Monika Jędrzejak 14.04.2010 r.

Rok I /Fizyka Techniczna prowadzący: dr S. Dacko

wtorek, godz.:16°°

ĆWICZENIE 15

TEMAT: DRGANIA MASY ZAWIESZONEJ NA SPRĘŻYNIE

I. Tabela pomiarowa.

Sprawdzenie izochronizmu drgań

Tabela 1

n = 20 drgań
amplituda [cm]	t [s]	T [s]
1	22,22	1,111
2	22,75	1,138
3	23,00	1,150
4	22,97	1,149
5	22,28	1,114
6	22,06	1,103
7	22,66	1,133
8	22,91	1,146
9	22,87	1,144
10	22,35	1,118

Tabela 2

n = 20 drgań
amplituda [cm]	t [s]	T [s]	T śr [s]
	22,13	1,107	1,122
		22,25		1,113
		22,66		1,133
		22,88		1,144
		22,25		1,113

Wyznaczanie współczynnika sprężystości k

Tabela 3

masa odważnika [g]	x [cm]	masa odważnika [g]	x [cm]
10	3,3	100	33,7
20	6,7	90	30,3
30	10,1	80	26,9
40	13,4	70	23,5
50	16,8	60	20,2
60	20,2	50	16,8
70	23,5	40	13,4
80	26,9	30	10,1
90	33,3	20	6,7
100	33,7	10	3,3

Zależność okresu drgań T od masy m obciążającej sprężynę

Tabela 4

x [cm]	n= 20 drgań				n= 10 drgań
		m 40 [g]	m 50 [g]	m 60 [g]	m 70 [g]	m 80 [g]	m 90 [g]	m 100 [g]
		t [s]	t [s]	t [s]	t [s]	t [s]	t [s]	t [s]
1	20,87	22,43	23,75	24,56	12,35	13,44	13,94
2	20,75	22,22	23,82	24,47	12,78	13,00	14,10
3	21,00	22,53	23,60	24,65	12,66	13,10	13,63
4	21,12	22,53	23,65	24,85	12,62	12,91
5	21,45	22,37	23,34	24,31	12,71	13,28
6	21,25	21,75	23,31	24,50	12,47	13,32
7	21,41	21,40	23,40	11,88	12,65
8	21,12	22,28	23,47	11,81	12,50
9	21,47	22,47	23,31	12,34	12,41
10	21,10	22,66	23,40	12,10	12,75

Tabela5

m odważnika [ g]	T [s]	T² [s²]
40	1,058	1,119
50	1,113	1,239
60	1,175	1,381
70	1,216	1,478
80	1,259	1,585
90	1,318	1,736
100	1,389	1,929

Tabela 6 Wyznaczenie okresu drgań odważnika o masie mx

n = 20 drgań
x [cm]	t [s]	T [s]	T² [s²]
1	12,59	1,236	1,528
2	12,19
3	12,37
4	12,47
5	12,31
6	12,40
7	11,97
8	12,16
9	12,59
10	12,57

Tabela7 Tabela zbiorcza wyników pomiarów

	2,785	74	3,04	0,355	0,324

II. Opis teoretyczny

Prawo Hooke'a:

Ponieważ naprężenie jest proporcjonalne do działającej siły zewnętrznej F_z powodującej odkształcenie prawo Hooke'a dla sprężyny można zapisać w postaci: F_z = kx

Współczynnik proporcjonalności k charakteryzuje własności sprężyste określonej sprężyny

Pionowo wiszącą sprężynę można rozciągnąć zawieszając na jej dolnym końcu ciężarek o masie m. Rozważmy najpierw przypadek, gdy sprężyna jest nieważka lub jej masa własna jest znikomo mała w porównaniu z masą zawieszonego na niej ciężarka. Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona, sprężyna rozciągnięta ciężarkiem, działa na ciężarek siłą sprężystą F_spr równą co do wartości sile rozciągającej sprężynę, lecz przeciwnie do niej skierowaną. Zapisujemy to: F_spr =  kx

Ciężarek będzie w równowadze w położeniu, x_o, w którym siła sprężystości zrównoważy jego ciężar mg: mg  kx_o = 0

Stąd wydłużenie x_o odpowiadające stanowi równowagi jest równe:

Równanie ruchu ciężarka zawieszonego na nieważkiej sprężynie.

Jeśli sprężyna zostanie wydłużona tak, by wypadkowa ciężaru (mg) i siły sprężystej ( kx), działających na masę m nie była równa zeru, wówczas zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona, ciężarek będzie poruszał się ruchem przyspieszonym, z przyspieszeniem:

Równanie ruchu ma postać:

lub po podzieleniu przez m i po uwzględnieniu wzoru :

Wprowadzając nową zmienną z = x  x_o, określającą wychylenie masy m z położenia równowagi, otrzymujemy:

Rozwiązaniem równania jest funkcja opisująca drganie harmoniczne wokół położenia równowagi :
, gdzie A jest amplitudą drgania (maksymalnym wychyleniem z położenia równowagi), _o, równe :
jest nazywane częstością kołową, a  jest fazą początkową drgania.

Amplituda A i faza początkowa  zależą od warunków początkowych. Czas T_o, w którym układ wykonuje jedno drganie nazywany okresem drgań jest równy:
.

Zmiana wartości amplitudy drgań nie powoduje zmiany ich częstości. Ten fakt zwany izochronizmem drgań jest konsekwencją liniowego związku pomiędzy siłą sprężystą F_s a wydłużeniem x sprężyny.

Ruch ciężarka zawieszonego na sprężynie, której masa m_s ≠ 0

Ruch ten opisuje wzór:
, jest taki, jaki byłby w przypadku nieważkiej sprężyny o takim samym współczynniku sprężystości, obciążonej ciężarkiem o łącznej masie M = m+1/3 m_s. Wzór można zapisać w innej postaci:
T² zależy w sposób liniowy od wartości masy m zawieszonej na sprężynie, co można zapisać w sposób uproszczony:
Am+B

Współczynnik kierunkowy prostej A opisującej zależność T² (m) jest równy
zaś wartość rzędnej B, dla m=0 jest równa

III. Przebieg pomiarów i obliczenia.

Sprawdzenie izochronizmu drgań

Należało sprawdzić czy okres drgań zależy od amplitudy. Dla 10 amplitud zmierzono czasy 20 pełnych drgań. Wyznaczyłam okresy drgań ze wzoru:

np. dla amplitudy równej 6 [cm] okres drgań wynosi:

Dla amplitudy równej 7 cm pomiar powtórzyłam pięciokrotnie. Obliczyłam średni okres drgań.

Liczę maksymalne odchylenie średniej (biorę najkrótszy i najdłuższy okres pod uwagę):

Wyznaczanie współczynnika sprężystości k

Na szalce kolejno należy kłaść odważniki o masach od 10 g do 100 g a potem na odwrót , notuję wydłużenie sprężyny w stanie równowagi. Obliczam średnie wartości wydłużeń sprężyny x pod wpływem określonych obciążeń :

gdzie x₀₁ wydłużenie przy obciążeniu rosnącym, a x₀₂ - przy obciążeniu malejącym

Sporządzam wykres (rys.1) zależności wydłużenia sprężyny od ciężaru F (F=mg) odważników znajdujących się na szalce.

Stałą sprężystości k odczytuję z równania prostej wykresu. Współczynnik kierunkowy prostej jest równy stałej sprężystości k, więc k=2,785 [N/m] .

Rys.1 Zależność wydłużenia sprężyny od ciężaru F

Zależność okresu drgań T od masy m obciążającej sprężynę

Pomiary okresów drgań dokonuję jak w w przypadku pomiarów służących sprawdzeniu izochronizmu drgań gdzie masy odważników zmieniam między 40 g a 100 g co 10 g.

Sporządzam wykres (rys.2)zależności kwadratu okresu drgań układu od masy m obciążającej sprężynę (T² = f(m)). Masa ta jest równa sumie masy odpowiedniego ciężarka i masy szalki. Masa szalki wynosi 17,9 g.

Na zakończenie kładziemy na szalce odważnik o nieznanej masie m_x (wskazany przez prowadzącego zajęcia) i mierzymy okres jego drgań.

Na podstawie równania prostej (zależność y=Ax+B) i wyliczonej wartości kwadratu okresu dla nieznanej masy mogę obliczyć wartość tej masy z zależności:

Masa nieznanego ciężarka wynosi:

Z wykresu odczytuje wartości A i B: A = 12.975 natomiast B = 0.335.Obliczam wartość stałej sprężystości k z zależności:

Sprawdzam liczbowo wartość współczynnika B równania prostej z zależności:
,gdzie
=75 g =0,075 kg ,
0.324

Rys.2 Wykres zależności kwadratu okresu drgań sprężyny od masy obciążającej sprężynę

Na koniec należy sprawdzić , czy udział masy sprężyny m_s w łącznej masie M, od której zależy okres drgań T (
) jest równy 1/3 m_s. Wartość masy M liczę na dwa sposoby:

- przekształcając równanie:

, sumę
można zapisać jako
,więc:

- podstawiając masę sprężyny oraz masę obciążającą:

Sprawdzenie izochronizmu drgań.

Zgodnie z izochronizmem drgań okres nie zależy od zmiany amplitudy (tab.1). Różnice okresów drgań pomiędzy zmianami amplitudy mieszczą się w granicach dokładności. Wyjątkiem są zmiany amplitudy :3,4, 8, 9 cm. Może być to związane z niedokładnością odczytu amplitudy czy szybkością odczytu czasu dla 20 pełnych drgań.

Wyznaczanie współczynnika sprężystości k.

Stałą sprężystości k odczytuję z równania prostej wykresu (rys.1) zależności wydłużenia sprężyny od ciężaru F.. Współczynnik kierunkowy prostej jest równy stałej sprężystości k, więc k=2,785 [N/m] . Prawo Hooke'a. spełnione jest dla prawie wszystkich obciążeń. Przy masie 90 g widać nieznaczne odstępstwo.

Zależność okresu drgań T od masy m obciążającej sprężynę.

Masa nieznanego ciężarka wynosi w przybliżeniu 74 g. Obliczyłam to wykorzystując równanie prostej dla rys.2. Obliczona wartość stałej sprężystości k z zależności:
wynosi 3.04 [N/m] .Wartość współczynnika B równania prostej wyliczona z zależności:
wynosi 0.324 natomiast odczytując z wykresu 0,355. Udział masy sprężyny m_s w łącznej masie M, od której zależy okres drgań T jest równy w przybliżeniu 1/3 m_s.

Wyniki nie różnią się bardzo od siebie. Jednak na pewno nie są dokładne, zważywszy na sposób wykonywania ćwiczenia i na urządzenie.

9

---