Wojskowa Akademia Techniczna Wydział Mechatroniki INSTYTUT SYSTEMÓW MECHATRONICZNYCH
ĆWICZENIE LABORATORYJNE nr.2 Temat: „METODY OPISU UKŁADÓW LINIOWYCH, STACJONARNYCH. Badanie sterowalności i obserwowalności liniowego układu dynamicznego.” Prowadzący: dr.inż. Krzysztof Motyl Ocena:
Grupa	Podgrupa	Data
A6I1S1	1	22.04.08r.
Wykonawcy:

Układy liniowe , stacjonarne możemy opisać za pomocą:

• Równań różniczkowych

• Transmitancji operatorowych

• Równań przestrzeni stanów

Modelowanie układu dynamicznego:

W trakcie ćwiczeń laboratoryjnych badaliśmy powyższy liniowy układ, którego wymuszeniem, a zarazem wejściem jest siła F(t) , a wielkością wyjściową jest przemieszczenia masy y(t). Jest to układ o jednym wejściu i jednym wyjściu i możemy opisać nasz schemat za pomocą następującego równania: *

Układ ten rozwiązaliśmy w programie MATLAB-SIMULINK za pomocą kilku sposobów:

Sposób 1 Z wykorzystaniem równań różniczkowych

Nasze równanie* opisujące układ jest drugiego stopnia, ma więc 2 integratory. Podstawiając odpowiednio za
=>
itd. Otrzymujemy następujące przekształcenia:

Równanie to przedstawiliśmy w postaci schematu blokowego następująco :

Po podstawieniu odpowiednich wartości parametrów:

Otrzymaliśmy następujące wykresy na naszym oscyloskopie:

Wnioski:

1. Rysunek pierwszy od góry przedstawia nam wykres sygnału przed pierwszym całkowaniem. Można zauważyć bardzo krótki czas narastania oraz fakt iż sygnał ustabilizował się na tym samym poziomie co przed wymuszeniem.

2. Drugi rysunek przedstawia zachowanie sygnału po 2 całkowaniu. Widać na nim, że czas narastania jest większy niż w pierwszym oraz, że jest także stabilny asymptotycznie.

3. Ostatni wykres jest to sygnał po 3 całkowaniach. Możemy zauważyć, że nie jest już on stabilny asymptotycznie, a czas narastanie jest największy.

Sposób 2 Z wykorzystaniem funkcji przejścia

Nasze ogólne równanie * po przeprowadzeniu transformaty Laplace`a wygląda następująco:

Co mogliśmy przedstawić jako schemat blokowy za pomocą bloku Transfer Fcn w następujący sposób:

Podstawiając te same wartości parametrów otrzymaliśmy następujący wykres:

Wnioski:

Na podstawie przedstawionego wykresu bardzo łatwo możemy zauważyć iż jest to ten sam sygnał co w poprzednim przykładzie na ostatnim wykresie. Przykład ten pokazuje nam jak możemy uprościć sobie schemat budowy układu za pomocą transmitancji oraz że rozwiązanie to jest równoważne z wynikiem poprzedniego przykładu.

Sposób 3 Z wykorzystaniem przestrzeni stanów

Nasze ogólne równanie * możemy przekształcić do postaci macierzowych, które będą spełniać następujące równania przestrzeni stanu:

, gdzie :

- A- macierz stanu,

- B- macierz wejścia,

- C- macierz wyjścia,

- D- bezpośrednia macierz transmisji

Uzyskane przez nas przekształcenia wynoszą:

Schemat naszego układu mogliśmy zbudować używając bloku State-Space:

Następnie określając wartości naszych macierzy i parametrów:

Uzyskaliśmy następujące wykresy na oscyloskopie:

Wnioski:

Na podstawie wykresów możemy stwierdzić, że pierwszy w porównaniu do drugiego nie jest stabilny asymptotycznie, natomiast pierwszy osiąga dwukrotnie większą pierwszą amplitudę odchylenia od wartości ustalonej oraz ma dłuższy czas narastania. Czas regulacji jest podobny.

4. Obliczanie parametrów z punktu widzenia wej-wyj:

a₂
(t) + a₁
(t) + a₀
(t) = b₀y(t)

• K(wzmocnienie) =
  

• T(stała czasowa) =
  =>
  

5.Analiza modelu matematycznego przy różnych wartościach współczynnika tłumienia:

Nasz schemat blokowy zbudowaliśmy w taki sposób, aby uzyskać jednocześnie wszystkie wykresy sygnałów o różnym tłumieniu.

Następnie uzupełniliśmy wartości naszych parametrów:

W wyniku czego uzyskaliśmy następujące wykresy sygnałów:

Wnioski:

Wykres żółty przedstawia nam sygnał bez tłumienia. Jest to człon niedotłumiony - oscylacyjny. Można zauważyć, że wykres nie dąży do stabilizacji.

Wykres różowy jest wykresem członu o tłumieniu ξ= 0,2. Jest to również człon oscylacyjny, jednak widać, że po pewnym czasie regulacji stabilizuje się on,

Wykres niebieski charakteryzuje się tłumieniem ξ=0.7 . Jest on także oscylacyjny, lecz widać że oscylacje te są bardzo małe.

Wykres czerwony jest już członem inercyjnym o dwóch jednakowych stałych czasowych o tłumieniu krytycznym równym ξ=1.

Wykres zielony jest członem inercyjnym o dwóch różnych stałych czasowych i tłumieniu nadkrytycznym ξ=2.

6.Sprawdzenie obserwowalności i sterowalności rozpatrywanego układu dynamicznego.

Po podstawieniu wartości parametrów:

m=2, k=200, c=5.

Nasze macierze wyglądają następująco:

A=
, B=

, C=

1. Aby układ dynamiczny był sterowalny: det[B,AB]≠0

det
=-0,25 (≠ 0) => układ sterowalny,

2. Aby układ był obserwowalny: det
   ≠0

det
=1 ( ≠ 0) => układ obserwowalny

Badany przez nas układ jest zarówno obserwowalny jak i sterowalny

---