mechanika ściąga, Politechnika Poznańska, Elektrotechnika, Mechanika


1.Postulaty statyki

1)Zasada równoległoboku R=P1+P20x01 graphic

2)Dwie siły przyłożone do ciała sztywnego równoważą się tylko wtedy, gdy działają wzdłuż tej samej prostej, są przeciwnie skierowane i mają te same wartości liczbowe

3)Działanie układu sił przyłożonych do ciał sztyw. nie ulegnie zmianie, gdy do układu dodamy lub odejm. dowolny układ równoważących się sił tzw. układ zerowy

4)Zasada zesztywnienia - równowaga sił działających na ciało odkształcalne nie zostanie naruszona przez zesztywnienie tego ciała

5)Każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości i przeciwnie skierowane wzdłuż tej samej prostej przeciwdziałanie

6)Każde ciało nieswobodne można myślowo oswobodzić od więzów, zastępując przy tym ich działanie odpowiednimi reakcjami.

2. Twierdzenie o trzech siłach- Aby 3 nierównoległe do siebie siły działające na ciało sztyw. były w równowadze, linie działania tych sił muszą się przecinać w jednym punkcie, a same siły tworzyć trójkąt

zamknięty.0x01 graphic

3. Varignon Moment względem dowolnego punktu O wypadkowej dwóch sił równy jest sumie momentów sił wypadkowych względem tego punktu.

4. Para sił - Układ dwóch sił równoległych nie leżących na jednej prostej. Aby pary sił działające w jednej płaszczyźnie znajdowały się w równowadze, suma momentów tych par musi być równa zeru.

5.Moment siły - Aby siły zbieżne leżące w jednej płaszczyźnie były w równowadze, sumy rzutów tych sił na osie układu muszą być równe zero. Mo=rFsin(r,F) ∑Mi=0

6. Kratownica - jest to układ złożony z prętów połączonych przegubowo, mający niezmienną postać geometryczną. Warunek sztywności p=2w-3

8. Redukcja przestrzennego ukł. Sił - dowolny układ sił przyłożonych do jednego punktu zastąpić możemy jedną siłą wypadkową przyłożoną w tym punkcie i równą sumie geometrycznej sił.

9.Tarcie - zjawisko powstawania sił stycznych do powierzchni styku dwóch ciał. Siły te nazywamy siłami tarcia. Możemy je opisać jako siły oporu zapobiegające ruchowi, który by powstał gdyby tarcia nie było

10. Kinematyczne równania ruchu - x=f1(t), y=f2(t), z=f3(t) - równania parametryczne toru punktu lub 0x01 graphic

11. Definicja prędkości - Prędkość punktu jest wektorem określonym przez pierwszą pochodną wektora położenia względem czasu.

0x01 graphic

12. Definicja przyspieszenia - Wektor dany przez pierwszą pochodną wektora prędkości lub dugą pochodną wektora położenia względem czasu 0x01 graphic

13. Przyspieszenie styczne; p. normalne - przysp. styczne -

0x01 graphic
; przysp. normalne - 0x01 graphic
, gdzie p- promień krzywizny

14. Droga - s=∫vdt

15. Rzut pionowy - rzut punktu materialnego z daną prędkością w kierunku pionowym. Szczególnym przypadkiem jest spadek swobodny

0x08 graphic
x=0

y=(gt2)/2

16. Rzut poziomy

x=Vot

y=(gt2)/2

0x08 graphic

17. Rzut ukośny

x=Votcosα

y=Votsinα

18 Rodzaje ruchów bryły

0x08 graphic

Ruch postępowy- jeżeli bryła porusza się tak że jej chwilowe położenia są równoległe do położenia początkowego.

Ruch obrotowy- Jeżeli dwa punkty bryły są stałe, tworzą wtedy oś obrotu bryły

Ruch płaski- traktujemy jako chwilowy ruch obrotowy wokół chwilowego środka obrotu

19 Prędkość i przyspieszenie

Punktu bryły w ruchu postępowym

Prędkość:

0x01 graphic

Prędkości wszystkich punktów bryły poruszającej się ruchem

postępowym są w danej chwili wektorami równoległymi.

Przyspieszenie: 0x01 graphic

Przyspieszenia wszystkich punktów bryły w ruchu postępowym są w danej

chwili wektorami równoległymi.

20 Prędkość i przyspieszenie punktu bryły w ruchu obrotowym

Prędkość: 0x01 graphic

Prędkość liniowa dowolnego punktu bryły w ruchu obrotowym

jest równa iloczynowi wektorowemu wektora prędkości

kątowej przez wektor położenia punktu (początek układu na

osi obrotu).

Przyspieszenie:

0x01 graphic
0x01 graphic

Całkowite przyspieszenie dowolnego punktu bryły w ruchu obrotowym jest sumą geometryczną przyspieszeń:

Obrotowego i poosiowego

0x01 graphic

21 Prędkość kątowa

0x01 graphic

0x01 graphic

22 Przyspieszenie kątowe

jest wektorem leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej. Jeśli współrzędną kątową ciała określa kąt α, a wartość prędkości kątowej oznaczymy jako ω, to wartość przyspieszenia kątowego ε wynosi:

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

24 Prędkość i przyspieszenie bryły w ruchu płaskim

Prędkość:

0x01 graphic

Przyspieszenie

0x01 graphic

26 Chwilowy środek obrotu

Punkt, którego prędkość w danej chwili jest równa zeru.

Wyznaczenie środka obrotu

W układzie ruchomym

0x01 graphic

W układzie nie ruchomym

0x01 graphic

33 ruch złożony punktu

Ruch punktu względem układu nieruchomego nazywamy ruchem bezwzględnym, a względem układu ruchomego ruchem względnym. Ruch układu ruchomego względem układu nieruchomego nazywamy ruchem unoszenia

34 Prędkość bezwzględna

Jest wypadkową prędkości unoszenia i prędkości względnej

0x01 graphic

35 Przyspieszenie bezwz.

Jest sumą wektorową przyspieszenia unoszenia, względnego i przyspieszenia Coriolisa

0x01 graphic

0x01 graphic

36.Przyspieszenie Coriolisa, dodatkowe przyspieszenie liniowe, które ma w ruchomym układzie odniesienia (np. związanym z obracającą się Ziemią) poruszające się względem niego ciało dzięki ruchowi obrotowemu tego układu.

37 Prawa ruchu Newtona

Prawo pierwsze. Każde ciało trwa w stanie spoczynku lub w stanie ruchu jednostajnego prostoliniowego dopóty, dopóki siły nań działające tego stanu nie zmienią.

Prawo drugie. Zmiana ilości ruchu (czyli pędu lub impulsu) jest proporcjonalna do siły działającej i ma kierunek prostej, wzdłuż której ta siła działa. Oznaczając przez P siłę działającą na punkt materialny, a przez mv jego pęd (m - masa, v - prędkość), treść drugiego prawa Newtona możemy wyrazić następującym równaniem wektorowym 0x01 graphic

Jeżeli m=const. To P=ma

Prawo trzecie. Każdemu działaniu towarzyszy równe i przeciwne zwrócone oddziaływanie, czyli wzajemne działania dwóch ciał są zawsze równe i skierowane przeciwnie.

Prawo czwarte. Jeżeli na punkt materialny o masie m działa jednocześni kilka sił, to każda z nich działa niezależnie od pozostałych, a wszystkie razem działają tak, jak jedna tylko siła równa wektorowej sumie wektorów danych sił. 0x01 graphic

Prawo piąte (grawitacji). Każde dwa punkty materialne przyciągają się wzajemnie z siłą wprost proporcjonalną do iloczynu ich mas (m1, m2) i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości r między nimi. Kierunek siły leży na prostej łączącej te punkty.

0x01 graphic

38 Zasada d'Alemberta

W ruchu punktu materialnego układ sił czynnych i reakcji więzów równoważy się z pomyślaną siłą bezwładności. 0x01 graphic

39.Zasada zachowania pędu:

Równanie: 0x01 graphic

Wyraża zasadę pędu dla punktu materialnego. Pochodna pędu punktu materialnego jest równa sumie sił działających na dany punkt. Powyższe równanie jest ogólniejszym sformułowaniem drugiej zasady dynamiki. Jeżeli teraz:0x01 graphic

Jest to zasada zachowania pędu dla punktu.

40.Zasada pędu i popędu.
Zasada pędu i popędu (lub inaczej, prawo zmienności pędu)

Przyrost pędu układu materialnego w skończonym przedziale czasu jest równy popędowi wektora głównego sił zewnętrznych działających na ten układ.

0x01 graphic

41.Zasada zachowania krętu.

Pochodna względem czasu krętu punktu materialnego względem nieruchomego bieguna O jest równa momentowi względem tego bieguna wypadkowej sił działających na dany punkt materialny.

dK0/ dt = M0

42.Zasada krętu i pokrętu.

Zasada krętu i pokrętu

Przyrost krętu układu materialnego względem dowolnego nieruchomego punktu jest równy pokrętowi momentu głównego sił zewnętrznych względem tego samego punktu.

0x01 graphic

43.Dynamiczne równania ruchu punktu materialnego.

0x01 graphic

44.Definicja pracy.

Praca jest to mechaniczny sposób przekazu energii.Jednostką pracy jest Jul.

45.Moc mechaniczna.

Mocą siły nazywamy pracą wykonaną w jednostce czasu. Jeśli praca siły zmienia się z czasem to wówczas moc jest pochodna pracy względem czasu: M=0x01 graphic
[W]

46.Zasada równoważności pracy i energii kinetycznej.

Jeżeli na poruszający się punkt materialny o masie m działa siła czynna P to przyrost en. kinetycznej tego punktu jest równy pracy wykonanej przez siłę działającą na ten punkt: L=1/2mV2k - 1/2mV2p

48.Potencjalne (zachowawcze) pole sił.

POLE JEST POTENCJALNYM POLEM SIL, GDY PRACA PRZY PRZESOWANIU PUNKTU NIE ZALEZY OD DROGI (TZN PRACA PO DRODZE ZAMKNIETEJ = 0)

CENTRALNE POLE SIL:

POLE SIL O TEJ WLASNOSCI ZE LINIE DZIALANIA SIL TEGO POLA ZAWSZE PRZECHODZA PRZEZ JEDEN PUNKT

Zdolność do wykonania pracy ciała znajdującego się w spoczynku nazywamy en. potencjalną Ep: Ep=mgh.

49.Twierdzenie o ruchu środka masy układu punktów materialnych.

0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
-R, 0x01 graphic
=0

0x01 graphic
; Mr0''=R

Ruch układów punktów materialnych odbywa się tak jakby cała masa układu skupiona była w jego środku masy i na który to punkt działają wszystkie siły zewnętrzne.

→ →

M ro = R

50.Pęd układu punktów materialnych.

0x01 graphic
; Q=MV0=0x01 graphic
- pęd ukł. punktów_materialnych; 0x01 graphic
- zasada pędu

Na pęd ma tylko wpływ siła zew, a nie wew.

R=0 >> Q=const

Jeżeli jedno ciało zyskuje pęd to drugie też go zyskuje lecz z przeciwnym znakiem.

PED DOTYCZY TYLKO RUCHU POSTEPOWEGO, NIE OBROTOWEGO, BO NIE MA MASY BEZWLADNOSCI PREDKOSCI KATOWEJ

ZASADA ZACHOWANIA PEDU: JEŻELI NA UKLAD NIE DZIALAJA SILY LUB DZIALAJACE SILY SIĘ ZNOSZA TO PED JEST STALY CZYLI ZACHOWANY R=0 TO Q=const.

OKRESLA SIĘ GO TYLKO PRZY RUCHU POSTEPOWYM, PRZY RUCHU OBROTOWYM NIE ISTNIEJE.

51.Kręt układu punktów materialnych.

Ks=0x01 graphic
ρi*mVi - kręt

0x01 graphic

Zmiana krętu ukł. punktów mat. W czasie wywołana jest przez moment główny działający na układ brany względem nieruchomego punktu lub środka masy.

Mc=0 >> Kc=const

52.Energia kinetyczna układu punktów materialnych.

Energia kinetyczna układu punktów materialnych jest równa sumie energii kinetycznej w ruch postępowym i energii kinetycznej w ruchu względnym dookoła środka masy C układu. E =½Vcp+½ωKc ; p=mVc ; Kc=Icω

53.Twierdzenie Koeniga.

Energia kinetyczna układu punktów materialnych równa jest sumie energii kinetycznej, jaką miałby pkt materialny o masie całego układu, poruszający się z prędkością środka masy oraz energii kinetycznej tegoż układu względem środka masy.

0x01 graphic

54. Zasada zachowania energii mechanicznej - w układzie izolowanym suma składników wszystkich rodzajów energii całości (suma energii wszystkich jego części) układu jest stała (nie zmienia się w czasie).

55. Wahadło matematyczne

0x01 graphic

56. Wahadło fizyczne

Wahadłem fizycznym nazywamy swobodnie obracające się ciało materialne względem stałego punktu.

0x01 graphic

Porównując to równanie z wahadłem matematycznym otrzymujemy

0x01 graphic
długość zredukowana

Okres wahadła

0x01 graphic

Rozwiązanie:

0x01 graphic

57. Drgania swobodne

Aby wystąpiły drgania, punkt musi poruszać się ruchem prostoliniowym pod wpływem siły 0x01 graphic
przyciągającej ten punkt do stałego punktu O zwanego środkiem drgań.

Siła sprężystości jest proporcjonalna do wychylenia punktu

F = -kx, k-stała sprężystości.

Równanie będzie miało postać

mx” = F

mx” = -kx lub

0x01 graphic

Otrzymujemy równanie różniczkowe drgań swobodnych

0x01 graphic
częstość ruchu.

Otrzymane równanie jest równaniem liniowym, jednorodnym drugiego rzędu. Rozwiązanie:

0x01 graphic

(a-amplituda(max.wychylenie),0x01 graphic
- faza początkowa ruchu drgań 0x01 graphic
-faza drgań)

Ruch określony powyższym wzorem jest okresowy o okresie

0x01 graphic

58. Drgania tłumione

Drgania tłumione występują w ośrodku stawiającym opór. Siły oporu są proporcjonalne do prędkości

0x01 graphic
-siła tłumiąca.

Równania ruchu:

0x01 graphic

Ponieważ równanie charakterystyczne0x01 graphic

jest kwadratowe, to mogą zajść 3 przypadki(delta większa, mniejsza, równa 0)

1.Małe tłumienie 0x01 graphic
Rozwiązanie:

0x01 graphic

Jeżeli 0x01 graphic
-drgania zanikają. Okres:0x01 graphic

2.Duże tłumienie. 0x01 graphic
Mamy rozw. rzeczywiste nie będzie drgań. Rozwiązanie

0x01 graphic

Ruch ten nie jest ruchem okresowym, nie ma drgań.

3.Tłumienie krytyczne

0x01 graphic
Rozwiązanie:

0x01 graphic

Brak okresowości, brak drgań.

60. Drgania wymuszone

Jeżeli na punkt dodatkowo działa siła wymuszająca okresowa to występują drgania wymuszone.

Siła wymuszająca S=H sin(pt),

p-czestość siły wymuszającej.

Równanie ruchu tych drgań

0x01 graphic

Rozwiązanie ostateczne tych drgań

0x01 graphic
Jest to złożenie dwóch drgań: własnych i wymuszonych. Widzimy, że amplituda drgań wymuszonych

0x01 graphic

zależy od częstości drgań wymuszonych.

Jeżeli0x01 graphic
i występuje rezonans. W przypadku rezonansu rozwiązanie drgań będzie miało postać.

0x01 graphic

61. Rezonans- zjawisko fizyczne zachodzące dla drgań wymuszonych, objawiające się pochłanianiem energii poprzez wykonywanie drgań o dużej amplitudzie przez układ drgający dla określonych częstotliwości drgań.

62. Amplituda- nieujemna wartość określająca wielkość przebiegu funkcji okresowej.

71. Reakcje dynamiczne

0x01 graphic

Korzystamy z zasady d'Alemberta

Siły odśrodkowe muszą się równoważyć z siłami reakcji. Równania będą

0x01 graphic

Oznaczając

0x01 graphic

mamy

0x01 graphic

0x01 graphic

Reakcje znikają tylko wtedy, gdy

0x01 graphic

Aby reakcje dynamiczne były równe zeru oś obrotu musi być centralną główną osią bezwładności

72 Długość zredukowana wahadła fizycznego

Wahadłem fizycznym nazywamy swobodnie obracające się ciało materialne względem stałego punktu.

0x01 graphic

73 Kręt bryły w ruchu obrotowym

0x01 graphic

74 Energia kinetyczna bryły w ruchu obrotowym

0x01 graphic

75 Energia kinetyczna bryły w ruchu płaskim

0x01 graphic

76 Środek masy bryły

77 Środek masy układu punktów materialnych

Środek masy określony jest następująco:

0x01 graphic

Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona 0x01 graphic
ponieważ występują parami.

0x01 graphic

Pi - siły zewnętrzne;

Wi - siły wewnętrzne;

78 Definicja momentu bezwładności

Momentem bezwładności punktu materialnego względem płaszczyzny,

osi lub bieguna nazywamy iloczyn masy tego punktu przez kwadrat odległości tego punktu od płaszczyzny, osi lub bieguna.

I = mr2

79 Główny moment bezwładności

Momenty bezwładności względem punktu

I xx =∫ x2 dm

I yy =∫ y2 dm

I zz =∫ z2 dm

Momenty bezwładności względem osi

I x =∫ (y2 + z2 ) dm = I yy + I zz

I y =∫ (x2 + z2 ) dm = I xx + I zz

I z =∫ (x2 + y2 ) dm = I xx + I yy

Momentem dewiacji (zboczenia)

80 Dewiacyjne momenty bezwładności

Momentem dewiacji (zboczenia) w płaszczyźnie dwóch osi układu współrzędnych karteziańskich jest całka iloczynów mas i ich odległości od płaszczyzn. Jest on zależny od rozkładu mas i kierunku osi trzeciej.

I xy = I yx = xy dm

I yz = I zy = yz dm

I zx = I xz = zx dm

81 Tw. Steinera

Moment bezwładności względem dowolnej osi jest równy momentowi względem osi równoległej przechodzącej przez środek masy powiększonemu o iloczyn masy całkowitej

układu przez kwadrat odległości obu osi.

I z = I xx + I yy = I z' + md2

Il = I0 = md2

82 Moment bezwładności względem dowolnie skierowanej osi

Moment bezwładności względem osi: I=∫ Vr2 dm, zatem:

I = Ix cos2α + Iy cos2β + Iz cos2γ−2Dxy cos α cos β − 2Dyz cos β cos γ − 2Dzx cos γ cos α

83 Główna oś bezwładności

Można przyjąć układ współrzędnych taki, ze Dαβ =0. I1x2+ I2y2+ I3z2= k2

gdzie I1,2,3 -główne momenty bezwładności

Takimi osiami są: każda oś symetrii, każda prosta ⊥ do płaszczyzny symetrii, każda prosta, na której leżą środki mas warstw elementarnych, otrzymanych przez podział ciała płaszczyznami prostopadłymi do

tej prostej.

84. Centralna oś bezwładności

85. Główna centralna oś bezwładności

Są to osie główne przechodzące przez środek masy

86. Macierz bezwładności

Macierz bezwładności jest macierzą symetryczną. Elementy na przekątnej - momenty bezwładności. Elementy poza przekątną - momenty dewiacyjne bądź iloczyny bezwładności.

0x01 graphic



Wyszukiwarka