Wydział: MECHANICZNY	Antończyk Andrzej	Zespół: VII	Ocena ostateczna:
Grupa: 202	Wyznaczanie modułu sztywności G metodą dynamiczną.	Numer ćw. 5	Data wykonania ćw.

1. Wprowadzenie.

Ciała stale poddawane działaniu niezrównoważonych sił lub momentów sił

ulegają odkształceniom. Jeżeli po usunięciu siły ciało odzyskuje pierwotny rozmiar i kształt, mówimy o jego właściwościach sprężystych. Naprężenie mechaniczne pojawiające się w materiale jednorodnym, pochodzące od sił oddziaływania międzycząsteczkowego, równoważy siły zewnętrzne wywołujące odkształcenie materiału. Jeżeli siły odzyskujące działają prostopadle do powierzchni ciała (rys.1), to mówimy wtedy o naprężeniu normalnym σ, które określamy jako stosunek siły normalnej F_n do pola powierzchni S:

σ= F_n *S

Gdy działająca siła F_n jest styczna do powierzchni, to naprężenie nazywamy ścisłym lub ścinającym:

τ= F_s /S.

Jeżeli siły działające na ciało są dostatecznie małe, to przesunięcie względem poszczególnych punktów materiału, czyli odkształcenie sprężyste, jest proporcjonalne do przyłożonych sił (naprężeń). Własność ta nosi nazwę prawa Hooke′a zapisane dla naprężeń normalnych i obejmujące naprężenia dodatnie (ściskanie) i ujemne (rozciąganie) ma postać:

σ= Eε,

gdzie miarą odkształcenia: ε=Δl/l jest wydłużenie względne. Współczynnik proporcjonalności E nazywa się modułem Younga. Prawo Hooke′a dal naprężeń stycznych wyraża się wzorem:

τ= Gα,

gdzie odkształceniem względnym jest w tym wypadku kąt ścinania α, który dla małych wartości α jest równy (rys.1);

Współczynnik proporcjonalności G nazywa się modułem szczytności. Moduł ten ( jak również E) jest dla danego materiału zależny od temperatury.

Jak wynika z teorii sprężystości, za pomocą tych dwóch niezależnych stałych: modułu Younga E i modułu sztywności G można określić wszelkie właściwości sprężyste jednorodnego i izotropowego ciała.

Moduł G charakteryzuje odkształcenia powstające przy skręcaniu pręta, ponieważ każdy element skręcanego drutu ulega odkształceniu typu prostego ścinania. Jeżeli jeden koniec cylindrycznego pręta o długości l i promieniu r jest zamocowany nieruchomo, a drugi skręcony o kąt ϕ (moment pary sił skręcających), to wartość momentu sił sprężystych M pręta, dążącego do przywrócenia równowagi, jest proporcjonalna do kąta ϕ, a stała proporcjonalności zależy od długości pręta, jego promienia oraz własności materiału:

Wzór powyższy jest dogodny do wyznaczenia modułu G. metoda styczna polegałaby na pomiarze wielkości występujących w/w wzorze. W metodzie dynamicznej wyznacza się moduł sztywności z pomiaru okresu drgań wahadła torsyjnego. W tym celu pręt, którego moduł sztywności G mamy wyznaczyć, zawieszamy pionowo, a na jego końcu umieszczamy symetryczne ciało (wibrator) o znanym momencie bezwładności I. gdy drut skręcimy i puścimy swobodnie, wibrator na jego końcu wykonuje (dla niewielkich kątów skręcania, w granicach sprężystości) drgania torsyjne, opisywane zgodnie z drugą zasadą dynamiki dla ruch obrotowego równaniem;

gdzie: I jest momentem bezwładności wibratora
jest wektorem przyspieszenia kątowego, a M wektorem momentu sił działających na pręt. Równanie ruch względem osi obrotu przechodzącej przez oś pręta ma postać równania oscylatora harmonicznego;

gdzie wartość momentu kierującego: D=Gπr⁴/2l, a częstość drgań tego ruch ω spełnia warunek ω²=D/warunek.

Pręt wykonuje, zatem drgania harmoniczne o okresie:

Mierząc okres, T wahadła o momencie bezwładności I można wyznaczyć moduł szczytności G pręta.

2. Metoda pomiaru

W/w wzór można stosować, gdy wibrator ma prosty kształt i możemy moment

bezwładności wibratora wyliczyć teoretycznie. Jeżeli momentu bezwładności nie da się wyliczyć bezpośrednio, stosujemy metodę różnicową. Do wibratora dołączamy bryłę o znanym momencie bezwładności. Całkowity moment bezwładności układu jest sumą momentów bezwładności wibratora nie obciążonego I₀ i momentu bezwładności czterech ciężarków w kształcie walca względem osi obrotu 00' wahadła:

I=I₀+4I_l

gdzie: I_l jest momentem bezwładności pojedynczego ciężarka względem osi 00'. Zgodnie z twierdzeniem Steinera moment bezwładności krążka względem osi równoległej do osi 00' i odległej o a wynosi:

gdzie: m, R odpowiednio masa i promień krążka, a - odległość osi pręta od osi krążków.

Okres drgań wahadła torsyjnego dla wibratora nie obciążonego ma postać:

natomiast dla wibratora obciążonego jest równy:

Wyznaczona na podstawie w/w wzorów wartość modułu sztywności G wynosi:

3

---