1.Podstawowe wielkości fizyczne i ich jednostki w układzie SI.

L.P.	Wielkość fizyczna	Jednostka	Symbol
1.	Długość	Metr	m
2.	Masa	Kilogram	kg
3.	Czas	Sekunda	s
4.	Liczność materii	Mol	mol
5.	Natężenie prądu Ele.	Amper	A
6.	Temperatura	Kelwin	K
7.	Natężenie światła	Kandela	cd
8.	Kąt płaski	Radian	rad
9.	Kat bryłowy	Steradian	sr

2.Definicje prędkości, przyspieszenia, prędkości kątowej, przyspieszenia kątowego, ruchu jednostajnego i jednostajnie przyspieszonego.

• Prędkość- to wielkość fizyczna która informuje nas o tym, jaką drogę i w jakim czasie przebyło ciało v=l\t

• Przyspieszenie- wektorowa wielkość fizyczna wyrażająca zmianę prędkości w czasie.
  Jednostką przyspieszenia w układzie SI jest metr na sekundę do kwadratu. a=m/s²

• Prędkością kątową- nazywamy stosunek kąta zakreślonego przez ciało poruszające się po okręgu w danym czasie do tego czasu. Oznacza się ją symbolem ω (mała omega). ω = Δ α / Δ t

• Przyspieszenie kątowe- (Analogicznie do zwykłego przyspieszenia) jest to zmiana prędkości kątowej w czasie. Symbolem jest ε (epsilon), a jednostką rad / s²

• Ruch jednostajny- jest to taki ruch, w którym wartość prędkości (szybkość) jest stała. v = const. ruch, w którym w takich samych przedziałach czasowych ciało pokonuje takie same odcinki drogi.
  

• Ruch jednostajnie przyspieszony- ruch, w którym prędkość ciała zwiększa się o jednakową wartość w jednakowych odstępach czasu. Ciało takie ma przyspieszenie o stałej wartości, a jego kierunek i zwrot są równe kierunkowi i zwrotowi prędkości tego ciała.
  
  

3. Przyspieszenie Styczne i normalne w ruchu krzywoliniowym, promień krzywizny trajektorii ruchu.

W ruchu krzywoliniowym przyspieszenie jest skierowane pod kątem do prędkości. Warto też zwrócić uwagę na fakt, że wektor przyspieszenia jest skierowany do wewnątrz łuku, po którym porusza się obiekt. W celu wyjaśnienia jaką rolę pełni przyspieszenie w tym przypadku należy rozłożyć je na dwie składowe:

	Składową równoległą do prędkości (czyli styczną do toru i równoległą do kierunku ruchu), nazywaną też składową styczną: a||
	Składową prostopadłą do prędkości (prostopadłą do kierunku ruchu), nazywaną często składową normalną: aၮ

Promieniem krzywizny- krzywej w danym punkcie P nazywamy bezwzględną wartość odwrotności jej krzywizny w tym punkcie, obliczonym jednym ze wzorów podanych powyżej:

4. Rzut ukośny- wyznaczyć trajektorię, zasięg i maksymalną wysokość.

• Rzut ukośny - ruch w jednorodnym polu grawitacyjnym z prędkością początkową o kierunku ukośnym do kierunku pola. Ruch ten odpowiada ruchowi ciała rzuconego pod kątem do poziomu.

Maksymalna wysokość oraz zasięg

Maksymalna wysokość na jaką wzniesie się ciało (h_max):

Zasięg rzutu (z):

Trajektoria: t=x/(Vo*cosα) , zależność y(x), y=Vo*sinα*x/(Vo*cosα) - ½(gt^2)

y= x*tgα * 1/2*g *g/(Vo^2 * cos α^2)=x^2

5. I, II, III, zasada dynamiki Newtona dla ruchu postępowego I obrotowego.

I zasada dynamiki dla ruchu obrotowego bryły sztywnej 
W inercjalnym układzie odniesienia bryła nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym, gdy nie działają na nią żadne momenty sił lub, gdy momenty działające równoważą się wzajemnie
 

II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego bryły sztywnej 
Moment siły jest równy stosunkowi przyrostu momentu pędu do czasu, w jakim ten przyrost nastąpił, czyli jest równy szybkości zmian momentu pędu
 


 
Zasada zachowania momentu pędu 
Jeżeli wypadkowy moment sił zewnętrznych względem ustalonej osi obrotu jest równy zero, to moment pędu bryły względem tej osi obrotu nie zmienia się podczas ruchu.
 

I. Istnieje taki układ odniesienia, w którym, jeżeli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające na to ciało równoważą się, to ciało zachowuje stan spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej. II. Jeżeli na ciało o masie m działają siły o wypadkowej
, to ciało porusza się ruchem przyspieszonym z przyśpieszeniem
takim, że

III. Jeżeli na ciało A działa na ciało B siłą
, to ciało B oddziałuje na ciało A taką samą co do wartości siłą
, lecz skierowaną przeciwnie.

Siły te są jednakowe co do wartości i skierowane przeciwnie, lecz nie znoszą się ani nie równoważą, gdyż są przyłożone do różnych ciał.

6. Środek masy, zasada zachowania pędu dla punktu materialnego i układu punktów materialnych.

Środek masy- ciała lub układu ciał jest punktem, w którym skupiona jest cała masa w opisie układu jako masy punktowej. Wzór na wektor wodzący środka masy

Powyższa zależność dla ośrodków ciągłych, zapisana w postaci wyrażeń całkowych, wiąże środek masy z rozkładem gęstości ρ w przestrzeni za pomocą zależności:

przy czym:
to wektor wodzący środka masy; M - masa ciała; V - objętość ciała; ρ = ρ(x,y,z) - funkcja gęstości ciała.

Pęd punktu materialnego jest równy iloczynowi masy m i prędkości v punktu. Pęd jest wielkością wektorową; kierunek i zwrot pędu jest zgodny z kierunkiem i zwrotem prędkości.

Zasada zachowania pędu

Pęd zmienia się w wyniku działania na ciało siły przez pewien czas. Iloczyn siły i czasu jej działania nazywany jest popędem siły (I)

Jeżeli w układzie inercjalnym na ciało (układ ciał) nie działa siła zewnętrzna, lub działające siły zewnętrzne równoważą się:

Pęd układu punktów materialnych jest równy sumie wektorowej pędów, wszystkich punktów układu. Można łatwo udowodnić^[1], że pęd układu jest równy całkowitej jego masie pomnożonej przez prędkość środka masy układu.

7. Definicje momentu pędu i momentu siły punktu materialnego.

Moment pędu- punktu materialnego o pędzie p, którego położenie opisane jest wektorem wodzącym r względem danego układu odniesienia (wybranego punktu, zwykle początku układu współrzędnych), definiuje się jako wektor będący rezultatem iloczynu wektorowego wektora położenia i pędu

Moment siły- Moment siły M jest to fizyczna wielkość wektorowa, będąca iloczynem wektorowym siły i jej ramienia: M = F x r, gdzie F - siła, r - ramie siły, x - oznaczenie iloczynu wektorowego. Wartość momentu siły obliczamy zgodnie z definicją iloczynu wektorowego, a więc wynosi ona:

M = |F|∙|r|∙ sin α, gdzie: |F| - wartość siły |r| - długość ramienia siły α - kąt między wektorem F i r. Ponieważ ramie siły jest zawsze prostopadłe do kierunku działania siły, to powyższy wzór uprasza się do iloczynu wartości siły i długości jej ramienia (bo sin 90⁰ = 1):

Moment siły względem punktu obrotu jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny, w której leży ten punkt i linia działania siły F. Jednostką momentu siły jest: [M] = 1N ∙ 1m - niutonometr.

8. Moment bezwładności: wyprowadzenie ze wzoru na moment pędu, wartości dla najbardziej typowych brył.

Moment bezwładności ciała zależy od wyboru osi obrotu, od kształtu ciała i od rozmieszczenia masy w ciele. Moment bezwładności ma wymiar
. Zwykle mierzy się go w kg·m².

Moment bezwładności punktu materialnego jest iloczynem jego masy i kwadratu odległości od osi obrotu:

Cienki walec:

Pełny walec

Cienki dysk, obręcz,

Wypełniona kula

Sfera

Pręt

Pręt zaniedbywanie mała grubość

Udowodnienie nie wiem………..

9. Udowodnić twierdzenie Steinera o osiach równoległych.

Twierdzenie Steinera moment bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności względem osi równoległej do danej i przechodzącej przez środek masy bryły oraz iloczynu masy bryły i kwadratu odległości między tymi dwiema osiami, co można wyrazić wzorem

Dowód w zeszycie.

10.Przyspieszenie unoszenia i przyspieszenie Coriolisa w ruchu względnym układu nieinercjalnego.

przyspieszenie Coriolisa, dodatkowe przyspieszenie liniowe, które ma w ruchomym układzie odniesienia (np. związanym z obracającą się Ziemią) poruszające się względem niego ciało dzięki ruchowi obrotowemu tego układu

przyspieszenie Coriolisa

Oznaczenia:, v - jego prędkość, ω - prędkość kątowa układu, natomiast
- iloczyn wektorowy.

11. Praca, energia kinetyczna, energia potencjalna, zasada zachowania energii.

Praca mechaniczna jest wykonywana wtedy, gdy pod działaniem siły ciało jest przesuwane na pewną odległość.

Niech siła F działa na ciało pod kątem α do kierunku ruchu ciała:

I to jest ostateczny wzór na pracę, gdzie α to kąt między wektorem przesunięcia s a wektorem działającej siły F.
Jednostką pracy w układzie SI jest dżul:

Jeden dżul jest to praca wykonana siłą jednego niutona na drodze jednego metra, przy czym siła ta działa w kierunku przesuwania ciała.

Energia kinetyczna

Ciało w spoczynku nie posiada energii kinetycznej.
Aby nadać ciału energię, należy je rozpędzić do prędkości v. Rozpędzając, wykonuje się nad ciałem pracę równą uzyskiwanej przez nie energii kinetycznej.

Praca W wykonywana jest przez stałą i niezrównoważoną siłę F, która powoduje ruch przyspieszony jednostajnie (zgodnie z II zasadą dynamiki).
Z definicji pracy:

Uwzględniając, że praca jest równa energii kinetycznej, otrzymujemy wzór na energię kinetyczną:

Oczywiście jednostką energii, podobnie jak pracy, jest dżul (J).

Energia potencjalna ciała to energia, która zależy od jego położenia w stosunku do innych ciał.
Powiedzmy, że mamy jakieś ciało o masie m znajdujące się na wysokości h nad określonym poziomem, np. nad podłogą pomieszczenia, w którym wykonujemy doświadczenie. Ciało to ma energię, bo jeżeli pozwolimy mu spadać swobodnie z tej wysokości, to wykona ono pracę za pomocą siły ciężkości Q = mg na drodze h. Zatem nasz wzór na pracę:

Ponieważ wektor siły ciężkości i wektor przesunięcia mają ten sam kierunek i zwrot, to α = 0^o, a stąd cos 0^o = 1, zatem (podstawiamy naszą siłę ciężkości i wysokość):

Zatem ciało znajdujące się na wysokości h ma zapas energii równy mgh. Ten zapas energii nazywamy energią potencjalną, która w tym przypadku wyraża cię wzorem:

Zasada zachowania energii odnosi się do układów zachowawczych, czyli takich, w których działają tylko siły zachowawcze.
Weźmy pod uwagę ciało o masie m spadające w próżni z wysokości h. Gdybyśmy przebadali dokładnie ruch ciała na wszystkich etapach spadania, obliczając energię potencjalną i energię kinetyczną, to stwierdzilibyśmy, że suma tych energii pozostaje w każdym momencie wielkością stałą.

Energia mechaniczna ciała to suma energii potencjalnej i kinetycznej danego ciała.

12. Zderzenia doskonale sprężyste i niesprężyste, rozwiązanie obydwu typów zderzeń w przypadku zderzenia centralnego.

Zderzenie ciał doskonale sprężyste
W zderzeniach tego typu ciała nie odkształcają się i nie ogrzewają.
Dla zderzeń sprężystych spełnione są zasady:
- zachowania pędu,
- zachowania energii (kinetycznej).

Przed zderzeniem	Po zderzeniu

Zderzenie ciał doskonale niesprężyste
W zderzeniach tych ciała odkształcają się i "sklejają się ze sobą" oraz wydziela się ciepło Q.
Dla zderzeń niesprężystych spełniona jest tylko zasada zachowania pędu, natomiast część energii kinetycznej zamienia się w ciepło.

Przed zderzeniem	Po zderzeniu

Zderzenie centralne - zderzenie dwóch ciał, w którym oba ciała poruszają się po tej samej prostej, zarówno przed zderzeniem, jak i po zderzeniu. Punkt przecięcia przedłużenia trajektorii (torów), po których poruszały się ciała przed zderzeniem, należy do odcinka łączącego środki masy obu ciał. W wyniku zderzenia centralnego następuje największa możliwa zmiana pędu.

Analiza zderzeń centralnych doskonale niesprężystych

W czasie tego zderzenia nie działają w układzie odosobnionym siły zachowawcze, a zatem nie jest zachowana energia mechaniczna. Natomiast pęd zostaje zachowany, z czego wynika

Stąd prędkość wspólna po zderzeniu wynosi:
.

.

Iloczyn obu zderzających się mas podzielony przez ich sumę przedstawia tzw. masę zredukowaną układu. Różnica (v₁ − v₂) jest prędkością względną. A zatem ubytek energii kinetycznej przekształcony w czasie doskonale niesprężystego zderzenia na inne rodzaje energii jest proporcjonalny do masy zredukowanej układu oraz kwadratu prędkości względnej.

13. Prawo powszechnego ciążenia, natężenie i potencjał pola grawitacyjnego, pole jednorodne, pole centralne, pole sferycznie symetryczne.

Prawo powszechnego ciążenia- Każde dwa ciała przyciągają się siłą grawitacji, której wartość jest wprost proporcjonalna do iloczynu ich mas, a odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między ich środkami.

Natężenie pola grawitacyjnego definiuje się jako wartość siły grawitacji przypadającą na masę jednostkową.Zwrot i kierunek wektora natężenia pola grawitacyjnego jest zgodny ze zwrotem i kierunkiem siły grawitacji.

Potencjał pola grawitacyjnego

• Zgodnie z ogólną definicją potencjału potencjałem pola grawitacyjnego
  jest pole skalarne
  , takie że:

• W sąsiedztwie punktu materialnego o masie M lub sferycznie symetrycznej masy M^[1]

gdzie G jest stałą grawitacyjną. Pole grawitacyjne jest wtedy centralne, a jego potencjał wynosi

Pole jednorodne - pole fizyczne, w którego wszystkich punktach natężenie pola jest takie samo, czyli ma stałą wartość, kierunek i zwrot. Linie sił w takim polu są prostymi równoległymi. Jeżeli polem tym jest pole sił, to siła działająca na ciała, wynikająca z obecności pola, jest stała w całym obszarze występowania pola

Pole centralne - pole wektorowe, które jest symetryczne ze względu na obrót o dowolny kąt wokół punktu centralnego. W polu centralnym, dla każdego punktu pola, wektor pola leży na prostej łączącej dany punkt z punktem centralnym. Punkt centralny nazywany jest centrum pola. Pole centralne
można zapisać jako

14. Pole grawitacyjne wewnątrz i na zewnątrz jednorodnej kuli.

Natężeniem pola grawitacyjnego nazywamy wielkość fizyczną, której miarą jest iloraz siły działającej na masę próbną (ciało próbne), umieszczoną w danym punkcie pola, do tej masy.

Od czego zależy natężenie pola grawitacyjnego w polu pojedynczej kulistej masy M (w polu centralnym)?

W danym punkcie pola P umieszczamy masę próbną m. Na masę tę działa siła grawitacji:

Zatem:

Natężenie nie zależy od masy próbnej.
Natężenie charakteryzuje punkt pola, a nie to, co znajduje się w punkcie.

W przypadku pola pochodzącego od kilku mas źródłowych zachodzi nakładanie się pół, tzw. superpozycja. Natężenie pola jest wtedy wektorem wypadkowym poszczególnych natężeń źródłowych.

We wnętrzu kuli jednorodnie wypełnionej masą natężenie pola rośnie liniowo wraz ze wzrostem odległości od jej środka. Na zewnątrz kula wytwarza pole centralne, którego natężenie maleje z kwadratem odległości od środka kuli, czyli wg wzoru Zauważmy, że natężenie pola ma wartość maksymalną na powierzchni planety (kuli). W pobliżu powierzchni Ziemi (na niewielkich obszarach sięgających wysokości kilkuset metrów) natężenie pola ma stałą wartość

W tym miejscu uznajemy, że linie sił pola są równoległe, czyli mamy pole jednorodne.

15. Sformułować pierwsze i udowodnić drugie oraz trzecie prawo Keplera.

Pierwsze prawo

Każda planeta Układu Słonecznego porusza się wokół Słońca po elipsie, w której w jednym z ognisk jest Słońce Elipsę można opisać na kilka sposobów, w astronomii najczęściej opisuje się elipsy podając ich wielką półoś (a) oraz mimośród (e), który określa stopień spłaszczenia elipsy (im e bliższe zeru, tym elipsa bliższa jest okręgowi). Mimośród elipsy e jest równy stosunkowi długość odcinka c między środkiem, a jednym z ognisk do długości wielkiej półosi:

Drugie prawo

W równych odstępach czasu, promień wodzący planety poprowadzony od Słońca zakreśla równe pola Wynika stąd, że w peryhelium (w pobliżu Słońca) planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od Słońca), czyli planeta w ciągu takiego samego czasu przebywa dłuższą drogę (ΔS) w pobliżu peryhelium, niż w pobliżu aphelium.

Trzecie prawo

Stosunek kwadratu okresu obiegu planety wokół Słońca do sześcianu wielkiej półosi jej orbity (czyli średniej odległości od Słońca) jest stały dla wszystkich planet w Układzie Słonecznym

Można to zapisać wzorem:

gdzie:T₁, T₂ - okresy obiegu dwóch planet,a₁, a₂ - wielkie półosie orbit tych planet.

Z prawa tego wynika, że im większa orbita, tym dłuższy okres obiegu, oraz że prędkość liniowa na orbicie jest odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka promienia orbity (dla orbity kołowej).

16. Parametry orbity, typy orbit w zależności od energii całkowitej.

Na obrazku mogą być przedstawione następujące elementy :

• orbita : orbita planety wokół środka masy (która jest nieomal taka jak wokół gwiazdy). Kropeczki wskazują położenia planety w równych odstępach czasu. Można zauważyć, że dla orbit o dużym mimośrodzie, wydłużonych, kropki zagęszczają się (czyli planeta zwalnia) gdy jesteśmy najdalej od gwiazdy.

• wielka półoś : dla planety poruszającej się po orbicie eliptycznej wielka półoś (a) to połowa odległości między dwoma najbardziej oddalonymi punktami orbity

• kąt nachylenia orbity i (możliwy do wyświetlenia tylko wtedy, gdy jest znany) : nachylenie orbity w stosunku do obserwatora na Ziemi. Nachylenie 0° odpowiada orbicie widzianej "z góry", a nachylenie 90° to widok "z boku".

• masy : pokazuje masy gwiazdy (M, w masach Słońca, to znaczy 1 odpowiada gwieździe mającej taką samą masę jak Słońce) i planety (m, w masach Jowisza, czyli 1 oznacza planetę o takiej samej masie jak Jowisz). Nie należy zapominać, że Jowisz ma masę około 1000 razy mniejszą od Słońca i nawet największe planety są znacznie mniej masywne od swych macierzystych gwiazd.

• mimośród czyli ekscentryczność : wydłużenie orbity. Mimośród orbity kołowej równa się 0. Mimośród największy to 1. Wyświetlenie mimośrodu ukazuje półoś (a) i odległość między środkiem elipsy a środkiem masy (c), bo mimośród e=c/a.

• kąt omega : jeden z kątów opisujący orientację orbity na niebie (widzianą z Ziemi). Drugi kąt (duże Omega, orientacja linii wezłów) jest na ogół nieznany.

• orbita o promieniu 1 j.a. : orbita kołowa o promieniu równym odległości Ziemi od Słońca

• ekosfera, strefa "zamieszkiwalna" : strefa wokół gwiazdy, gdzie mogłaby występować woda w stanie ciekłym (i gdzie jest największa szansa na znalezienie życia). Ta opcja jest możliwa do zaznaczenia tylko wtedy, gdy planeta znajduje się w tej strefie lub dalej. Użyte na obrazku wartości granic odpowiadają orbitom Wenus i Marsa, biorąc pod uwagę to, że ekosfera będzie bardziej oddalona, gdy gwiazda będzie gorąca.

17. Wyprowadzić wzory na I i II prędkość kosmiczną.

pierwsza prędkość kosmiczna to najmniejsza pozioma prędkość, jaką należy nadać ciału względem przyciągającego je ciała niebieskiego, aby ciało to poruszało się po zamkniętej orbicie. Z tak określonych warunków wynika, że dla ciała niebieskiego o kształcie kuli, orbita będzie orbitą kołową o promieniu równym promieniowi planety. Ciało staje się wtedy satelitą ciała niebieskiego.

Wyprowadzenie wzoru Pierwszą prędkość kosmiczną można wyznaczyć zauważając, że podczas ruchu orbitalnego po orbicie kołowej siła grawitacji stanowi siłę dośrodkową

gdzieG - stała grawitacyjna,M - masa ciała niebieskiego,m - masa rozpędzanego ciała czyli satelity krążącego wokół ciała niebieskiego,R - promień orbity satelity krążącego wokół ciała niebieskiego.

Druga prędkość kosmiczna

Druga prędkość kosmiczna to prędkość, jaką należy nadać obiektowi, aby opuścił na zawsze dane ciało niebieskie poruszając się dalej ruchem swobodnym, czyli jest to prędkość, jaką trzeba nadać obiektowi na powierzchni tego ciała niebieskiego, aby tor jego ruchu stał się parabolą lub hiperbolą . Obliczamy ją porównując energię obiektu znajdującego się na powierzchni oraz w nieskończoności. Energia w nieskończoności równa jest 0 (zarówno kinetyczna, jak i potencjalna pola grawitacyjnego), zatem na powierzchni sumaryczna energia też musi się równać 0

gdzieM - masa ciała niebieskiego,m - masa wystrzeliwanego ciała,v - prędkość początkowa,R - promień ciała niebieskiego.

Stąd wynika

Dla Ziemi II prędkość kosmiczna przyjmuje wartość

18. Położenie, prędkość, i przyspieszenie w ruchu harmonicznym, podstawowe parametry (amplituda, faza, częstość kołowa i okres).

Położenie równowagi-położenie ciała przed wprowadzeniem go w ruch drgający;

Prędkość w ruchu harmonicznym równa jest składowej poziomej prędkości stycznej do okręgu, czyli
 
      v = - A sin  = - A sin t.
 
W chwili początkowej prędkość równa jest zeru. Taka sama wartość odpowiada obu skrajnym położeniom (x = ą A). Natomiast podczas przechodzenia przez położenie równowagi prędkość osiąga wartość maksymalna równą v_max = A.
Przyspieszenie w ruchu harmonicznym to składowa pozioma przyspieszenia dośrodkowego, czyli
 
 
Widać stąd, że między przyspieszeniem i wychyleniem istnieje prosty związek:
  a =- ² x
 czyli między tymi wielkościami istnieje prosta proporcjonalność.

Wychylenie x (z położenia równowagi) w danej chwili t, czyli współrzędna położenia ciała drgającego;
Amplituda A-maksymalne wychylenie z położenia równowagi
Okres drgań T-czyli czas, w którym ciało wykonuje jedno pełne drganie;
Częstotliwość drgań v, która informuje nas, jaka jest liczba drgań w jednostce czasu;

Faza - punkty, które znajdują się po tej samej stronie położenia równowagi, są jednakowo od niego odległe i poruszają się w swoim ruchu drgającym w tę samą stronę.
Linia jednakowej fazy - punkty leżące na obwodach kół w punkcie A.

19.Siła, energia kinetyczna i energia potencjalna w ruchu harmonicznym.

Siła w ruchu harmonicznym jest wprost proporcjonalna do wychylenia i przeciwnie zwrócona. Możemy wyprowadzić jej wzór, korzystając z II zasady dynamiki:



Po podstawieniu wartości przyspieszenia w ruchu harmonicznym otrzymujemy:



Aby zapisać powyższą równość w prostszy sposób wprowadza się współczynnik proporcjonalności k:


A więc wzór na siłę w ruchu harmonicznym jest następujący:


Przemiany energii
Ciało drgające posiada energię kinetyczną i potencjalną sprężystości. Wyprowadźmy wzory na obie energie.
Energia potencjalna sprężystości wyraża się ogólnym wzorem:


Po podstawieniu do tego wzoru równanie ruchu drgającego otrzymujemy wzór na energię potencjalną sprężystości w ruchu drgającym:


Energia kinetyczna wyraża się ogólnym wzorem:


Wstawiamy do niego wzór na prędkość prędkość ruchu harmonicznym i otrzymujemy wzór na energię kinetyczną w ruchu drgającym:

20. Dudnienia w przypadku jednakowej amplitudy i zbliżonych częstości.

Dudnienie - okresowe zmiany amplitudy drgania wypadkowego powstałego ze złożenia dwóch drgań o zbliżonych częstotliwościach^[1]. Dudnienia obserwuje się dla wszystkich rodzajów drgań, w tym i wywołanych falami

Dudnienie drgań harmonicznych

W przypadku dwóch drgań harmonicznych o częstościach ω₁, ω₂ i jednakowej amplitudzie, przebieg drgań można opisać funkcjami:

Przebieg powstały w wyniku dodania tych drgań

z sumowania funkcji trygonometrycznych wynika:

lub, po wprowadzeniu nowych oznaczeń:

gdzie:

Powstające w wyniku złożenia drganie można traktować jako drganie, którego częstość jest równa średniej arytmetycznej częstości drgań składowych, zaś amplituda zmienia się znacznie wolniej, co można ująć matematycznie:

gdzie:

Funkcja B(t) przyjmuje na przemian wartości dodatnie i ujemne. Jej wartość bezwzględna |B(t)| nosi nazwę obwiedni; jest to funkcja zmieniająca się z częstością
, a zatem równą różnicy częstości składanych drgań (nie zaś połowie tej różnicy).

Efektem fizycznym opisanego sumowania drgań jest to, że zachowują one swój szybkooscylujący charakter (z częstością
), a przy tym ich obwiednia zmienia się powoli w czasie, co dla dźwięku oznacza słyszalną, pulsacyjną modulację głośności z częstością
.

21. Krzywe Lissajous w przypadku jednakowej częstotliwości.

Krzywa Lissajous (wym. lisaʒu) bądź Bowditcha - w matematyce krzywa parametryczna opisująca drgania harmoniczne, dana wzorem

Nazwy pochodzą od nazwisk Nathaniela Bowditcha, który opisał rodzinę tych krzywych w 1899, oraz Jules'a Antoine'a Lissajous, który badał je używając do tego drgących kamertonów z umocowanymi do nich zwierciadełkami. Krzywe te nazywane są też figurami Lissajous.

Rodzaje Kształt krzywych jest szczególnie uzależniony od współczynnika
. Dla współczynnika równego 1, krzywa jest elipsą, ze specjalnymi przypadkami okrąg:
(zob. pi i radian); oraz odcinek: δ = 0. Inne wartości współczynnika dają bardziej złożone krzywe, które są zamknięte, tylko gdy
jest liczbą wymierną.

Albo

Krzywe Lissajous (figury Lissajous) to w matematyce krzywe opisane przez równania parametryczne
x=Asin(at+delta),quad y=Bsin(bt),
opisujące drgania harmoniczne. Tą rodzinę krzywych zbadał Nathaniel Bowditch w 1815, badania kontunuował Jules Antoine Lissajous.
Kształt krzywych jest szczególnie uzależniony od współczynnika a/b. Dla współczynnika równego 1, krzywa jest elipsą, ze specjalnymi przypadkami okrąg (a = b, δ = π/2 radianów) oraz odcinek (δ = 0). Inne wartości współczynnika dają bardziej złożone krzywe, które są zamknięte tylko gdy a/b jest liczbą wymierną.
22.Drgana tłumione- równanie, ogólne rozwiązanie.

Drgania tłumione - siła tłumiąca proporcjonalna do prędkości.

Ft=-b*(dx)/(dt)=-bx

mx+bx+kx=0

x=Ae^-[(bt)/(2m)]*cos(ω`t+δ) dla:k/m>(b/2m)^2

ω'=(pierwiastek) (k/m - (b/2m)^2)

albo

Niech dane będzie równanie opisujące oscylator harmoniczny:

Wyliczmy pierwiastki równania charakterystycznego dla równania oscylatora harmonicznego:

widzimy, że rozwiązanie równania zależy od tego jaki jest znak wyrażenia

1.
pierwiastki są rzeczywiste i ujemne. Rozwiązanie jest zbieżne monotonicznie do 0 i jest postaci:

2.
Rozwiązanie jest zbieżne do 0 i jest postaci:

x(t) = (c₁ + c₂t)e ^{− kt},

ekstremum w

3.
Wielomian charakterystyczny ma pierwiastki zespolone, niech
, rozwiązanie jest postaci:

x(t) = Ae ^{− kt}cos(η − δ), gdzie A-amplituda, δ-przesunięcie fazowe

Widzimy na rysunku, że rozwiązanie charakteryzuje się monotoniczną oraz malejącą amplitudą Ae ^{− kt}

23. Drgania wymuszone - równanie, rozwiązanie, amplituda, częstotliwość rezonansowa.

Drgania wymuszone zachodzą pod wpływem zewnętrznej siły, będącej źródłem energii podtrzymującej drgania.
Siła wymuszająca F_W ma zwykle charakter siły o wartości okresowo zmiennej:
F_W = F_W0sinωt
gdzie: F_W0 - amplituda siły wymuszającej.
Amplituda drgań wymuszonych nie jest stała i zależy od częstości siły wymuszającej ω.
Amplituda drgań wymuszonych wyraża się wzorem:


                                                                                                                  

• Rezonans mechaniczny zachodzi wówczas, gdy częstość siły wymuszającej ω jest równa częstości własnej układu ω₀ (czyli dla częstotliwości f = f₀). W warunkach rezonansu wzrasta gwałtownie amplituda drgań układu oraz jego energia.


Częstotliwość f₀ nosi nazwę częstotliwości rezonansowej.

---