczby p i q, gdy P(A)=p i P(B)=q ? Wyznacz P(A'
B')
w przypadku, gdy zdarzenia losowe A i B wykluczają się.

3) Zdefiniuj prawdopodobieństwo warunkowe. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że
w dwukrotnym rzucie kostką suma wyrzuconych oczek wyniesie 7, skoro na jednej wypadnie trójka.

4) Podaj definicję niezależności dwóch zdarzeń losowych. Z urny zawierającej cztery kule - dwie białe
i dwie czarne losujemy dwie bez zwracania (ze zwracaniem). Sprawdż niezależność zdarzeń:
A - wśród wylosowanych kul będzie co najmniej jadna biała;
B - wylosujemy co najwyżej jedną kulę czarną.

5) Zdarzenia A i B są niezależne. Udowodnij, że zdarzenia A' oraz B' też są niezależne.

6) Podaj i udowodnij twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym.

7) W urnie znajdują się trzy kule, w tym białe i czarne. Losujemy dwie kule ze zwracaniem (bez zwracania). Wyznacz prawdopodobieństwo zdarzenia, że będą to kule białe.

8) Podaj definicję schematu Bernoulli'ego. Wśród 20 żarówek 4 są wadliwe. Wybieramy losowo trzy żarówki. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że wśród wylosowanych żarówek dokładnie dwie będą bez wady ?

9) Ile razy należy rzucać monetą, aby z prawdopodobieństwem większym niż 0,99 co najmniej raz uzyskać orła ?

10) Wykaż, że P(A \ B)
P(A) - P(B) dla dowolnych zdarzeń A i B.

11) Wykaż, że jeżeli dla dowolnych zdarzeń P(A) + P(B) > 1, to A
B

.

12) Podaj i udowodnij wzór na prawdopodobieństwo sumy trzech dowolnych zdarzeń A, B i C.

13) Oblicz P(A
B'), jeżeli P(A) = 1/2 , P(B) = 1/2 oraz P(A
B) = 1/3 .

14) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia B wiedząc, że P(A)=1/3 , P(A|B)=1/6 i P(B|A)=1/4 .

15) Zdefiniuj zmienną losową związaną z danym doświadczeniem losowym. Zmienna losowa X przyjmuje wartości 1, 2, 3, 4 i 5 z jednakowym prawdopodobieństwem. Oblicz jej wartość oczekiwaną oraz wariancję.

PRZYKŁADOWE ZESTAWY

PROFIL OGÓLNY:

I

1) Podaj i uzasadnij warunki, przy których trójmian y = ax² + bx + c (x
R oraz a
0) ma stały znak.

2) W koło o promieniu r wpisano trójkąt równoramienny. Wyznacz wymiary tego trójkąta, który ma największe pole.

3) Spośród 10 uczniów, wśród których było 6 chłopców wybrano 4-osobową delegację. Oblicz prawdopodobieństwo, że w skład delegacji weszli sami chłopcy.

II

1) Uzasadnij na podstawie definicji, że dla a < 0 funkcja y = ax² jest rosnąca w zbiorze R_- .

2) Rozwiąż nierówność: cos2x
0,5 .

3) Oblicz promień r kuli wpisanej w czworościan foremny o krawędzi a = 1 .

III

1) Zdefiniuj ciąg arytmetyczny i omów jego własności. Udowodnij wzór na n-ty wyraz tego ciągu.

2) Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji f(x) = (x² + 3) / (x² - 1) .

3) Rzucamy cztery razy kostką. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że piątka wypadnie dokładnie dwa razy.

IV

1) Rozwiąż nierówność: (x² + 3x - 1) / (x² - 4)
1 .

2) Podaj definicję ciągu monotonicznego. Zbadaj monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym

a_n = (n-1)/(2n).

3) Oblicz objętość walca, w którym obwód podstawy wynosi 20
cm, a przekątna przekroju osiowego walca tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 30^o.

PROFIL MATEMATYCZNO - FIZYCZNY:

I

1) Dla jakich wartości x ciąg liczb (x - 5)^0,5 , (10x + 4) ^0,25 , (x + 2) ^0,5 jest ciągiem geometrycznym ?

2) Podaj definicję ciągłości funkcji w punkcie. Kiedy funkcja nie jest ciągła w punkcie ? Naszkicuj wykresy funkcji nieciąglych w punkcie rozważając różne przypadki .

3) Z punktu P poprowadzono dwie styczne do danego okręgu. Udowodnij, że odcinki łączące punkty styczności z punktem P są jednakowej długości.

II

1) Rozwiąż równanie: x^(logx+3)/3 = 10^5+logx.

2) Omów wzajemne położenie dwóch okręgów na płaszczyźnie. Zilustruj wszystkie przypadki
i podaj odpowiednie warunki.

3) Sformułuj i udowodnij twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym.

III

1) Rozwiąż nierówność: (x - 2)^0,5 + x > 4 .

2) Udowodnij, że w każdy trójkąt można wpisać okrąg.

3) Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr 0, 1, 2, 3 tak, aby każda z tych cyfr wystąpiła tylko raz ? Ile wśród nich jest liczb parzystych ?

IV

1) Dany jest zbiór A = {x: x³ - 5x² + 6x > 0}. Zbadaj ograniczoność zbioru A i wyznacz jego kresy.

2) Podaj definicję pochodnej funkcji. Wyznacz z definicji pochodną funkcji y = sinx .

3) Wyznacz promień kuli opisanej na czworościanie foremnym o objętości V.

BIBLIOGRAFIA:

1. W.Leksiński, B.Macukow, W.Żakowski: "Matematyka w zadaniach".
2. W.Stachnik: "Zbiór zadań i zagadnień maturalnych z matematyki".
3. B.Gdowski, E.Pluciński: "Zbiór zadań z matematyki dla kandydatów na wyższe uczelnie".

UWAGI AUTORA:

podane zadania wykraczją nieznacznie poza obowiązujący na egzaminie maturalnym materiał, ale dzięki temu mogą być także pomocne w przygotowaniach do egzaminu wstępnego na wyższą uczelnię.

ten zestaw należy traktować jako przykładowy - koniecznie musisz go porównać z zakresem wymagań podanym w szkole na pięć miesięcy przed egzaminem maturalnym;

pamiętaj, że na egzaminie ustnym nie wolno korzystać z tablic matematycznych - teoretyczne pytania wykluczają taką możliwość;

wylosujesz zestaw trzech zadań - na przygotowanie odpowiedzi otrzymasz co najmniej 20 minut;

pamiętaj, że udzielenie pełnej odpowiedzi nie powinno przekroczyć 20 minut (po przygotowaniu się);

korzystając z podanego przeze mnie zestawu zadań ćwicz koniecznie głośne odpowiedzi kontrolując ich czas - efekty docenisz na egzaminie !

---