C. Metoda wskaźników pojemności informacyjnej

Dana relacja R(Y_t, X_1t, … X_kt), zdefiniujmy wszystkie podzbiory zbioru { X_1t, … X_kt}, ich liczba jest równa L = 2^k - 1.

Definiujemy wskaźnik pojemności indywidualnej zmiennych:

m_l

H_lj = r_j² / (1 + Σ [r_ij]) (l = 1,…,L, j = 1,…,m_i)

i = 1 i≠j

gdzie l oznacza numer podzbioru utworzonego ze zbioru zmiennych objaśniających wstępnie ustalonych, m_l natomiast oznacza liczbę zmiennych objaśniających w kombinacji „l”.

Wskaźnik pojemności integralnej kombinacji o numerze „l”:

m_l

H_l = ∑ h_lj

j = 1

Indywidualne oraz integralne wskaźniki pojemności informacyjnej są unormowane i przyjmują wartości z przedziału [0, 1]. Przyjmują tym większe wartości, im zmienne objaśniające są silniej skorelowane ze zmienną objaśniana oraz im słabiej skorelowane są między sobą.

Ostatecznie jako zmienne objaśniające wybiera się te, które należą do podzbioru o maksymalnej pojemności integralnej.

Przykład:

Podzbiory jedno-elementowe	Podzbiory dwu-elementowe	Podzbiory trój-elementowe	Podzbiory cztero-elementowe
C1 = {X1t}	C5 = {X1t, X2t}	C11 = {X1t, X2t, X3t}	C15={X1t,X2t,X3t,X4t}
C2 = {X2t}	C6 = {X1t, X3t}	C12 = {X1t, X2t, X4t}
C3 = {X3t}	C7 = {X1t, X4t}	C13 = {X1t, X3t, X4t}
C4 = {X4t}	C8 = {X2t, X3t}	C14 = {X2t, X3t, X4t}
	C9 = {X2t, X4t}
	C10 = {X3t, X4t}

Wskaźniki pojemności indywidualnej:

Wskaźniki zbiorów jedno-elementowych	Wskaźniki zbiorów dwu-elementowe	Wskaźniki zbiorów trój-elementowe	Wskaźniki zbiorów cztero-elementowe
H1 = r1^2	H51 = r1^2/(1+[r12])	H H111 = r1^2/(1+[r12]+[r13])	H151 = r1^2/(1+[r12]+[r13]+[r14]
H2 = r2^2	H52 = r2^2/(1+[r21])	H112 = r2^2/(1+[r21]+[r23])	H152 = r2^2/(1+[r21]+[r23]+[r24]
H3 = r3^2	H61 = r1^2/(1+[r13])	H113 = r3^2/(1+[r31]+[r32])	H153 = r3^2/(1+[r31]+[r32]+[r34]
H4 = r4^2	H63 = r3^2/(1+[r31])	H121 = r1^2/(1+[r12]+[r14])	H154 = r4^2/(1+[r41]+[r42]+[r43]
	H71 = r1^2/(1+[r14])	H122 = r2^2/(1+[r21]+[r24])
	H74 = r4^2/(1+[r41])	H124 = r4^2/(1+[r41]+[r42])
	H82 = r2^2/(1+[r23])
	H83 = r3^2/(1+[r32])	H131 = r1^2/(1+[r13]+[r14])
	H92 = r2^2/(1+[r24])	H133 = r3^2/(1+[r31]+[r34])
	H94 = r4^2/(1+[r42])	H134 = r4^2/(1+[r41]+[r43])
	H103 = r3^2/(1+[r34])	H142 = r2^2/(1+[r23]+[r24])
	H104 = r4^2/(1+[r43])	H143 = r3^2/(1+[r32]+[r34])
		H144 = r4^2/(1+[r42]+[r43])

Macierz współczynników korelacji pomiędzy zmiennymi modelu:

1	0,979912	0,956612	0,957427	0,075378
0,979912	1	0,900368	0,938194	0,000000
0,956612	0,900368	1	0,915886	0,000000
0,957427	0,938194	0,915886	1	-0,07217
0,075378	0,000000	0,000000	-0,07217	1

Stąd wskaźniki pojemności indywidualnej są odpowiednio równe:

Wskaźniki zbiorów jedno-elementowych	Wskaźniki zbiorów dwu-elementowe	Wskaźniki zbiorów trój-elementowe	Wskaźniki zbiorów cztero-elementowe
0,960227273	0,505285023	0,338279507	0,338279507
0,915106952	0,481542079	0,324937643	0,324937643
0,916666667	0,495423668	0,321177561	0,313256502
0,005681818	0,472948827	0,505285023	0,005299369
	0,960227273	0,481542079
	0,005681818	0,005681818
	0,477641532
	0,478455627	0,495423668
	0,915106952	0,455970728
	0,005681818	0,005299369
	0,85496489	0,477641532
	0,005299369	0,461087116
		0,005299369

Wskaźniki zbiorów jedno-elementowych	Wskaźniki zbiorów dwu-elementowe	Wskaźniki zbiorów trój-elementowe	Wskaźniki zbiorów cztero-elementowe
0,960227273 {X1t}	{X1t,X2t}
0,915106952 {X2t}	0,986827102	{X1t,X2t,X3t}
0,916666667 {X3t}	{X1t,X3t}	0,984394711	{X1t,X2t,X3t,X4t}
0,005681818 {X4t}	0,968372494		0,981773021
	{X1t,X4t}	{X1t,X2t,X4t}
	0,965909091	0,992508921
	{X2t,X3t}
	0,956097159	{X1t,X3t,X4t}
	{X2t,X4t}	0,956693764
	0,92078877
	{X3t,X4t}	{X2t,X3t,X4t}
	0,86026426	0,944028017

Zbiór składający się z ma największą pojemność integralną.

D. Współczynnik korelacji wielorakiej

Współczynnik korelacji wielorakiej jest miarą siły związku liniowego zmiennej objaśnianej Y_t ze zmiennymi objaśniającymi {X_1t, … X_kt}. Zdefiniowany jest następująco:

R = ( 1- det(U)/det(R))^1/2

Współczynnik korelacji wielorakiej jest unormowany w przedziale [0, 1], przyjmuje tym większe wartości im związek zmiennej objaśnianej ze zmiennymi objaśniającymi jest silniejszy.

Współczynnik korelacji wielorakiej wyznaczamy dla każdego podzbioru zbioru {X_1t, … X_kt}.

Dla podzbiorów dwu - elmentowych:

	0,980		1,0	0,900		1,0	0,980	0,957
R0 =		R1 =			W =	0,980	1,0	0,900
	0,957		0,900	1,0		0,957	0,900	1,0
		det(R1)=	0,190		det(W)=	0,002
			R =	0,995	{X1t,X2t}
	0,980		1,0	0,938		1,0	0,980	0,957
R0 =		R1 =			W =	0,980	1,0	0,938
	0,957		0,938	1,0		0,957	0,938	1,0
		det(R1)=	0,120		det(W)=	0,003
			R =	0,986	{X1t,X3t}
	0,980		1,0	0,000		1,0	0,980	0,075
R0 =		R1 =			W =	0,980	1,0	0,000
	0,075		0,000	1,0		0,075	0,000	1,0
		det(R1)=	1,000		det(W)=	0,034
			R =	0,983	{X1t,X4t}
	0,957		1,0	0,916		1,0	0,957	0,957
R0 =		R1 =			W =	0,957	1,0	0,916
	0,957		0,916	1,0		0,957	0,916	1,0
		det(R1)=	0,161		det(W)=	0,007
			R =	0,978	{X2t,X3t}
	0,957		1,0	0,000		1,0	0,957	0,075
R0 =		R1 =			W =	0,957	1,0	0,000
	0,075		0,000	1,0		0,075	0,000	1,0
		det(R1)=	1,000		det(W)=	0,079
			R =	0,96	{X2t,X4t}
	0,957		1,0	-0,072		1,0	0,957	0,075
R0 =		R1 =			W =	0,957	1,0	-0,072
	0,075		-0,072	1,0		0,075	-0,072	1,0
		det(R1)=	0,995		det(W)=	0,062
			R =	0,968	{X3t,X4t}

Dla podzbiorów trój - elementowych:

	0,980		1,0	0,900	0,938		1,0	0,980	0,957	0,957
R0 =	0,957	R1 =	0,900	1,0	0,916	W =	0,980	1,0	0,900	0,938
	0,957		0,938	0,916	1,0		0,957	0,900	1,0	0,916
							0,957	0,938	0,916	1,0
		det(R1)=	0,208			det(W)=	0,000
			R =	1,000		{X1t,X2t,X3t}
	0,980		1,0	0,900	0,000		1,0	0,980	0,957	0,075
R0 =	0,957	R1 =	0,900	1,0	0,000	W =	0,980	1,0	0,900	0,000
	0,075		0,000	0,000	1,0		0,957	0,900	1,0	0,000
							0,075	0,000	0,000	1,0
		det(R1)=	0,379			det(W)=	0,001
			R =	0,999		{X1t,X2t,X4t}
	0,980		1,0	0,938	0,000		1,0	0,980	0,957	0,075
R0 =	0,957	R1 =	0,938	1,0	-0,072	W =	0,980	1,0	0,938	0,000
	0,075		0,000	-0,072	1,0		0,957	0,938	1,0	-0,072
							0,075	0,000	-0,072	1,0
		det(R1)=	0,305			det(W)=	0,002
			R =	0,997		{X1t,X3t,X4t}
	0,957		1,0	0,916	0,000		1,0	0,957	0,957	0,075
R0 =	0,957	R1 =	0,916	1,0	-0,072	W =	0,957	1,0	0,916	0,000
	0,075		0,000	-0,072	1,0		0,957	0,916	1,0	-0,072
							0,075	0,000	-0,072	1,0
		det(R1)=	0,346			det(W)=	0,005
			R =	0,993		{X2t,X3t,X4t}

Dla zbioru {X_1t,X_2t,X_3t,X_4t}:

	0,980		1,0	0,900	0,938	0,000		1,0	0,980	0,957	0,957	0,075
R0	0,957	R1 =	0,900	1,0	0,916	0,000	W =	0,980	1,0	0,900	0,938	0,000
	0,957		0,938	0,916	1,0	-0,072		0,957	0,900	1,0	0,916	0,000
	0,075		0,000	0,000	-0,072	1,0		0,957	0,938	0,916	1,0	-0,072
								0,075	0,000	0,000	-0,072	1,0
		det(R1)=	0,207
							det(W)=	0,000

R = 1,000

Największą wartość współczynnika korelacji wielorakiej otrzymaliśmy dla zbioru {X_1t,X_2t,X_3t,X_4t} oraz {X_1t,X_2t,X_3t}.

E. Efekt katalizy w modelu ekonometrycznym.

Efekt katalizy w liniowym modelu ekonometrycznym oznacza silną korelację zmiennej objaśnianej ze zmiennymi objaśniającymi przy wysokiej wartości współczynnika korelacji wielorakiej spowodowanej silną korelacją zmiennych objaśniających pomiędzy sobą. Oczywiście zmienne objaśniające, które wywołały efekt katalizy należy wywołać z modelu.

Jeśli dla każdego i = 1, …, k współczynniki korelacji r_i wektora R₀ są dodatnie oraz uporządkowane niemalejąco, to parę (R,R₀) nazywamy regularną parą korelacyjną. Dla takiej pary macierz Q postaci:

Q = [q_ij];

gdzie; q_ij = q_ji = r_i/r_j dla (i >j), nazywa się macierzą neutralną. Wielkość q_ij jest wartością neutralną współczynnika korelacji r_ij = (X_i, X_j).

Jeśli (R, R₀) jest regularna parą korelacyjną oraz dla każdego i, j = 1, …, k zachodzi równość r_ij = q_ij, to współczynnik korelacji wielorakiej R = r_k, gdzie r_k = max{r_i}. Zmienne X₁,…,X_k-1 nie wnoszą dodatkowych informacji o zmiennej objaśnianej Y_t w porównaniu ze zmienną objaśniającą X_k.

Jeśli dla każdego i, j = 1,2, …, k (i ≠ j) spełniona jest nierówność:

r²_ij < q²_ij,

to R² > r²_k. w tym każdym przypadku każda ze zmiennych objaśniających dostarcza pewien zasób informacji o zmiennej objaśnianej.

W przypadku gdy ma miejsce nierówność:

r²_ij > q²_ij,

następuje również wzrost kwadratu współczynnika korelacji wielorakiej w stosunku do maksymalnej wartości współczynnika korelacji r_k, lecz wzrost ten jest spowodowany wystąpieniem efektu katalizy. Tak więc efekt katalizy wystąpi wówczas gdy:

r_ij < 0 lub gdy: r_ij > r_i/r_j.

Zmienna X_i nazywa się zmienną katalityczną lub katalizatorem.

Do wykrywania efektu katalizy w modelu ekonometrycznym wykorzystuje się wskaźnik:

U_l = R²_l - H_l,

gdzie: l = numer podzbioru zmiennych objaśniających {X₁, …, X_k}, H_l - wskaźnik integralnej pojemności informacyjnej l - tego podzbioru.

q(12)	1,024			0,980			1,000	0,900	0,938	0,000
q(13)	1,023		R0 =	0,957		R =	0,900	1,000	0,916	0,000
q(14)	13,000			0,957			0,938	0,916	1,000	-0,072
q(23)	0,999			0,075			0,000	0,000	-0,072	1,000
q(24)	12,691
q(34)	12,702
							1,000	1,024	1,023	13,000
						Q =	1,024	1,000	0,999	12,691
							1,023	0,999	1,000	12,702
							13,000	12,69	12,702	1,000

Wszystkie elementy r_ij > q_ij /i≠j/, stąd wobec tego, że zmienna X_1t jest najmocniej skorelowana ze zmienną Y_t, X_2t, X_3t, X_4t są zmiennymi wywołującymi efekt katalizy.

---