1.Zmienność geometryczna układu- mechanizm staje się konstrukcją. Układ jest niezmienny geometrycznie gdy spełniony jest warunek s=3T-P-2R≤0;T-tarcza,P-pręty,s-stopień swobodny,R-przegłub

Układ	nieswobodny	Swobodny
Geometrycznie niezmienny ( węzły nadliczbowe)	S<3	S<0
Geometrycznie niezmienny ( bez węzłów nadliczbowe)	S=3	S=0
Geometrycznie zmienny	s>3	s>0

2.Zmienność chwilowa układu- konstrukcja ma prawo do chwilowego obrotu.Układ dwóch tarcz przegubowo połączonych w punkcie B i przymocowanych do ziemi dwoma nieprzesuwnymi przegubami A. końce prętów AB i BC mogą się przemieszczać jedynie po okręgach kół o promieniach r i r₁ co w pierwszym przypadku jest niemożliwe ze względu na brak wspólnej stycznej. W przypadku zaś drugim okręgi o promieniach r i r₁ maja wspólny odcinek toru - styczną w punkcie B. Układy takie noszą nazwę układów zmiennych chwilowo

3.Linie wpływowe- jest to wykres zależności między wartością pewnej wielkości statycznej w danym przekroju, a położeniem obciążenia jednostkowego . Służą do określania wielkości sił wewnętrznych lub przemieszczeń spowodowanych od dowolnego obciążenia lub dowolnego przekroju.

4.Linie wpływowe sił - metoda statyczna, konstrukcje statycznie wyznaczalne.

• Reakcja podporowa

Siłę P =1 ustawiamy w dowolnej odległości , x od podpory A. z równania
0 znajdujemy R_Al - P(l-x)=0 . Podstawiając x=0 otrzymujemy R_A=1, analogicznie postępujemy przy linii wpływowej równej R_B, tylko korzystamy z równania

• Siła poprzeczna
  

Gdy siła znajduje się na lewo od przekroju
to
dla prawej strony i otrzymujemy

.Jest to równanie jednej gałęzi linii wpływowej prawdziwe dla x<a. Podstawiając x=0, x=l kreślimy część linii wpływu
tylko z lewej strony przekroju
. Jeżeli siła znajdzie się po prawej stronie przekroju to rozpatrując wartość równowagi dla lewej części belki otrzymujemy
. Związek ten jest słuszny dla x>a.

5.Wzajemność reakcji i przemieszczeń - zasada Rayleigh

r_iP=-d^'_Pi dana zależność można sformułować następująco: reakcja węzła „i” układu sprężystego, spowodowana działaniem siły uogólnionej równej jedności jest równa co do wartości bezwzględnej, lecz odwrotna co do znaku- przemieszczeniu na kierunku działania powyższej siły spowodowanemu przemieszczeniem o jedność wzdłuż linii działania reakcji więzu „i”.Gdy siła P=1 przemieszcza się po konstrukcji zachowując nie zmienny kierunek to zbiór wartości r_Ip przedstawia linię wpływową reakcji więzu „i”.

Linia wpływowa dowolnej siły pokrywa się z wykresem przemieszczeń wywołanych jednostkowym przemieszczeniem wzdłuż kierunku działania odpowiedniego więzi.

6. Wzajemność przemieszczeń- twierdzenie Maxwella.

Twierdzenie Maxwella (o wzajemności przemieszczeń).

Przemieszczenie δ_ik odpowiadające i-tej sile (po kierunku tej siły) i wywołane działaniem siły Pk=1, równe jest przemieszczeniu δ_ki, odpowiadającemu k-tej sile i wywołanemu przez działanie jednostkowej siły Pi=1

7.8. Sporządzanie linii wpływu wielkości statycznych sposobem kinematycznym

Sposób kinematyczny sporządzania linii wpływu wielkości statycznych polega na wykorzystaniu twierdzenia o wzajemności reakcji i przemieszczeń

Twierdzenie Reyleigha-Reakcja r_fi w punkcie „j” wywołana siłą jednostkową działającą w punkcie „i” jest równa co do wartości i różna co do znaku przemieszczeniu δ_ij w punkcie i na kierunku dziłania siły wywołanemu przemieszczeniem jednostkowym zdanym w punkcie j na kierunku reakcji. r_ji=- δ_ij

9. Kratownice. Definicje, założenia ogólne kształtowania kratownic

Jest niezmienny układ prostoliniowych prętów, połączonych ze sobą w węzłach współśrodkowo przegubami idealnymi (brak tarcia), przeguby pracują tylko na siły osiowe.

Założenia:

- pręty są prostoliniowe i połączone współśrodkowo w węzłach

- w węzłach w których są przeguby nie ma tarcia

- konstrukcja jest niezmienna geometrycznie i chwilowo

- wszystkie obciążenia zewnętrzne oraz ciężar własny przekazywane są wyłącznie w postaci sił skupionych przyłożonych w węzłach

10.Kratownice.Metody wyznaczania sił w prętach.Metoda Rittera,metoda równoważenia węzłów, metoda Henneberga.

metoda równoważenia węzłów: ∑X=0 ; ∑Y=0

Wady metody:

1. kolejność rozwiązywania jest zdeterminowana układem prętów,

2. duża liczba "rachunków"

3. kratownica bez węzła o 2 prętach nie może być "ręcznie" rozwiązana

metoda Rittera - przekrój kraty przez 3 pręty nie schodzące się w jednym węźle

∑X=0 ; ∑Y=0 ; ∑M_i=0

Metoda Henneberga

Polega na usunięciu jednego pręta i wstawieniu go gdzie indziej, ale w ten sposób, żeby zachowana była nadal geometryczna niezmienność. Zabieg ten ma na celu wyłapania więzu, od którego można by było rozpocząć obliczenia analityczne. Po przestawieniu jednego pręta należy skorzystać z zasady superpozycji:najpierw obliczyć całą kratę dla obciążeń zewnętrznych P, zaniedbując siłę x powstałą w wyniku usunięcia pręta, a następnie obliczyć kratę tylko dla powstałej siły x.

11. Przemieszczenia węzłów konstrukcji. Wzór Maxwella-Mohra.

Obciążenia statyczne Iobc. termiczne Iwpływ sprężystego podparcie Iprzemieszcz

Wszystkie podwójne to ta literka z poziomą kreseczką na górze w zeszycie.

M, T, N -momenty, tnące, normalne

- momenty tnące normalne od obciążeń jednostkowych w liczonym węźle.

M- reakcja więzów na obciążenie ∆∆-przemieszczenia

αt-wsp. rozszerzalności termicznej

t-temperatura

∆t-różnica temperatur

k-sprężystość podparcia liniowego

-sprężystość zamocowania

μ- wsp. uwzględniający nierównomierność naprężeń

h-wysokość przekroju pręta

12. Więzy warunkowo i bezwarunkowo niezbędne:

Warunkowo niezbędne-czyli takie które możemy usunąć, zachowując odpowiednie warunki

Bezwarunkowo niezbędne- których nie wolno usunąć

13. Wzory określające liczbę więzów nadliczbowych w różnego rodzaju konstrukcjach:

1) dla belki: n_s= r-3-p r-reakcje, p-pręty

2) dla kratownicy: n_s= p-2w p- reakcje+pręty, w- węzły

3) dla ram: n_s= r-3+3z-p₁-2p₂-…-np_n r-reakcje, z-obszary zamknięte, p-przeguby

14. Właściwości układów z nadliczbowymi więzami

1) Wystarczy jeden wiąz nadliczbowy by konstrukcja stała się statycznie niewyznaczalna tzn. że nie możemy jej rozwiązać wykorzystując tylko równania równowagi.

2) Do wyznaczenia sił w więzach bezwarunkowo niezbędnych wystarczają równania równowagi.

3) Spełnienie wszystkich dowolnych warunków równowagi przez wszystkie siły występuje w układach statycznie niewyznaczalnych jest warunkiem koniecznym, ale niewystarczającym dla prawidłowości rozwiązania.

4) Więzy nadliczbowe redukują ekstremalne wartości sil wewnętrznych

5) Więzy nadliczbowe redukują ekstremalne wartości przemieszczeń.

6) Układy statycznie niewyznaczalne, obciążone w obszarach więzów warunkowo niezbędnych układami samo równoważących się sił, nie pracują w obszarach więzów bezwarunkowo niezbędnych.

7) Konstrukcje statycznie niewyznaczalne są wrażliwe na obciążenia kinematyczne lub termiczne (Powstają przemieszczenia i siły wewnętrzne), ale tylko w obszarach więzów warunkowo niezbędnych.

8) W konstrukcjach statycznie niewyznaczalnych mogą być realizowane wstępne stany naprężenia, (ale tylko na kierunku więzów warunkowo niezbędnych)

9) Liczba możliwych wstępnych stanów samo naprężenia dla danego rodzaju konstrukcji równa jest stopniowi statycznej niewyznaczalności

10) Siły w więzach warunkowo niezbędnych są zależne od sztywności poszczególnych elem Sztywność: EA- ściskanie i rozciąganie, EJ- zginanie GA-ścinanie

11) Wszystkie więzy warunkowo niezbędne współpracują w konstrukcji ze sobą (tzn. działają na jedne które oddziaływają na inne itd.)

12) W miarę przeciążania konstrukcji mogą pojawić się przeguby plastyczne powodujące zmniejszenie stopnia statycznej niewyznaczalności

15. Ogólne założenia metody sił:

a) Określamy stopień statycznej niewyznaczalności n_s

b)Usuwamy tyle więzów warunkowo niezbędnych (nadliczbowych) ile wynosi n_s tak, aby konstrukcja pozostała układem niezmiennym i otrzymujemy schemat statycznie wyznaczalny.

c)Obciążamy obciążeniem zewnętrznym oraz siłami jednostkowymi na kierunku usuniętych więzów. d)Wyznaczamy sumaryczne przemieszczenia (przesunięcia lub obroty) na kierunkach działania sił nadliczbowych (rysujemy wykresy momentów i obliczamy δ)

e)Rozwiązujemy układ równań kanonicznych

f)Opracowujemy końcowe wyniki (przemnażamy wykresy momentów od obc. jednostkowych na kierunkach usuniętych węzłów podporowych przez wyniki rozwiązań układów równań i sumujemy je) M=M₁x₁+M₂x₂+… +M_P

16. Metoda sił. Obciążenia statyczne.

-należy obliczyć stopień statyczny niewyznaczalności

-usuwamy węzły warunkowo niezbędne tyle ile jest równy stopień

-obc. siłami jednostkowymi w miejscu usuniętych węzłów

δ₁₁x₁+ δ₁₂x₂+Δ_1P=0 δ₁₂= δ₂₁

δ₂₁x₁+ δ₂₂x₂+Δ_1P=0

Współczynniki δ i Δ określa się za pomocą wzoru Maxwella - Mohra.Wynikowe wartości momentów zginające określa się wzorem M=M₁X₁+M₂X₂+Mp

17.Metoda sił-obciążenie kinematyczne

Rozwiązując metoda sił konstrukcje podatna tzw. Obciążeniem montażowym należy korzystać z form wzoru Maxwella-Mohra odpowiednich dla danych współczynników.
W obliczeniach musi być uwzględniony wyraz określający przemieszczenie niesprężyste
a mianowicie: delta i a=minus suma Ri delta. Równanie kanoniczne będą sumami przemieszczen na kierunku nadliczbowych więzów, z tym ze musza uwzględniać przemieszczenia (delta ia), które wystapiły w układzie podstawowym.

δ11X1+ δ12X2+ δ13X3+…+ δ1nXn_+ΔiΔ=0

18. Przy obliczaniu układów statycznie niewyznaczalnych należy pamiętać, że obciążenia takie jak temperatura (ogrzanie równomierne i nierównomierne), osiadanie podpór (liniowe i kątowe), czy też błędy montażowe wywołują oprócz przemieszczeń konstrukcji także siły wewnętrzne.

- dla układu obustronnie utwierdzonego przyjmujemy układ podstawowy jak na rys. 4

Schemat podstawowy uzupełnia układ równań kanonicznych:

(4.1)

w którym:

(4.2)

Wykonujemy wykresy momentów od nadliczbowych sił w stanach jednostkowych:

Wykres momentu zginającego dla belki obustronnie utwierdzonej obciążonej różnicą temperatur ∆t przedstawiono na rys. 4.4.

Warto zauważyć, że wykres momentów w układzie niewyznaczalnym jest po stronie “zimniejszej” (td>tg ).

20. Metoda sił. Kratownice stycznie niewyznaczalne. Procedura obliczeniowa.

a) Określenie stopnia statycznej niewyznaczalności

ns=pk-2w-3 dla kratownic swobodnych ; ns=p-2w dla kratownic nieswobodnych ; pk-liczba prętów; w-liczba prętów

b)dobór układu podstawowego i równania kanonicznego

c)Przemieszczenia w układzie podstawowym (oblicza się ze wzoru Maxwella - Mohra)

d)Określenie sił w prętach

21. Metoda sił. Podatność podpór

Podpory sprężyste zwane też podporami podatnymi, mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są wprost proporcjonalne do reakcji w nich występujących. Podpora może mieć podatność liniową lub obrotową (kątową). Podpora o podatności liniowej to na przykład sprężyna pionowo podpierająca belkę. Podpora o podatności obrotowej to taka, w której pod wpływem siły nastąpi obrót przekroju. Podatność liniową wyrażamy w [m/N], natomiast podatność obrotową w [rad/Nm]. Jeśli na naszą podporę zadziała siła N (wzdłuż jej osi, normalna), to zgodnie z prawem Hooke`a, pręt o długości pierwotnej l ulegnie skróceniu o Δl.

Wynika z tego, że wyrażenie:

jest szukaną podatnością. Posługujemy się też parametrem określanym jako sztywność podpory. Określamy w taki sposób relację między siłą a ugięciem podpory. Jest to po prostu odwrotność podatności.

22. Rusztem

Nazywamy konstrukcję składająca się z podłużnic i poprzecznic. Krzyżujące się pręty są ze sobą połączone za pomocą przegubów. Obciążenie z podłużnic przenosi się częściowo na skraje podpory podłużnic, częściowo na dźwigar poprzeczny.

23. Symetria i antysymetria.

Układy takie można rozwiązywać od razu jako całe lub dokonać ich podziału na dwie odrębne części tj. symetryczna i antysymetryczną. Siły w prętach dzielimy na symetryczne M,N i anty symetryczne T. W podporach symetryczna jest siła R natomiast siły antysymetryczne to M,H Aby utworzyć po przecięciu konstrukcji układ symetryczny bądź też antysymetryczny należy w miejscu występowania konkretnych sił ustawić odpowiadające im podpory.

24. Metoda przemieszczeń.

Niewiadomymi są: przemieszczenia węzłów. Równania kanoniczne wyrażają reakcje w miejscu dołożonych więzów (przesuwy i obroty). O liczbie niewiadomych decyduje stopień kinematycznej niewyznaczalności (SKN). Jest to liczba więzów, które trzeba wprowadzić aby układ usztywnić. Momenty zginające i siły tnące wywołane są obrotami końców pręta oraz przesunięciami prostopadłymi do osi pręta.

25 Stopień kinematycznej niewyznaczalności. liczba niewiadomych metody przemieszczeń; odpowiada liczbie fikcyjnych węzłów które trzeba wprowadzić, aby zastąpić układ rzeczywisty układem kinematycznym wyznaczalnym o znanych przemieszczeniach węzłów n_p=Σφ+ΣΔ, Σφ -łączna liczna obrotów węzłów sztywnych, łącząca co najmniej 2 statycznie niewyznaczalne pręty, ΣΔ=2w-p-u+d -liczba niezależnych przesunięć (w-węzły, p-pręty, u-pręty, w których koniec ma swobodę przesuwu prostopadle do osi pręta, d-przesztywnienia)

26 Plan odkształceń łańcucha kinematycznego. Podstawową cechą łańcucha kinematycznego jest jego ruchliwość. Posługujemy się równaniami na oś X i Y. Przyjmujemy jedno z przemieszczeń Δ_i=1 i wyliczamy ψ_i=Δ_i/l Obliczamy zależności kątowe w łańcuchu kinematycznym: Σx_iψ_i=0, Σy_iψ_i=0 i wyliczamy ψ_i. Wielkości przemieszczeń końców pręta: Δ_i=ψ_il_i

27 Wykresy podstawowe metody przemieszczeń.

28 Metoda przemieszczeń. Obciążenia termiczne. Wyznaczamy reakcje w fikcyjnych węzłach układu podstawowego. Reakcje w tych węzłach powstają wskutek jednostkowych przemieszczeń węzłów r_ik oraz przemieszczeń wywołanych zmianami temp. R_it Wywołuje: zmianę długości, ugięcia -różnica temperatur: (2 schematy) -ogrzanie (oziębienie) równomierne pręta (4 schematy)

<- EJα_tΔt/h
<- Δt=t α_t l

29 Metoda przemieszczeń. Obciążenia osiowe. Obciążenia osiowe są to siły skierowane równolegle do pręta. Powodują przemieszczenie pręta zgodnie z kierunkiem danej siły, a razem z nim innych niezablokowanych prętów w konstrukcji.

wpływ sił podłużnych osiowych (1,2 wykres), +ciężar własny (3 w), bez wpływu sił osiowych (4 w), z wpływem (5 w)

30 Metoda przemieszczeń. Podatność podpór. n_s=r-3-p (metoda statyczna), r_ii=ΣM_i+κ (moment) gdy Z_i to obrót, r_ii=ΣM_i+k (siła) gdy Z_i to przesów

31 Linie wpływowe sił - konstrukcje niewyznaczalne. Metoda statyczna. Etapy: -obc. rozpatrywanej belki poruszającą się siłą P=1, skierowana zgodnie z kierunkiem obciążeń przewidzianych dla danej konstrukcji -położenie siły P=1 określamy odciętą x i układamy równanie wyrażające poszukiwaną wartość w funkcji x -linie wpływowe sił wewnętrznych możemy wyrazić w zależności od linii wpływowych momentów podporowych -linie wpływową dowolnej wielkości statycznej: lwpS=ΣS_ilwpX_i+lwpS_p gdzie: S_i -wartość rozpatrywanej siły S w układzie podstawowym pod wpływem X_i=1, lwpX_i -linia wpływowa nadliczbowej niewiadomej zastępującej nadliczbowy więz i, lwpS_p -linia wpływowa siły S w układzie podstawowym, n -stopień statycznej niewyznaczalności.

32 Linie wpływowe sił - konstrukcje niewyznaczalne. Metoda kinematyczna. zwalniamy jeden, odpowiedni zew. lub wew. więz i dokonujemy jednostkowego przemieszczenia na kierunku siły, której lwp rysujemy; rzędne lwp wielkosci statycznej: η_lwpS= -[MM/EJ dx - RΔ] Wykonując linie wpływową reakcji, w postaci siły skupionej lub siły poprzecznej dokonujemy przesunięcia o jedność wzdłuż kierunku działania odpowiedniej siły. W przypadku budowy linii wpływowej momentu wymuszamy obrót o kąt jednostkowy zgodnie z założonym kierunkiem działania tego momentu

33 Linie wpływowe przemieszczeń - konstrukcje niewyznaczalne. Metoda kinematyczna. Obciążamy rozpatrywaną, statycznie niewyznaczalną belkę nieporuszającą sie siłą jednostkową (P=1 lub M=1) działającą wzdłuż rozpatrywanego przemieszczenia i obliczamy rzędne linii ugięcia spowodowanego tym obciążeniem, korzystając ze wzoru: ηlwp_V(φ)=Σ∫MM/EJ dx. Otrzymana linia ugięcia będzie poszukiwaną linią wpływową przemieszczenia.

34 Linie wpływowe sił w prętach kratownicy. Procedura obliczeniowa. -przyjmujemy nadliczbową niewiadomą jako X₁ -wartość tej nadliczbowej pod wpływem siły P=1 przemieszczającej sie od węzła do węzła obciążonego pasa kratownicy uzyskać możemy z równania kanonicznego δ₁₁X₁+δ_1P=0 z którego wynika, że: X₁=-δ_1P/δ₁₁ gdzie: δ₁₁=ΣN₁²l/EA (nie zależy od położenia siły P=1) δ_1P=ΣN₁N_P^(w) l/EA (jest funkcją położenia siły P=1) -rzędna linii wpływowej X₁ dla dowolnego węzła (w): η_lwpX1^(w)=- δ_1P/δ₁₁ -linie wpływowe sił w prętach układu rzeczywistego zostaną sporządzone wg wzorów: lwpS=S_ilwpX_i+lwpS_P itd

35 Metoda Crossa. Ogólne założenia, metoda rozwiązywania, współczynniki wejściowe.

Rozwiązujemy układy mające nadliczbowe więzy - statycznie niewyznaczalne. Niewiadomymi są momenty zginające w przekrojach przywęzłowych, a schemat statyczny tzw. podstawowy (zastępczy) przyjmuje się taki sam jak w metodzie przemieszczeń. Po wyznaczeniu momentów wyjściowych przeprowadza się rachunkowe wyrównanie momentów w węzłach drogą kolejnych przybliżeń (iterację). Przyjmujemy umowę odniesienie do znaków identyczną, jak dla metody przemieszczeń. Współczynniki 1) sztywność giętna pręta -dla kokardy S_ij=4EJ/l -dla trójkąta S_ij=3EJ/l 2) sztywność węzła S_i=ΣS_ij, S_i=S_ij+S_ik+S_il, S_in=M_in/φ, S_in=M_in 3) rozdzielniki momentów równoważnych czyli stosunek sztywności pręta do sztywności węzła r_ij=S_ij/S_i, r_ik=S_ik/S_i, r_il=S­_il/S_i­, r_ij+r_ik+r_il=1, ⁿΣ₁r_in=1 4) przekaźniki momentów -stosunek momentu przekazanego do momentu przekazywanego z przekroju doznającego obrotu P_ij=M(drugi węzeł)/M(gdzie φ)

36 Łuki. Ogólna charakterystyka. Łuk to pręt zakrzywiony (w stanie nieodkształconym) podparty w płaszczyźnie sił w sposób zapewniający nieprzesuwność podpór. Osią łuku może być krzywa kołowa, eliptyczna, paraboliczna. Podział łuków:

- ze względu na schemat statyczny: - ze względu na wymiary:

-bezprzegubowe - jednoprzegubowe -dwuprzegubowe -trójprzegubowe (2 ostatnie) - wyniosłe - obniżone

37 Łuki trójprzegubowe. Reakcje i momenty zginające. Obliczenie reakcji podporowych w łuku odbywa się identycznie jak

w wypadku belek prostych czy ram. Siły wewnętrzne określa się na podstawie właściwych definicji momentu zginającego, siły poprzecznej i podłużnej. Obliczenie reakcji na podporach łuku za pomocą równań równowagi.

Tutaj idą wzorki ale trzeba będzie je jakoś inaczej wkleić bo tam coś jest nie tak.

38 Łuki trójprzegubowe. Siły poprzeczne i podłużne. przyjmujemy układ współrzędnych zgodny z kierunkami sił tnących i normalnych

39 Łuki. Linia ciśnienia Obrazuje, w którym miejscu łuk jest ściskany, a gdzie rozciągany.

N = M/e -> e=M/N

40 Racjonalna oś łuku. gdy występuje tylko czyste ściskanie (wykresu momentu nie ma w łuku) Jeśli moment zginający jest tożsamościowo równy zero, to i siła poprzeczna musi być tożsamościowo równa zero i łuk pracuje jedynie na ściskanie. Łuk o takiej osi nazywamy łukiem o osi racjonalnej.

---