1. DOJRZAŁOŚĆ DZIECKA DO UCZENIA SIĘ MATEMATYKI W SZKOLE.

Wskaźniki dojrzałości do uczenia się matematyki:

1. Świadomość w jaki sposób należy liczyć przedmioty.

2. Odpowiedni poziom operacyjnego rozumowania.

3. Zdolność do funkcjonowania na poziomie symbolicznym i ikonicznym bez potrzeby odwoływania się do poziomu enaktywnego, do poziomu działań praktycznych.

4. Stosunkowo wysoki poziom odporności emocjonalnej na sytuacje trudne.

5. Należyta sprawność manualna, precyzja spostrzegania i koordynacja wzrokowo - ruchowa.

Dojrzałość do uczenia się matematyki w warunkach szkolnych:

1. Dziecięce liczenie:

• sprawne liczenie i rozróżnianie błędnego liczenia od poprawnego

• umiejętność wyznaczania wyniku dodawania i odejmowania w zakresie 10
  „w pamięci” lub na palcach.

2. Operacyjne rozumowanie na poziomie konkretnym w zakresie:

• uznawania stałości ilości nieciągłych (zdolność do wnioskowania o równoliczności mimo obserwowanych zmian w układzie elementów porównywanych zbiorów.

• wyznaczanie konsekwentnych serii (zdolność do ujmowania każdego porządkowania elementów jako mniejszego od nieuporządkowanych i jednocześnie największego w zbiorze już uporządkowanym).

3. Zdolność do odrywania się od konkretów i posługiwanie się reprezentacjami symbolicznymi w zakresie:

• pojęć liczbowych (aspekt językowo - symboliczny).

• działań arytmetycznych (formuła arytmetyczna i jej przekształcenie).

• Schematu graficznego (grafy strzałkowe, drzewka, tabele i inne uproszczone rysunki).

Dojrzałość emocjonalna wyrażająca się w:

• pozytywnym nastawieniu do samodzielnego rozwiązywania zadań.

• Odporność emocjonalna na sytuacje trudne intelektualnie (zdolność do kierowania swym zachowaniem w sposób racjonalny mimo przeżywanych napięć).

5. Zdolność do syntetyzowania oraz zintegrowania funkcji percepcyjno - motorycznych, która wyraża się w sprawnym odwzorowywaniu złożonych kształtów, rysowaniu i konstruowaniu.

Prawidłowości rozwojowe charakterystyczne dla dziecięcego zajęć:

1. Gest wskazywania - koniec 1. roku życia. Wskazywanie i wymienianie kolejnych liczebników. Rozpoczyna się od wskazywania przez dorosłych i nazywania różnych przedmiotów. Do 3-4 rż.

2. Poczucie „jest tyle”, czyli świadomość, że ostatni wypowiedziany liczebnik jest określeniem liczby przedmiotów.

3. Wyznaczanie wyniku dodawania i odejmowania - dziecko obserwuje i próbuje stwierdzić jak jest teraz (po zmianie) taka postawa do 5 r. ż. Dodawanie to łączenie a odejmowanie to odbieranie. (do 7 r. ż.. Na konkretach.)

Na kształtowanie dziecięcego liczenia mają wpływ:

• różnice indywidualne, mniejsza lub większa zdolność do wychwytywania prawidłowości.

• zdolność do nadawania znaczenia prostym sytuacjom społecznym

• dorośli, którzy przybliżają dzieciom prawidłowości liczenia.




2. OMÓW TREŚCI NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE I.

CO POWINIEN UMIEĆ UCZEŃ KOŃCZĄCY KLASĘ I?

1. Stosunki przestrzenne. Uporządkowanie, klasyfikacja.

1. Orientacja przestrzenna.

Położenie i ruch: schemat własnego ciała, przedmioty w stosunku do własnego ciała (ja i przedmioty), jednych przedmiotów w stosunku do drugich np. pudełko leży po prawej stronie zegara, zegar leży po lewej stronie pudełka.

2. Cechy wielkościowe.

Porównywanie przedmiotów (długość, szerokość, wysokość, masa), czynnościowe porządkowanie przedmiotów (manipulacja, wyobraźnia, zmysł).

3. Zbiory.

Klasyfikowanie, wyodrębnianie zbioru, podzbioru i części wspólnej.

2. Arytmetyka.

1. Liczenie.

Przeliczanie przedmiotów, osób, gestów, dźwięków, posługiwanie się liczebnikami porządkowymi, porównywanie liczebności zbiorów (przeliczanie, łączenie w pary).

2. Liczby i ich zapis.

Monografia pierwszej dziesiątki, liczba 0, pojęcie liczby, monografia drugiej dziesiątki, rozszerzenie numeracji do 100.

3. Dodawanie i odejmowanie

Pojęcie sumy i różnicy, rozkład na składniki, równania z okienkami 3 + = 7, dodawanie i odejmowanie w zakresie 10, w drugiej dziesiątce, z przekroczeniem progu dziesiątkowego, numeracyjne przypadki dodawania i odejmowania 50+8=58, 62-2=60.

4. Mnożenie i dzieleniew zakresie 25.

Przygotowanie do (liczenia) mnożenia, liczenie po 2, liczenie po 3 i po 4; dzielenie jako podział i mieszczenie oraz dzielenie liczby przez liczbę.

5. zadania tekstowe jednozadaniowe.

Stopniowe przechodzenie od zadań jednodziałaniowych do dwudziałaniowych (złożonych).

3. Mnożenie i obliczenia pieniężne. (wiadomości praktyczne).

1. Mierzenie długości.

• co to znaczy mierzyć? - odkrycie sensu mierzenia, pomiaru długości,

• co mierzymy? (wielkość),

• czym mierzymy? (jednostka), stałość długości.

2. Mierzenie ilości płynu (pojemności).

- dzieci muszą odkryć sens, musi być jakaś wielkość i jednostka,

np. szklanka; stałość pojemności, litr jako jednostka

3. Ważenie.

- wprowadzenie 1 kilograma

4. Mierzenie czasu.

Zegar i dni tygodnia, odczytywanie godzin.

5. Aspekt miarowy działań arytmetycznych.

Dodawanie i odejmowanie długości i ilości płynów.

6. Obliczenia pieniężne.

• złote, grosze.

4. Figury geometryczne.

• trójkąt, kwadrat, prostokąt, koło. Każdy kwadrat jest prostokątem, ale nie każdy prostokąt jest kwadratem.




2. OMÓW TREŚCI NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II.

1. Stosunki przestrzenne. Uporządkowanie, klasyfikacja.

1. Orientacja przestrzenna.

Prawa, lewa ręka lub noga, określenia typu: „w prawym górnym rogu”, skręcanie w lewo,
w prawo, poruszanie się lewą, prawą stroną.

2. Cechy wielkościowe.

Godziny i minuty na zegarze, obliczenia dotyczące godzin, np. południe, północ, doba; temperatura, odczytywanie wskazań termometru.

3. Zbiory.

Wyodrębnianie zbiorów, zbiór pusty, przeliczanie elementów zbioru. Klasyfikowanie przedmiotów ze względu na dwie cechy (zbiory rozłączne). Odczytywanie tabelek przy dwóch cechach przedmiotów, zmiana kolejności składników.

2. Arytmetyka.

1. Liczenie.

2. Liczby i ich zapis.

Rozszerzenie numeracji do 100, liczenie w przód i w tył, dziesiątkami i po kolei. Wyodrębnianie jedności i dziesiątek w zapisie liczby (objaśnienia typu: 43 to 4 dziesiątki i 3 jedności). Przedstawianie liczb na osi liczbowej, stosowanie znaków < , >. Znaki rzymskie od I do XII. Rozszerzenie numeracji do 1000.

3. Dodawanie i odejmowanie

Powtórzenie dodawania i odejmowania w zakresie 20, rozkład liczby na składniki, zastosowanie w praktyce przemienności dodawania, w obliczeniach nazwy: suma, składnik, różnica, zbiory w zadaniach na dodawanie i odejmowanie; dodawanie i odejmowanie w zakresie 100, praktyczne stosowanie własności działań, sprawdzanie odejmowania za pomocą dodawania i na odwrót, proste równania z okienkami: 24 + = 31. Wprowadzenie zapisu złożonego: 34-28+5, stosowanie nawiasów przy dodawaniu i odejmowaniu, przestawianie i grupowanie składników. Porównywanie różnicowe typu „o 3 więcej”, „o 3 mniej”, „o ile więcej?”, „o lie mniej?”, ukazywanie cykliczności związanej z upływem czasu (pory roku, dni, tygodnie, godziny).

4. Mnożenie i dzieleniew zakresie 25.

Przygotowanie do mnożenia i dzielenia (parzystość, wielokrotności). Mnożenie i dzielenie w zakresie 30; mnożenie przez 1 i przez 0; terminy: iloczyn, czynnik, przemienność, rozkład liczby na czynniki, dzielenie w zakresie 30, czynnościowe rozwiązywanie zadań na podział i na mieszczenie.

5. Zadania tekstowe jednozadaniowe.

Zadania z okienkami; zadania nietypowe i celowo źle sformułowane.

3. Mnożenie i obliczenia pieniężne. (wiadomości praktyczne).

1. Mierzenie długości.

Mierzenie długości w centymetrach, wprowadzenie pojęcia odcinka, wprowadzenie osi liczbowej, mierzenie w zakresie do 100 cm.

2. Mierzenie ilości płynu (pojemności).

3. Ważenie.

kilogram, dekagram

4. Mierzenie czasu.

Godziny i minuty na zegarze, obliczanie godzin.

5. Aspekt miarowy działań arytmetycznych.

Aspekt miarowy działań arytmetycznych; porównywanie różnicowe, np. „dłuższy o 20 cm”„o ile kg lżejszy?”„o trzy lata starszy”; zapisywanie i porządkowanie pomiarów dokonanych przez uczniów, np. długość przedmiotu, lub temperatura na dworze.

6. Obliczenia pieniężne.

Obliczenia pieniężne, zadania dotyczące kosztów, ceny, wydawania reszty.

4. Figury geometryczne.

Utrwalenie nazw i kształtów podstawowych figur; konstruowanie (patyczki, klocki) figur przez uczniów, obserwacja zależności, rysowanie i mierzenie odcinków, figury na sieci kwadratowej; rozpoznawanie linii prostopadłych i równoległych oraz ćwiczenia w rysowaniu




2. OMÓW TREŚCI NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III.

5. Arytmetyka.

1. Liczenie.

2. Liczby i ich zapis.

Rozszerzenie zakresu liczbowego do 200, potem do 1000, do 2000, do 10 000,

do 1000 000. Liczenie w przód i w tył po kolei, dziesiątkami, setkami, liczenie typu: „ile jest od ... do ... włącznie”, wyodrębnianie jedności, dziesiątek, setek, w zapisie liczby wraz z objaśnieniami, przedstawianie liczb na osi liczbowe, znaki rzymskie od I do XXX.

3. Dodawanie i odejmowanie

Pamięciowe dodawanie i odejmowanie dowolnych liczb dwucyfrowych, łatwe równania z okienkami, np. + 4 = 36, porównywanie sum i różnic, działania odwrotne, wyrażenia złożone, obliczenia pamięciowe w zakresie 1000, 2000, 10000, 1000 000; algorytm dodawania i odejmowania pisemnego.

6. Mnożenie i dzieleniew zakresie 25.

Mnożenie w zakresie 100; odwrotność mnożenia i dzielenia przez 1, dzielenie liczby przez nią samą (niewykonalność dzielenia przez 0), wielokrotności liczb, dzielenie przez 10, 100; algorytm mnożenia i dzielenia pisemnego.

7. Zadania tekstowe jednozadaniowe.

Jednodziałaniowe, łatwe zadania złożone, porównywanie różnicowe, ilorazowe, próby ujmowania rozwiązywania zadania tekstowego w jednym zapisie, układanie zadań do działań arytmetycznych, zadania tekstowe źle sformułowane.

8. Ułamki

Rozebranie figury na części równe i nierówne, ułamki o liczniku >1. (zawsze w powiązaniu z konkretem), próby dodawania i odejmowania, porównywania ułamków o jednakowych mianownikach.

6. Mnożenie i obliczenia pieniężne. (wiadomości praktyczne).

1. Mierzenie długości.

Mierzenie długości metr, centymetr, milimetr, kilometr. Obliczanie długości linii łamanych, odczytywanie położenia obiektów na planach miast i obiektów.

2. Mierzenie ilości płynu (pojemności).

litr, mililitr.

3. Ważenie.

kilogram, dekagram, gram, tona, kwintal, brutto, netto, tara.

4. Mierzenie czasu.

Godziny, minuty, sekundy, pisanie dat, obliczenia kalendarzowe, obliczenia zegarowe (system 12h i 24h), 100-lecia, lata przestępne

5. Mierzenie temperatury.

odczytywanie wskazań termometru, również poniżej 0)

6.Aspekt miarowy działań arytmetycznych.

Wykorzystanie czterech działań arytmetycznych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie) do obliczeń związanych z: mierzeniem długości, ważeniem, wyznaczeniem pojemności, rachubą czasu; porównywanie różnicowe i ilorazowe; zadania typu:

3 m 47 cm = 347cm.

7. Obliczenia pieniężne.

Złote, grosze, zadania typu: cena - ilość - wartość, zadania typu: 4 zł. 25 gr.= 425 gr.

7. Figury geometryczne.

Proste, odcinki, łamane, mierzenie długości, równoległość , prostopadłość plan i skala.. Mierzenie i obliczanie obwodu, opisywanie brył, figury na sieci kwadratowej.

3. OMÓW WIELOASPEKTOWOŚĆ POJĘCIA LICZBY NATURALNEJ

1. ASPEKT KARDYNALNY

Liczba kardynalna określa ile elementów ma dany zbiór. Mówiąc np. „trzy psy” mamy na myśli pewien zbiór psów i stwierdzamy że ma on trzy elementy. Liczbą kardynalnym odpowiadają zwykle liczebniki główne

2. ASPEKT PORZĄDKOWY

Liczba porządkowa określa który z kolei element danego zbioru właśnie rozpatrujemy.

Mówiąc na przykład „trzeci pies” mamy na myśli psa, który jest trzeci z kolei w pewnym zbiorze o ustalonej kolejności elementów. Liczbą porządkowym odpowiadają

Liczebniki porządkowe

3. ASPEKT MIAROWY

Jest najtrudniejszym z trzech podstawowych aspektów liczby naturalnej. Przy pomiarach wielkości ciągłych pojawiają się bowiem trzy obiektywne trudności pojęciowe.

1. Pomiar jest zawsze tylko przybliżony. Gdy mamy na przykład czworo dzieci liczba dzieci jest równa dokładnie 4, gdy natomiast mamy 4 litry wody, 4 metry sznurka itp. Liczba 4 nie jest wartością absolutnie dokładną i może być określona tylko w granicach błędu pomiaru.

2. Wynik pomiaru może nie być liczbą całkowitą może być ułamkiem a w obliczeniach teoretycznych- nawet liczbą niewymierną np. promień koła o obwodzie 1 lub przekątna kwadratu o boku 1.

3. Wynik pomiaru zależy od wyboru jednostki przy zmianie jednostki zmienia się wartość liczbowa wyniku, choć wielkość mierzona jest ta sama. Aby przygotować dzieci do prawidłowego rozumienia faktów w punktach 1 i 2 warto używać w klasie przy mierzeniu zwrotów typu: „prawie cztery”, „cztery i jeszcze trochę”. Mierząc różne przedmioty uczniowie powinni czasem powtarzać pomiar ze zmianą jednostki, by mogli uprzytomnić sobie zależność wyniku od jej wyboru. Mogą na przykład mierzyć wymiary zeszytu używając różnych klocków z zestawu Cuisenaire′a, a obok uzyskanego wyniku zaznaczyć jakim klockiem mierzyli.

4. ASPEKT KODOWY LICZBY

Gdy zapiszemy liczbę w systemie pozycyjnym można mówić o aspekcie kodowym. Kodem nazywamy każdą regułę umożliwiającą rejestrowanie lub przekazywanie informacji za pomocą znaków lub sygnałów np. kod pocztowy. Typowym przykładem użycia liczby w czystym znaczeniu kodowym są numery telefonu.

5. LICZBA JAKO WARTOŚĆ

Najbardziej powszechnym przykładem takiego użycia liczby są pieniądze. Jest to określenie pewnej wartości w ustalonym systemie monetarnym np. moneta pięciozłotowa ma wartość pięciu złotówek, ale nie znaczy to, że jest ona na przykład 5 razy większa lub 5 razy cięższa od monety jednozłotowej, ma natomiast zgodnie z przyjętą umową, pięciokrotnie wyższą siłę nabywczą.

6. LICZBA A CYFRY

Liczba jest pojęciem absrtakcyjnym określającym pewną ilość lub wielkość

Cyfry są znakami graficznymi służącymi do zapisywania liczb.

Liczb jest nieskończenie wiele. Cyfr w powszechnie stosowanym systemie dziesiątkowym jest tylko dziesięć 0,1,2...9. liczby odpowiadają słowom a cyfry literom.

1. WYKORZYSTANIE „KOLOROWYCH LICZB”

W NAUCZANIU POCZĄTKÓW MATEMATYKI

Metoda liczby w kolorach została opracowana przez nauczyciela-praktyka G. Cuisenairea oraz pracownika naukowego C. Gattego. Jej nazwa pochodzi pochodzi od zboru kolorowych klocków o przekroju 1 cm 2 i długości od 1 cm do 10 cm.

Metoda Cuisenairea ma związek z poglądami dydaktyki tradycyjnej. Autor podkreśla, że spostrzeżenia są punktem wyjściowym procesu nauczania, umożliwiają one dziecku kojarzenie kolorów poszczególnych klocków oraz odpowiadających im długości.

Te spostrzeżenia nie mają charakteru statycznego, ponieważ są ściśle związane z działaniem zewnętrzno-przedmiotowym. Metoda ta, jak twierdzi G. Mialaret, łączy w jednym aspekcie myślowym trzy aspekty tego procesu: interioryzację, odwracalność i zdolność asocjacji. Umożliwiają one zrozumienia pojęcia liczby, pozwalając dziecku na dowolne przekształcenie jego własnych wyobrażeń liczby w trakcie wykonywanych operacji

6. W zbiorze liczb w kolorach dziecko odkrywa najpierw relację równoważnościową: klocki takiego samego koloru są jednakowej długości i na odwrót, klocki tej samej długości mają jednakowy kolor. Każdy klocek reprezentuje jedną rodzinę klocków, które są tego samego koloru i tej samej długości.

7. Druga cechą materiału jest liczba klocków tego samego koloru i tej samej długości

8. Kolejnym etapem prac z zastosowaniem liczb w kolorach jest wprowadzenie operacji składania podstawami dwóch klocków i wyszukiwania klocka, którego długość równa się sumie długości klocków składowych. Dzieci wykonują to zadanie w czasie zabawy w kolorowy pociąg. Nie znając jeszcze liczb, uświadamiają sobie przemienność i łączność tego działania, jego związek z mniejszością w zborze klocków. W trakcie wyszukiwania brakującego składnika, a mając daną sumę i drugi składnik, poznają działania odwrotne.

• opanowane przez uczniów czynności praktyczne stanowią doskonałą podstawę do wprowadzania pojęcia liczby naturalnej i działań w tym zbiorze. Punktem wyjścia jest zabawa w kolorowe schody. Dzieci wybierają po jednym klocku z każdego koloru, a następnie porządkują je w kolejności od najmniejszego do największego.

• Dalszy ciąg tej zabawy, to wchodzenie i schodzenie po stopniach z równoczesnym wymienianiem nazw kolorów poszczególnych stopni. Następnie uczniowie wymieniają numery kolejnych stopni od 1 do 10, od 10 do 1, z dowolnego miejsca w porządku rosnącym lub malejącym, np. 5,6,7,8,9,10 lub 5,4,3,2,1

• Kolejnym ćwiczeniem jest wyszukiwanie stopnia schodów odpowiadającego danemu numerowi, np. piątego, siódmego, trzeciego. Jaki numer ma schodek niebieski, zielony, pomarańczowy? Podczas kolejnych ćwiczeń uczniowie stwierdzają, że piąty stopień schodów jest koloru żółtego i jest tak długi, jak 5 białych czyli 1+1+1+1+1=5

• Umiejętności rozkładu liczb na składniki opanowują uczniowie w trakcie zabawy w kolorowe dywany. Wybierają najpierw dowolny klocek, a następnie układają paski tej samej długości z dwóch lub większej liczby klocków.

9. Etapie wprowadza się pisemne symbole matematyczne: cyfry 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, znaki działań arytmetycznych: +,-,:, oraz symbole równości = i mniejszości i większosći.

4. MONOGRAFIA LICZB PIERWSZEJ DZIESIĄTKI.

(NA PRZYKŁADZIE LICZBY 5).

Treść zagadnienia	Przykład realizacji
1.Powstanie danej liczby przez powiększenie poznanej wcześniej liczby o jeden. Doliczanie i odliczanie jedności.	-Ćwiczenia w zakresie od 1 do 4 -Pytanie jak powstaje liczba 5 -Stwórz zbiór 4 patyczków. -Dołóż jeden patyczek. Ile teraz jest patyczków? (zadanie pokazane na tablicy poprzez konkretne działanie - dokładanie lub w ławkach uczniów)
2.Wyodrębnianie zbiorów o określonej liczbie elementów. Dostrzeganie liczby jako wspólnej cechy zbiorów równolicznych, określających moc zbioru. Liczba w aspekcie kardynalnym.	- Wyszukiwanie w klasie zbiorów 5-cioelementowych -Czego w klasie jest 5? -Rozsypane elementy poukładaj do pętelek po 5 do każdej.
3.Określenie ile razy rozpoznawanej wielkości mieści się wielkość jednostkowa. Mierzenie wielkości ciągłych. Liczba w aspekcie miarowym.	- Wymierzam 1 pasek za pomocą mniejszych paseczków -Pod żółtym paskiem ułóż tylko tyle klocków białych by powstały dwa równe paski. -Żółty pasek to ile białych kwadracików? -Nauczyciel pokazuje na tablicy - wymierza pasek żółtych za pomocą białych.
4.Okreslenie miejsca liczby w ciągu liczbowym, jej związku z liczbami sąsiednimi i poznawanie własności porządku w zbiorze liczb naturalnych. Liczba w aspekcie ordynalnym - porządkowym.	- Ułóż schodki do 5 -Jakiego koloru jest klocek trzeci? piąty. -Czerwony klocek to który z kolei? -Można zmienić kierunek liczenia. -Chodzenie po schodkach do góry lub w dół.
5.Pisanie cyfr jako znaków graficznych danej liczby. Pokaz sposobu pisania i rozmieszczania poszczególnych elementów cyfr w kratkach oraz ćwiczenia w tym zakresie.	-Nauka pisania liczby 5, musi być pokaz kratek, poprawny zapis na tablicy.
6.Rozkład liczby na dwa lub dowolną liczbę składników. Skład liczby i jej stosunki ilościowe- liczba w aspekcie algebraicznym.	-Dywanik z kolorowych liczb -Dodawania jeszcze nie można stosować, używamy „i” jako określenia sumy. 2 i 3 to 5
7.Zastosowanie liczby w praktyce (w życiu) oraz w rozwiązywaniu zadań tekstowych.	-Ręka ma 5 palców - W każdym rzędzie jest po 5 ławek itp

5. MONOGRAFICZNE OPRACOWANIE LICZB DRUGIEJ DZIESIĄTKI

Monograficzne opracowanie liczb od 0-10 różni się od liczb 11-20:

Różnice:

• wzorzec pisma jest mniejszy, uczniowie znają bowiem pisownię pojedynczych cyfr (1,2,3,4,5,6,....)

• do przedstawienia liczb wykorzystuje się palce i kropki na kostkach

• natomiast w miejsce wielu konkretów ilustrujących różnorodne rozkłady danej liczby na składniki teraz przy każdej liczbie pojawia się jeden rysunek z wyraźnie wyodrębnioną dziesiątką, np. jest 10 tulipanów żółtych i jeden czerwony;

• ważne jest to, że 11 to 10 i 1, 12 to 10 i 2 - nauczyciel pokazuje, jak zapisuje się cyframi te liczby; musi także pamiętać o starannym wymawianiu liczebników przez uczniów,

• przy każdej liczbie zapisujemy odpowiednie dodawanie do 10, np. 10+2=12, a także działanie odwrotne: 12-2=10. Ważne jest, by uczniowie objaśnili sens tych działań posługując się konkretem na rysunku. Np. 10 czerwonych filiżanek i 2 żółte to razem12; gdy od tych 12 filiżanek odejmiemy 2 żółte, zostanie 10.

5. POJĘCIE DZIESIATKOWEGO UKŁADU POZYCYJNEGO I JEGO KSZTAŁTOWANIE W KLASACH I - III

Poznawanie systemu dziesiątkowego wiąże się z rozszerzaniem zakresu liczbowego.

Przy wprowadzaniu liczb drugiej dziesiątki wyraźnie wyodrębniamy liczbę

10 ( 17 = 10+7).

Uczniowie powinni wskazywać, która cyfra odnosi się do dziesiątek, a która do jedności ( należy zwrócić uwagę na odróżnienie np. 34 od 43).

Należy używać określeń: miejsce jedności, miejsce dziesiątek, rząd jedności, rząd dziesiątek ( unikać określeń: miejsce pierwsze, rząd pierwszy…)

Przy liczeniu rzędów, liczymy od prawej do lewej /rozpoczynając od rzędu jedności /

Wzorem Jeleńskiej można używać określeń typu: na pierwszym miejscu,

licząc od prawej ręki ku lewej.

W klasie I do rozumienia przez dzieci systemu dziesiątkowego, należy stosować czynności takie jak: wiązanie patyczków w dziesiątki, rozkładanie guzików do pudełek po 10; budowanie pociągów z liczb w kolorach odpowiadającym rozkładom typu: 10 + 10 + 10 + 10 + 6

W klasie II i III po rozszerzeniu zakresu liczbowego ( od tysiąca do miliona) na zajęciach mówimy już o rzędach jedności, dziesiątek, wyjaśniając zasady zapisu liczb w systemie dziesiątkowym.

Po wprowadzeniu nowych liczb wykonujemy na tych liczbach tylko te działania, które pogłębiają zrozumienie zapisu dziesiątkowego, są to:

- numeracyjne przypadki dodawania

/ 400 + 25 = 425 , 721 = 700+ 20 + 1 / 721 = 700+ 20 + 1 /

- numeracyjne przypadki odejmowania

/ 216 - 16 = 200, 348 - 8 = 340 /

- dodawanie i odejmowanie pełnymi dziesiątkami, setkami..

/ 20 + 50 = 70, 500 - 300 = 200 /

- mnożenie pełnych dziesiątek, setek przez liczby jednocyfrowe

/ 4 • 100 = 400

- przedstawienie liczb w postaci

427 = 4• 100 + 2 • 10 + 7

8. ROZSZERZENIE ZAKRESÓW LISZBOWYCH W KLASACH I-III.

W długoletnim procesie kształtowania pojęcia liczby naturalnej można wyróżnić z jednej strony stopniowe pogłębianie rozumowania niedużych liczb w trzech aspektach :

Kardynalnym , miarowym i porządkowym, a z drugiej- stopniowe rozszerzenie zakresu liczbowego.

W ramach tematu „ rozszerzenie zakresu liczbowego” nauczyciel powinien uwzględnić następujące zagadnienia:

1. Kształtowanie rozumienia liczb w nowym zakresie, a w szczególności tego, które z nich są większe, a które mniejsze.

2. Ćwiczenie poprawnego wymawiania i pisania liczebników.

3. Zapisywanie liczb za pomocą cyfr i związek zapisu pozycyjnego z numeracyjnymi przypadkami dodawania i odejmowania

4. Miejsce nowo poznanych liczb na osi liczbowej.

5. Stopniowe zaznajamianie dzieci z dziesiątkowym systemem pozycyjnym.

Zgodnie z obecnym programem nauczania rozszerzenie zakresu liczbowego następuje pod koniec każdej klasy:

• pod koniec klasy I do 100

• pod koniec klasy II do 1000

• pod koniec klasy III do miliona

Natomiast ćwiczenie techniki rachunkowej w rozszerzonym zakresie przypada każdorazowo na klasę następną. Podane powyżej zakresy liczbowe należy zawsze nieco przekraczać np. zapoznając dzieci z liczbami drugiej dziesiątki nie powinno się kończyć na liczbie 20, należy zachęcać uczniów do wymienienia kilku dalszych liczb. Chodzi o to aby nie stwarzać sztucznych ograniczeń i pobudzać wyobraznię dziecka.

Przekraczanie danego zakresu ma też znaczenie dla kształtowania rozumienia, że liczb naturalnych jest nieskończenie wiele, że dla każdej liczby można znaleźć liczbę od niej większą.

Rozszerzenie zakresu liczbowego do100 następuje w chwili, gdy uczeń zna już liczby w zakresie 20 oraz nauczył się w tym zakresie dodawania i odejmowania. Dzieci na tym etapie jeszcze nie znają systemu dziesiątkowego a muszą już jednak w jakimś stopniu nim się posługiwać. W bezpośredni, spontaniczny sposób dziecko może ogarnąć liczebności nie przekraczające tuzina ;przez bezpośrednie przeliczanie na konkretach może sprawdzic obliczenia w obrębie 20. Działania arytmetyczne są to rachunki dające się trudniej symulować za pomocą klocków. Z tego powodu ważne jest oprawne zrozumienie przez ucznia zapisu liczby dwucyfrowej.

Rozszerzanie zakresu liczbowego nierozłącznie wiąże się ze stopniowym poznawaniem systemu dziesiątkowego. Już przy w prowadzaniu liczb drugiej dziesiątki wyraznie wyodrębniamy liczbę 10, np. 17 =10+7

Ucząc się o liczbach dwucyfrowych uczniowie powinni wyraznie wskazać, która cyfra odnosi się do dziesiątek a która, a która do jedności. Celowe jest używanie określeń „miejsce dziesiątek”, „rząd jedności”, „rząd dziesiątek”.

W klasie I , po rozszerzeniu zakresu liczbowego do 100, czynności takie jak wiązanie patyczków w dziesiątki, rozkładanie guziczków do pudełek po 10, budowanie „pociągów” z liczb w kolorach odpowiadających rozkładom typu , 10+10+10+10+6 służą przygotowaniu dziecka do rozumienia systemu dziesiątkowego.

Innym ważnym środkiem ułatwiającym rozszerzenie zakresu liczbowego jest oś liczbowa. Oś liczbowa jest przydatna dla zrozumienia relacji mniejszości w zbiorze liczb .Daje też pewną skale porównawczą przy zestawieniu liczb pierwszej setki z liczbami pierwszego tysiąca.

Naturalnym modelem osi liczbowej w zakresie 100 jest metrowej długości linijka centymetrowa. Przy zapoznawaniu się z liczbami w zakresie 1000 warto sporządzić 10-metrowy model osi i powiesić go na korytarzu. Pozwoli to dzieciom poznać poglądowo liczby do 1000 i zapamiętać wzrokowo, jak długi jest odcinek 10 m .Celowe są ćwiczenia, przy których uczniowie zaznaczają pewne tylko liczby i objaśniają dlaczego dane liczby są akurat we wskazanych miejscach(np. tłumacząc, że 250 leży w środku między 200 a 300).Dla pogłębienia rozumienia osi warto prosić uczniów o dodatkowe wyjaśnienia, gdzie leży liczba 1 itp.(1 leży tuż koło zera, tak blisko, że nie da się narysować)

Przy rozszerzeniu zakresu liczbowego do 1000 warto jest wrócić do osi i spytać uczniów gdzie leżą liczby większe od 1000.Błędem jest nie zachowanie skali i umieszczenie np.2000tuż nad 1000,próby sprostowania błędu mają duże znaczenie kształcące.

Jak wygląda rozszerzenie zakresu liczbowego do miliona i kształtowanie dużych liczb?

Nauczyciel może zaproponować, by dzieci wymieniły jakieś liczby większe od 1000, nastepnie objaśnia, że tysiąc tysięcy nazywa się milion. Dzieci zaznaczają na osi liczy do 10 000, dalej rysują oś w innej skali i zaznaczają liczby do 100 000 a na innej z kolei-do miliona. Uczą się przy tym zapisywać i odczytywać wielokrotności tysiąca. Ważne jest by dzieci nauczyły się rozpoznawać w zapisie typu 40 000,która część odpowiada słowu czterdzieści a która słowu tysięcy. Powinny też umieć pokazać na osi pół miliona i ćwierć miliona.

9. KSZTAŁTOWANIE POJĘCIA SUMY I RÓŻNICY LICZB NATURALNYCH

WŁASNOŚCI DODAWANIA I ODEJMOWANIA

*Przemienność dodawania

Prawo przemienności dodawania mówi o tym, że dodawanie liczb możemy wykonywać w dowolnej kolejności wynik dodawania nie zależy od kolejności składników .Wartość sumy nie zależy od kolejności dodawanych składników. Można to zapisać: a + b = b + a

W aspekcie miarowym (na klockach) dla dziecka zrozumiałe jest że 7+2 to tyle samo co 2+7 Wystarczy że inaczej ułoży klocki.

W aspekcie porządkowym dziecko dolicza do 7: jeden, dwa...(7+2) w odwrotnej kolejności dolicza do 2: jeden dwa, 3,4,5,6,siedem (2+7) Nie widzi od razu, że wynik będzie taki sam. Podobnie na osi, może zacząć od 2 i doliczać do 7 lub odwrotnie.

*Przemienność dodawania w praktyce

Układając dywaniki dzieci zauważają, że układając szlaczek 8, z klocków 3 i 5 odwracając kolejność mogą ułożyć drugą parę klocków 5 i 3. Najpierw pojawi się to w praktyce, później w działaniach na liczbach. Zamiana kolejności składników pomoże znaleźć wszystkie możliwości rozkładu liczby na składniki.

*Gra: Połączyć w pary sumy jednakowe: 5+1 i 4+2 lub 5+1 i 1+5 kto szybciej.

*Tabelki:

a	b	a+b	b+a
2	7
5		8
	3		12
0			7

*Grafy:

*Kule: dzieci wysypują białe i czarne kule do pudełek nie wiedzą ile jest białych ile jest czarnych ale wynik taki sam.

* Kwadraty magiczne

			12
	1	7
7	5	2	7
12		9

Dzieci zauważają że po przekątnej i po przeciwległych stronach wyniki powtarzają się. Lub kwadrat magiczny gdzie wszędzie są takie same wyniki.


12	12	12	2	12
12	5	6	1	12
12	0	4	8	12
12	7	2	3	12
12	12	12	12	12

*Łączności dodawania

Przy rozszerzaniu zakresu do 20 dajemy dzieciom zadanie: Oblicz sumę: 3+(2+8). 3+2+8=3+(2+8)=3+10=13 Błędem jest rachunek:

3+2+8=5+8=8+5=(8+2)+3=10+3=13 Niektóre obliczenia nie są potrzebne.

• pomocne będą drzewka, które sugerują jakie obliczenia wykonać po kolei.

Łączność-własność ta mówi, że dowolną grupę składników zapisanych obok siebie możemy zastąpić ich sumą, a wynik dodawania nie ulegnie zmianie.

(a+b)+c=a+(b+c)

PRAKTYKA-woreczki z kasztanami. Najpierw zsypuje z zielonego i z czerwonego woreczka potem dosypuje z żółtego. Inne dziecko najpierw zsypuje z żółtego i z czerwonego potem z zielonego. Wówczas dzieci rozumieją, że kasztanów jest tyle samo i nie zależy to od tego, które kasztany razem zsypujemy.

*Dwukrotne odejmowanie

Odejmowanie nie posiada właściwości łączności. Można odwołać się do osi liczbowej.

Ogólnie a-b-c=(a-b)-c=a-(b+c)

Należy zacząć od wyraźnego zaznaczania kolejności odejmowania za pomocą nawiasów lub drzewek. Następnie stopniowo rezygnuje się z drzewek i nawiasów pozostawiając dzieciom wybór sposobu postępowania.

Dziecko powinno również umieć obliczyć: (16-6)-2 lub 13-6 zapisać jako (13-3)-3

*Praktyczne stosowanie przemienności i łączności dodawania

Dziecko powinno wiedzieć, że stosując te właściwości może uprosić sobie skomplikowane rachunki

Np. 7+8+3 może zapisać

7+8+3=7+3+8=10+8=18 lub

7+8+3=8+(7+3)=8+10

Zastosowano przemienność i łączność dodawania równocześnie.

„Dowolny składnik możemy dodać do dowolnego, a wartość sumy nie ulegnie zmianie.”

„Aby odjąć od sumy pewną liczbę, można tą liczbę odjąć od dowolnego składnika.”

ZWIĄZEK NIERÓWNOŚCI Z DODAWANIEM I ODEJMOWANIEM

*Porównywanie liczebności zbiorów, a pojęcie złączenia zbiorów.

Sytuacje dydaktyczne:

*rysunek grzybki i koszyczki. Podporządkowanie 1. grzybek do 1. koszyczka. Grzybków jest więcej niż koszyczków-dzieci to widzą bez przeliczania)

*ciastka: po 1. ciastku na talerzyk-(połączone liniami)

Łączenie w pary czyli przyporządkowanie elementom jednego zbioru elementów drugiego zbioru-pozwala stwierdzić- bez przeliczania czego jest więcej, a czego jest mniej. Można urozmaicić zadanie dając klocki do manipulacji, by dzieci praktyczne sprawdziły swoje stwierdzenia.

Matematyczna treść aktywności dzieci:

Elementom matematycznej aktywności dzieci:

1. ujęcie dwóch zbiorów A i B jako danych

2. łączenie w pary, przyporządkowanie

3. stwierdzenie, że zbiór A posiada 2 podzbiory których jeden jest równoliczny ze zbiorem B (w zbiorze B jest mniej elementów

4. jest drugi z podzbiorów zbioru A jest pusty tzn., że A i B są równoliczne

Ważne jest to że dzieci określają „mniej”, „więcej”, „tyle samo”, bez przeliczania, ale przez „łączenie w pary”, przyporządkowywanie.

*Mniejszość, suma i różnica w zbiorze liczb naturalnych- podstawowe związki

Sytuacje dydaktyczne

*dzieci rozwiązują nierówność 6>5, 6=5+1 według wzoru: 4+2=6 6=7-1, a więc 4+2<7

Możemy sprowokować dzieci do WNIOSKOWANIA SPONTANICZNEGO, z wyraźną świadomością sensu słowa „więc”

Dzieci dostają szablony z wyciętymi polami

na wpisanie znaków liczb. Nauczycielka daje

informacje o „ukrytej liczbie” -przyczepia „+”

i liczbę u góry z prawej strony „3” i dzieci odgadują jaki wpisać znak w pole ( ... )

Dzięki zabawie dzieci uświadomiły sobie, że w sytuacji (jak na rysunku) można być pewnym, że liczba z prawej strony jest większa od liczby z lewej strony lub że są równe, a więc liczba z prawej strony nie może być mniejsza od liczby z lewej strony.

Matematyczna treść aktywności dzieci:

Rozumowanie dzieci:

1.Ponieważ wiem, że b jest sumą a i liczby 3, więc na pewno a<b

odwołanie do matematyki TW.1

-Jeżeli a, b N to a+b a i a+b b

-Jeżeli a,b N i a<b to istnieje taka liczba c N, c>0 taka, że a+c=b

Z tego wynika że a>b

2.Wiem że b otrzymam odejmując od liczby a liczbe 3, więc na pewno a>b

TW2 Jeżeli a,b N to a<b gdy istnieje liczba c N c>0 i taka że a+c=b

3.Wiem że b jest > od liczby a, to na pewno, aby otrzymać b, trzeba do a dodać jakąś liczbę

TW Jeżeli a, b N to a<b gdy istnieje c N c>0 że b-c=a

4. Wiem,że liczbę b można otzrymać przez dodanie do liczby a jakijś liczby więc b>a

TW4 Jeżeli a,b N to a<b gdy b-a jest liczbą większą od zera

Było to rozumowanie typu inferencyjnego: Wiem to, a więc jestem pewny także i tego.

*Nierówność miedzy sumami (różnicami)

Sytuacje dydaktyczne:

Dziecko rozumuje 6<8, 6+2<8+2 8<10 następnie zostaje sformułowane twierdzenie o treści. Jeżeli a<b to a+c<b+c

Postępowanie dydaktyczne polega tu na podstawianiu wartości na a,b,c, obliczaniu sum a+b b+c oraz stwierdzeniu która z nich jest większa, z wyjaśnieniem sugerowanym pytaniem „dlaczego?”

Dziecko może wyjaśniać: otrzymałem a+c<b+c bo wybrałem a<b lub po prostu porównać otrzymane sumy a+c=8 i b+c=10 bo 8<10

* „pracownicy wytwórni kostek” Na sciankach napisane a, a-1, a+1 a-2 a+2 a-3

Dzieci dostają „zamówienia” np. Poproszę o kostkę według wzorca a=5. Dzieci podstawiają 5 za a i malują kropki na odpowiednich sciankach.

Następnie można te kartki (wzorce) wykorzystać w grze parami. Jedno dziecko wyrzuciło a+1 drugie a-2 porównują a+1>a-2 więc w ten sposób przyznaja punkty.

Matematyczna treść aktywności dzieci:

Rozumowanie dzieci możemy uogólnić twierdzeniami.

TW5 Jeżeli a,b,c są liczbami naturalnymi i a<b to a+b<b+c

TW6Jeżeli a,b,c N i a<b i c b to c-a>c-b

TW7 jeżeli a,b,c N a<b i c b to c-a>c-b

TW8 Jeżeli a,b,c N i c>a to c+b >b-a

TW9 Jeżeli a,b,c N a<b i c d to a+c b+d

Uwagi metodyczne:

W klasach początkowych trzeba rozwijać intuicyjne i operatywne rozumienie związków między pojęciami sumy, różnicy mniejszości liczb.

-Nie wolno wyuczać dzieci werbalnie sformułowanych reguł

-Należy dawać dzieciom zadania, które wymagają planowania przewidywania-przygotowując je w ten sposób do matematycznego myślenia

-Nie powinno się dzieci onieśmielać ani wymagać wyrażania myśli za pomocą języka matematyki. Powinny być to spontaniczne wypowiedzi, które z czasem przerodzą się w język matematyki.

-Twierdzenia o nierównościach sum i nierównościach różnic stanowią teoretyczną podstawę do rozwiązywania nierówności. W wyższych klasach uczniowie już świadomie będą stosować te twierdzenia w toku rozwiązywania nierówności.

KSZTAŁTOWANIE POJĘCIA SUMY I RÓŻNICY LICZB NATURALNYCH.

W dziecku należy kształtować potrzebę rozumienia tego, co robi, postawę krytyczną, która nie dopuszcza przyjęcia i bezmyślnego wykonywania niezrozumiałej instrukcji.

Nauczyciel powinien przede wszystkim kształtować pojęcia sumy i dopiero na nim oprzeć naukę praktycznego dodawania.

*Określenie dodawania liczb za pomocą zbiorów.

We wszystkich sytuacjach wyróżnić można dwa typy sytuacji dających się opisać za pomocą liczby i operacji prowadzących do tej liczby

1. zbiór i liczenie jego elementów

2. wielkość i mnożenie

Będziemy dążyć do powiązania przez dzieci dodawania liczb:

• z dodawaniem zbiorów (aspekt mnogościowy)

• z dodawaniem wielkości (aspekt miarowy)

Mnogościowy aspekt dodawania-zbiór klocków trójkątów, zbiór klocków czerwonych oraz złączenie tych dwóch zbiorów. Suma elementów nie jest równa liczbie należącej do złączenia zbiorów.

Suma liczb a, b jest liczbą elementów zbioru otrzymanego w następujący sposób: bierzemy zbiory A i B rozłączne i takie , że zbiór A składa się z a elementów, zbiór zaś B z b elementów. Następnie łączymy te zbiory. Liczba elementów złączenia zbiorów A i B jest właśnie sumą liczb a i b.

Przykład: Janek ma w swojej bibliotece 4 książki o zwierzętach i 5 książek z kolorowymi ilustracjami. Wszystkich książek w bibliotece Janka jest 7. Czy to możliwe?

4+5=9 ale

Aby rozwiązać dobrze zadanie rachunkowe należy dobrze zrozumieć opisaną w zadaniu sytuacje, a nie tylko wykonać nasuwające się działanie arytmetyczne.

Przy operacji dodawania trzeba wcześniej ustalić liczbę 0. Lepiej żeby dzieci na konkretnych przykładach odkryły, że dodawanie zera nie zmienia liczby. 6+4=10 6+3=9 6+0=6.

*Określanie dodawania za pomocą wielkości. - Aspekt miarowy dodawania -klocki z zestawu „kolorowe liczby” układanie „pociągu” -koniec do końca i wymierzanie długości za pomocą jednostkowej kostki.

Aby dodać liczby a, b będziemy, znajdować dwa słupki o długościach a, b łączymy je końcami, wreszcie mierzymy otrzymany słupek.

*długość jest dzieciom znana, łatwiej tę wielkość niż inne oceniać „na oko”

*w ujęciu geometrycznym dodawanie liczb jako długości odcinków odpowiada dodawaniu odcinków „koniec do końca”. Można tę operację przedstawić na rysunku osi liczbowej, jako przyjście od arytmetyki do geometrii.-Każde posunięcie czy „skok” wzdłuż osi liczbowej -to wektor.

*Określanie dodawania liczb za pomocą numerowania. - Aspekt porządkowy dodawania- spotykamy się z nim gdy kolejnymi numerami oznaczamy elementy zbioru. Numerowanie jest związane z przeliczaniem zbioru i służy przede wszystkim znalezieniu liczby jego elementów. Ostatni przyporządkowany liczebnik określa zarazem liczbę elementów zbioru.

*Symboliczny aspekt dodawania- (Rola znaku równości.) -dotychczas w nauczaniu posługiwano się wyłącznie schematem 5+8=13 Powodowało to:

-utrwalenie błędnego poczucia asymetrii równości

-przyzwyczajanie się do posługiwania się zawsze znakiem „=” jako symbolem wskazującym wynik wykonywanej operacji

-powodowanie u dzieci niewolniczego związania z zapisem a+b

Znak „=” jest symbolem identyczności A=B A jest tym samym co B.

5+8=13 jest to samo co 13=5+8 Świadomość równoważności tych wyrażeń jest bardzo ważna i powinna być kształtowana od początku.

Błędny jest zapis 3*4+6=12=18 gdyż 3*4+6 nie jest identyczne jak 12, a 12 nie jest identyczne jak 18. należy zmieniać polecenia np. wykonaj dodawanie 8+9 lub dodaj liczby 8 i 9 można odwołać się do tabelek lub grafów.

Dla uniknięcia kłopotów dzieci należy:

1. zadania rachunkowe formułować zawsze tak, by polecenie było wyraźnie wypowiedziane słownie

2. dawać także zadania dotyczące liczb zapisywanych w postaci sumy, ale nie wymagające wykonania dodawania

PRZYKŁAD -O ile liczba 6+4 jest większa od 4?

Uzupełnij 6+4=5+...=4+...=3+...

Aby sprawdzić czy a - b = c, badamy, czy a = b + c. Postać symbolu liczby nie decyduje o tym, czy jest ona dla innych liczb (sumą, różnicą).

Należy od początku świadomie używać określeń suma, różnica, w odniesieniu do liczb zapisanych za pomocą różnych symboli.

Pomoce przy dodawaniu są strzałki i drzewa. (Nie występuje w nich znak „=”, a mimo to zadania są wykonane prawidłowo).

Ćwiczenia: Należy ćwiczyć z dziećmi również rozkład na składniki. Można wykorzystać „kolorowe liczby”, układać „dywaniki” i pamięciowo odtwarzanie ich pomaga w opanowaniu rozkładu na składniki liczb w zakresie dziesiątki.

ODEJMOWANIE LICZB I JEGO ZWIĄZEK Z DODAWANIEM.

*Ujmowanie i dopełnianie

Przykład: Jacek przyniósł 10 pomadek. Poczęstował 3 kolegów. Ile pomadek mu zostało?

Jako ujmowanie interpretujemy też skracanie odcinka długości a, o odcinek długości b.

To samo wystąpi w przykładzie Andrzej miał 10 metrów linki i odciął z niej 3 metry. Ile ma jeszcze linki?

DOPEŁNIANIE W przypadku klocków dzieci położą na stole klocek 3 obok położą klocek 10. Będą dobierać wypełniający lukę klocek, aż położą klocek 7.

Przykład Maciek miał 3 znaczki. Wojtek dał mu jeszcze kilka znaczków tak, że Maciek ma 10 znaczków .Ile znaczków dał Maćkowi Wojtek?

Do 3 znaków dziecko „dopełnia” po jednym, aż dojdzie do 10.

*Dwie drogi do pojęcia odejmowania.

Rozpoczęcie zadań, w których występuje ZMNIEJSZANIE jest łatwiejsze niż dopełnianie. Zapis 7-4=3

Przechodząc do zadań na dopełnianie nauczyciel będzie musiał doprowadzić do opanowania przez uczniów rozwiązywania zadań na dopełnianie za pomocą odejmowania (a nie doliczania). Czyli RÓWNANIA Z OKIENKIEM 3+...=10

Poprzez rozumowanie, że odjąć b od a to znaczy co zmniejszyć a o b, będzie stanowiło trudność w rozwiązywaniu zadań na liczbach ujemnych. Aby uogólnić definicję odejmowania można zapisać a+x=b

*Dopełnianie. Punktem wyjścia będzie zadanie tekstowe. Treść zapisujemy w formie równania 3+...=10. Teraz dzieci przystąpią do szukani liczby, która napisana w „okienku” da pożądaną równość.

Chcę wiedzieć ile trzeba dodać do liczby 3 , aby otrzymać 10.

10=3+7 więc szukaną liczb a jest 7.

Zapis 7=10-3 wprowadzimy jednocześnie z uświadomieniem uczniom, że brakujący składnik może być znaleziony przez pomniejszenie liczby 10 o znany składnik 3.

*Oś liczbowa (wektorowa interpretacja)

Aby na osi liczbowej wykonać odejmowanie b od a należy:

-stanąć w punkcie a

-wykonać skok do tyłu o b jednostkę

-odczytać liczbę w miejscu „lądowania”

*Dodawanie i odejmowanie jako działania wzajemnie odwrotne

Dodawanie jakiejś liczby i odejmowanie tej samej liczby są działaniami wzajemnie odwrotnymi. Jeżeli więc dwóm liczbom a i b przyporządkowaliśmy liczbę c wykonując ich dodawanie (czyli jeżeli a+b=c) to mając c i a możemy wrócić do b, wykonując odejmowanie c-a mając zaś c i b wrócimy do a wykonując odejmowanie c-b.

11. KSZTAŁTOWANIE POJĘCIA ILOCZYNU W NAUCZANIU POCZĄTKOWYM

Mnożenie wprowadzało się dotychczas jako ”nudne dodawanie” to znaczy dodawanie równych składników. W nauczaniu matematyki istnieje „prawo bezwładności pojęcia”. Uczeń kojarzy słowo (pojęcie) przede wszystkim z takim rozumieniem, jakie poznał po raz pierwszy. Dodawanie jednakowych składników nie ułatwiło zrozumienia, że mnożenie jest odrębnym działaniem arytmetycznym. Zatem każdy iloczyn sprowadzali do dodawania.

1. Mnożenie liczb jako obliczenie pola prostokąta.

Etap1. Uczniowie znajdują liczby kratek, z których ułożone są narysowane figury.

Później dzieci mogą zadawać sobie nawzajem liczbę kratek- a drugie dziecko ma

narysować figurę.

Etap2. Ważne jest by dzieci szukały liczby ratek na dwa sposoby:

Sumując składniki (2-7) albo dodawać do siebie 7 dwójek lub dodać do siebie dwie

siódemki.

Etap3. Dzięki tym dwóm sposobom obliczenia, dzieci przyswoją własności przemienności

Mnożenia.

A przy tym będą zapisywać 7-2 lub 2-7.

Etap4. Racjonalizacja i usprawiedliwianie znajdowania iloczynów.

Wykorzystywanie znanych iloczynów do obliczania innych (trudniejszych)

Ułatwić to można przez rysowanie odpowiednich prostokątów.

5 ^. 12 = 60 7­­ ^. 12 = 5 ^. 12 + 12 + 12 = 60 + 24 = 84

Rozumowanie: Mam znaleźć liczbę kratek w prostokącie 7 na 12 .

Już wiem, że liczba kratek w prostokącie 5 na 12 wynosi 60.

Takie rozumowanie przygotuje uczniów do zrozumienia prawa

Rozdzielności mnożenia względem dodawania

2. Dwa typy zadań na mnożenie

1. zadania na znalezienie liczebności iloczynu kartezjańskiego dwóch zbiorów.

2. zadania na przeliczanie miary jednej jednostki na drugą (dzbanek, wiadro, szklanka).

ZWIĄZEK ILOCZYNU LICZB Z ILOCZYNEM

KARTEZJAŃSKIM ZBIORÓW

Na przykładzie zbioru koszulek i spodenek. Pytanie: Jakie są możliwości dobrania

rożnych zestawów spodenki-koszulka? Każdy element zbioru pierwszego występuje tyle razy, ile elementów ma zbiór drugi(i na odwrót)

Ważne jest zapisywanie wyników w tabelach, aby uwzględnić wszystkie możliwości.

ILOCZYNEM KARTEZJAŃSKIM nazywamy zbiór A x B określony jako zbiór

Wszystkich par uporządkowanych, w których na pierwszym miejscu jest dowolny element

Zbioru A, a na drugim- dowolny element zbioru B. W parze uporządkowanej nie wolno przestawiać członów.

x, y = y, x Tak więc, mnożenie kartezjańskie jest DZIAŁANIEM NA ZBIORACH.

Kształtowanie pojęcia iloczynu liczb w skrócie.

1. Manipulacja na liczmanach. Tyle razy po tyle .......

1. Dzieci w pamięci czasem dodają, ale nie powinny tego zapisywać.

2. Należy tworzyć sytuacje realistyczne, takie, które dzieci często spotykają.

3. Musi pojawić się komentarz - w jaki sposób zapisujemy czynność mnożenia (znak *).

2. Można zastosować dodawanie jednakowych składników, ale tylko wtedy, gdy dziecko ma problemy z mnożeniem. Dodawanie ma ułatwić zrozumienie mnożenia.

3. Mnożenie jako obliczanie pola prostokąta.

1. rozkład liczby na czynniki - rysowanie słoneczka (12 = 4 * 3, 12 = 2 * 6)

2. układanie chodniczka,

3. tabelki funkcyjne


argumenty y = x ⋅ 2

2	3	6	7
4	6	12	14





: 2




przepis wartości

4. nierówności (działania prawdziwe i nieprawdziwe) np. przekreśl błędne zapisy.

4. Zastosowanie iloczynu kartezjańskiego - dopasowywanie par ubrań, np. Koszulki i spodenki, tak, aby wskazać wszystkie możliwości.

12. KSZTAŁTOWANIE POJĘCIA ILORAZU W NAUCZANIU POCZĄTKOWYM.

1. Definicja ilorazu.

• dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia

• zajmujemy się działaniami w zbiorze liczb naturalnych,

• podobnie jak w dodawaniu - każdej parze liczb naturalnych odpowiada dokładnie jedna liczba naturalna.

Dzieląc odwołujemy się do mnożenia, a mnożąc mamy świadomość odwrotności tych dwóch działań. Dzielenie nie zawsze jest wykonalne w zbiorze liczb, którymi dysponują dzieci. Nie można jednak sugerować wyeliminowania różnych czynności konkretnych poprzedzających etap rachunku. Można dawać dzieciom zadania, w których bezpośrednia manipulacja jest niewygodna lub niemożliwa.

Przykłady:

• Dzieci obliczyć, ile płytek będą mogły pomalować. Wiedzą, że mają 24a na jedną płytkę potrzeba 3 litry farby.

• Jest 48 uczniów, którzy będą pisać egzamin. Trzeba je pogrupować do klas. (albo do 8 klas, albo po 6 do jednej klasy).

2. Rozwiązywanie zadań tekstowych

Hania ma 18 metrów tasiemki. Chce ją podzielić na trzy równe części. Ile m będzie miała jedna część tasiemki Hani?

Dzieci rozwiązując zadania prostsze ćwiczą i rozwijają umiejętność dzielenia, zarówno na podział, jak i na mieszczenie.

Sprawność w dzieleniu dzieci uzyskują nie tylko przez bezpośrednie wykonywanie konkretnych czynności. Przygotowaniem do opanowania pojęcia ilorazu są ćwiczenia w rozkładaniu liczby na dwa czynniki.

Na przykład: dzieci szukają różnych prostokątów zbudowanych z 12 kratek. Różne długości boków, takie samo pole prostokątów.

Rozkładać liczby na czynniki można za pomocą:

• dywanika, układając paski równych długości, składających się z różnych długości mniejszych paseczków.

• drzewka

• tabelki funkcyjne (dwukierunkowe).

Pojęcia iloczyn i iloraz powinny się pojawić w nauczaniu w krótkich odstępach czasu. Nie trzeba najpierw opanować tabliczki mnożenia, żeby dzielić. Dzielenie - odwrotność mnożenia - pomaga w nauce tabliczki mnożenia. Przy dzieleniu należy stosować zadania różne (na podział oraz na mieszczenie), w celu uniknięcia mechanicznego, bezmyślnego rozwiązywania zadań przez dzieci.

Równorzędnie należy uwzględniać aspekt kardynalny i miarowy liczby, aby uczniom uzmysłowić sens dzielenia, aby umieli wykorzystać te umiejętność w życiu codziennym. Na początku, należy pozwolić dzieciom na manipulacyjne rozwiązywanie, potem stopniowo rozszerzać zakres, aby dzieci mogły pracować na zastępnikach, schematach. Czasami dla urozmaicenia warto stawiać dziecko w sytuacjach nietypowych. Nie powinniśmy wyuczać dzieci żadnych werbalnych twierdzeń, rozwiązywać zadania na różne sposoby, uświadamiać związki między działaniami arytmetycznymi.

KOMENTARZ METODYCZNY:

Należy wyjaśnić, co to znaczy podzielić po równo, sprawiedliwie, rozdawać po jednym ciastku (podział). Dzielenie należy rozpocząć od dzielenia na podział, bo ono wyraźnie wskazuje na wykonywanie czynności dzielenia.

Podział: - wiem ile mam elementów,

• wiem na ile osób mam podzielić

• nie wiem po ile dam każdemu

Mieszczenie:- wiem ile mam elementów

• wiem po ile elementów dzielę

• nie wiem dla ilu wystarczy

Należy pamiętać aby podczas wprowadzania dzielenia uwzględnić trzy poziomy myślenia (poznawczy, opisowy, logiczny) oraz stosować naprzemiennie reprezentacje: enaktywną, ikoniczną i symboliczną.

14. KSZTAŁTOWANIE UMIEJĘTNOŚCI MIERZENIA WIELKOŚCI CIĄGŁYCH I ZWIĄZANY Z TYM ROZWÓJ POJĘCIA DŁUGOŚCI, POLA I OBJĘTOŚCI

Dzieci bardzo wcześnie stwierdzają, że jedne są większe, dłuższe, inne mniejsze, krótsze. Można stawiać dziecko wobec takich zadań praktycznych, których wykonanie wymaga uwzględnienia różnic określonych wymiarów, np. wybieranie większego łóżka dla większej lalki, mniejszej sukienki dla mniejszej lalki.

Okazuje się, że początkowo dzieci nie umieją, dokonać właściwych porównań. Np. Dzieci otrzymują dwa paski papieru jednakowej długości; stwierdzają przez dokładne nałożenie pasków, że są one jednakowej długości. Kładziemy również obydwa paski jeden pod drugim tak, aby dziecko nie miało wątpliwości, że ich długość jest jednakowa. Dajemy następnie dzieciom dwie figurki rowerzystów (żółtą i zieloną) i zapowiadamy, że obaj będą jechać po drogach: żółty rowerzysta po żółtej drodze, zielony po zielonej. Dzieci - zapytane - bez wahania twierdzą, że obaj odbyli tak samo długą drogę. Wówczas przesuwamy pasek zielony w prawo i zadajemy ponowne pytanie o długość drogi każdego z rowerzystów. Dzieci uważają, że droga zielona jest dłuższa, mimo że same poprzednio porównywały obydwa paski.

Dzieci uwzględniają tylko to, co obserwują z jednej strony, nie rozumiejąc, że wydłużenie z jednej strony jest kompensowane przez skrócenie z drugiej. Dzieci chętnie wykonują czynności mierzenia, jeśli zadania nie są dla nich za trudne. Najłatwiejsze jest porównywanie przedmiotów sztywnych (np. deseczek różnej długości, pasków kartonu) przez nakładanie obydwóch porównywalnych przedmiotów.

Gdy dzieci już nabędą umiejętność mierzenia bezpośredniego przez nakładanie lub przykładanie, można oczekiwać, że będą zainteresowane trudniejszymi zadaniami. Ciekawym doświadczeniem jest porównywanie długości pasków (np. przy wykonywaniu kolorowych szlaczków). Dzieci wyszukują odpowiednie paski ze stosu, aby dokładając je otrzymać paski tej samej długości. Zrozumienie, że jedna długość może być złożona w dwóch lub trzech mniejszych, jest ważnym krokiem w rozwoju myślenia matematycznego, prowadzi-poprzez szukanie długości brakującej-do rozumienia różnicy długości.

Dzieci, bawiąc się w takie wyrównywanie, dokonują ciekawych odkryć: im dłuższy jest jeden z pasków, tym krótszy musi być pasek dobrany dla wyrównywania go; jeśli dobieramy nie jeden, ale dwa lub więcej pasków, to im więcej pasków bierzemy dla uzupełnienia, tym muszą one być krótsze.

Mierzenie bezpośrednie przez nakładanie lub przykładanie porównywanych przedmiotów jest wstępem do mierzenia pośredniego, odwołującego się do wspólnej miary. Mamy tu do czynienia z przechodniością dotyczącą porównywania długości. Zrozumienie przechodniości następuje wówczas, gdy dzieci mają porównać długość czegoś, co w żadnym razie nie da się nałożyć lub przyłożyć bezpośrednio, np. długość dwóch kroków. Zachodzi wtedy konieczność wprowadzenia trzeciej długości, którą będzie się odmierzać obydwa kroki. Stawiamy np. pytanie: „czyj krok jest dłuższy: Marysi czy Jasia?”

Ważne jest, by dzieci uczyły się rozpoznawać, że długość może nie zmienić się mimo różnicy wyglądu. Budując np. „szyny” z patyczków jednakowej długości mogą je układać w rozmaity sposób, a następnie sprawdzić, że całość drogi pozostanie taka sama.. Dzięki takim doświadczeniom dzieci odróżniać będą długość drogi przebytej od odległości między punktem początkowym i końcowym.

Dla młodszych dzieci sprawa ta nie jest początkowo zrozumiała. Lepiej rozumieją stosunek pojęcia długości drogi do pojęcia odległości, gdy mogą układać z tasiemek różne drogi między dwoma budynkami. Odległość między domem a schroniskiem pozostaje ta sama, jednak wędrowiec przebywa drogi o różnej długości, zależnie od tego, czy wybierze drogę prostą (krótszą) czy też bardziej krętą, dłuższą.

Pojęcie pola

Błędy popełniane przy ocenie wielkości pola wynikają z braku umiejętności zestawienia stosunków, charakterystycznego dla okresu przedoperacyjnego. Zadania dotyczące wielkości pola trzeba formułować bardzo dokładnie. Np. dzieciom przedstawia się dwie jednakowe plansze przedstawiające łąki. Na każdej z nich ustawione są w różny sposób domki; liczba domków na każdej łące jest taka sama. Dzieci początkowo nie wiedzą, że po podzieleniu jakiegoś obszaru na kilka części łączne pole pozostaje niezmienione. Np. na pytanie, czy tyle samo trawy skosi się na każdej z łąk, dzieci odpowiadają negatywnie. Chociaż wiedzą, iż domków jest tyle samo na każdej łące i że będzie się kosić również naokoło każdego domku, przypuszczają, że na jednej z łąk będzie więcej trawy, bo „na tamtej domki zajmują więcej miejsca”. Dopiero, gdy na obu łąkach domki są ustawione w identyczny sposób, dzieci zaczynają rozumieć, że jakiekolwiek będzie ustawienie domków, zajmą one taki sam obszar.

Zadanie to można sformułować inaczej. Dzieci widzą makietę przedstawiającą łąkę. Kładziemy na niej brązowy prostokąt oznajmiając, że tyle przekopano, by posadzić ziemniaki. Na drugiej identycznej makiecie kładziemy taki sam prostokąt. Dzieci stwierdzają, że na obu łąkach przygotowano tyle samo ziemi i będzie można posadzić tyle samo ziemniaków. Następnie dzieci przecinają jeden z prostokątów i układają jego części na łące. Dzieci porównują wielkości pól pod ziemniaki, nakładając na siebie odpowiednie figury. W toku tych czynności dochodzą do rozumienia, że dany obszar-mimo że jest złożony z innych części, inaczej ułożonych-ma to samo pole. Ponadto dzieci stopniowo nabywają umiejętności mierzenia większego pola przez nakładanie na nie mniejszych.

16. ISTOTA I FUNKCJE ZADAŃ TEKSTOWYCH W NAUCZANIU

POCZĄTKOWYM MATEMATYKI

1. Zadanie tekstowe jest środkiem dydaktycznym

2. Ułatwia kształtowanie oraz wyprowadzanie podstawowych pojęć matematycznych z analizy realnych sytuacji życiowych.

3. Pozwala na konkretyzację i pogłębianie rozumienia tych pojęć poprzez odnoszenie ich do różnych sytuacji praktycznych, zawierających aspekty matematyczne

4. Wiąże matematykę z życiem i przygotowuje uczniów do rozwiązywania różnych problemów praktycznych.

5. Uczy analizy i rozumienia tekstów matematycznych.

6. Utrwala umiejętność wykonywania ustnych i pisemnych obliczeń.

7. Uczy twórczego posługiwania się poznanymi prawami i własnościami działań arytmetycznych.

8. Sprzyja wielostronnej aktywizacji i rozwijaniu myślenia, skłaniając uczniów do wykonywania wielu operacji myślowych oraz rozumowań logicznych.

9. Jest formą sprawdzianu operatywności wiedzy uczniów.

10. Jest materiałem poznawczym.

18. ETAPY POSTĘPOWANIA METODYCZNEGO W PROCESIE NAUKI ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ TEKSTOWYCH

1. Zadania proste i złożone.

a) Zadania proste to te, których model matematyczny zawiera tylko jedno działanie arytmetyczne, wiążące niewiadomą z dwiema innymi liczbami.

b) Zadanie złożone łańcuchowo - dadzą się w naturalny sposób rozłożyć na ciąg zadań prostych, taki, że liczba znaleziona jako wartość niewiadomej jednego zadania prostego wchodzi jako wartość dana do zadania następnego w łańcuchu.

Rozwiązanie zadania złożonego łańcuchowo wymaga:

• wyodrębnienia i ustawienia w e właściwej kolejności wchodzących w jego skład zadań.

• Kolejnego rozwiązywania tych zadań prostych.

c) Właściwe zadania złożone - charakteryzują się tym, że co najmniej dwa warunki zadania określają związki między niewiadomymi (np. tyle razy dłuższy).

d) ZADANIA NIETYPOWE opisane w pytaniu 36.

Rozwiązywanie zadań nietypowych:

• Uczy krytycznego stosunku do danych w zadaniu,

• wyrabia nawyk ich analizowania przed przystąpieniem do szukania odpowiedzi,

• przeciwdziała pospiesznemu, schematycznemu dobieraniu działań prowadzących do jednoznacznej odpowiedź.

2. Dobór i kolejność zadań tekstowych.

Wyróżniamy zadania proste: na dodawanie, na odejmowanie, na mnożenie i na dzielenie. Oraz zadania złożone: zawierają co najmniej dwa działania, są na porównywanie różnicowe lub na porównywanie ilorazowe.
Zadania należące do jednego typu mają modele matematyczne jednakowe lub bardzo podobne. Jeżeli więc uczeń prawidłowo rozpozna typ zadania i pamięta sposób rozwiązania zadań tego typu, to jego postępowanie będzie niemal automatyczne.

Rozpoznanie typu zadania jako pierwszy etap rozwiązywania - nie zmierza do doskonalenia umiejętności tworzenia modelu matematycznego.

W doborze zadań stosuje się następujące zasady:

1. zasada kolejności - należy dążyć do tego, aby dwa zadania rozwiązane jedno po drugim miały różne modele matematyczne, czyli różne sposoby rozwiązywania (by nie doszło do automatycznego rozwiązywania według wzoru).

2. Zasada kontrastowania - podawać dzieciom zadania o podobnej strukturze, ale innym modelu matematycznym. Np.: x+9=20 i 8*x=64. Aby dzieci uświadomiły sobie, że są to dwa różne zadania i trzeba wykonać dwa różne działania. Będą analizować zadania i szukać dla nich W odpowiedzi właściwego modelu matematycznego. Ma to na celu i opóźnienie dostrzegania analogii, opóźnienie automatyzacji.

Zasada wprowadzania na lekcjach zadań nietypowych - takich, do których nie daje się zastosować żaden z poznanych wcześniej sposobów rozwiązania.

?19?. UKŁADANIE, PRZEKSZTAŁCANIE I ROZBUDOWYWANIE ZADAŃ TEKSTOWYCH

Zadania tekstowe powinny być odpowiednio dobrane. Przede wszystkim powinny posiadać treść sytuacji, które mogą się zdarzyć w rzeczywistości. Poza tym powinny mieć sens - czyli rozwiązanie zadania ma czemuś służyć. Dziecko musi wiedzieć po co liczy i do czego będzie mu to potrzebne.

3. Symulacja i matematyzacja.

Przykład: Na górnej półce jest 9 książek. Ile jest na dolnej półce, jeżeli wszystkich książek
jest 20.

To zadanie można przedstawić realizując jego treści. Układając książki na półkach. Można również SYMULOWAĆ - czyli książki można zastąpić zapałkami, a zamiast układać na półkach - ułożyć zapałki na stoliku odsuwając 9 z nich. Uczeń ma za zadanie samodzielnie manipulować zapałkami (symulować rozkładanie książek na półkach), by dojść do prawidłowego wyniku.

Rozwiązywanie zadań na drodze symulacji jest możliwe w tych przypadkach, gdzie dosłowna realizacja zadania jest niewykonalna (np. gdy zamiast książek w zadaniu są krowy na pastwisku).

Można też opisywać sytuację konkretną za pomocą pojęć matematycznych. Nazywa się to MATEMATYZACJĄ, a w jej wyniku otrzymamy opis czyli model matematyczny sytuacji.

Zarówno model symulacyjny, jak i model matematyczny przedstawiają rzeczywistość tylko schematycznie - nie uwzględniając wielu szczegółów.

Symulacja lub matematyzacja tej samej sytuacji odpowiednia dla jednego zadania, może być niewłaściwa dla innego. Np. zapałki nie byłyby dobre, gdyby w zadaniach chodziło o grubość książek. A równanie x+9=20nie byłoby dobre, gdyby pytano o baśnie i o książki ilustracjami. Przy rozwiązywaniu zadań może być źle dobrany model matematyczny lub symulacyjny. Dlatego rozwiązanie powinno być sprawdzone.

Symulacja może czasem być etapem pośrednim w procesie matematyzacji. Model symulacyjny jest prostszy od sytuacji w zadaniu, zawiera mniej szczegółów. Jest też zawsze poglądowy - czyli dostępny dla wzroku i manipulacji.

Do symulacji używa się materiałów standardowych, zawsze tych samych, znanych dzieciom (żetony, klocki, patyczki). Sposób symulowania przyrostów, ubytków i podziałów jest zazwyczaj taki sam (odsuwanie, dosuwanie). Model symulacyjny ułatwia matematyzację.

4. Metody rozwiązywania zadań tekstowych.

Sposób rozwiązywania to ciąg działań arytmetycznych prowadzących do pożądanego wyniku. Każda metoda obejmuje matematyzację zadania - wyizolowanie i wyrażenie w języku matematycznym wszystkich istotnych związków między niewiadomymi i danymi.
W zadaniach występuje wiele wyrażeń, brzmiących bardzo podobnie, którym odpowiadają różne działania.

PRZYKŁAD - Do sklepu dostarczono 300 chusteczek do nosa w kompletach po 6 sztuk. Po pewnym czasie z tej dostawy zostało 13 kompletów. Ile kompletów chusteczek sprzedano?

1. ANALIZA - (redukcja) - rozpoczynamy od znalezienia głównej niewiadomej X. Co wystarczy wiedzieć, aby tę liczbę znaleźć? Wystarczyłoby znać liczbę wszystkich dostarczonych kompletów - czyli Y. Wtedy x=y-13, 300:6=50, 50-13=37, Sprzedano 37 kompletów.

2. SYNTEZA - (dedukcja) - wyciąganie wniosków z tego, co wiemy. Wyodrębniamy dane. Czego można się dowiedzieć na podstawie tych danych? Czy któreś z tych informacji zbliżają nas do rozwiązania? 300 - (13*6) = 300-78=222 (chustki zostały), 222:6 (po 6 w komplecie) = 37 (sprzedano 37 kompletów).

- Analiza szybciej prowadzi do odkrycia sposobu rozwiązania - jest bardziej skuteczna.

3. Metoda analityczno - syntetyczna (redukcyjno - dedukcyjna). Polega na kilkukrotnym przechodzeniu od analizy do syntezy i od syntezy do analizy. Metoda jest poszukiwaniem sposobu rozwiązania, a nie samego rozwiązania. Może być tak, że dzieci będą „mądrze” zgadywały, stawiając hipotezy. Mądre zgadywanie jest poprawne oraz najbardziej efektywne, ale nie jest kształcące. Nie daje możliwości stwierdzania uogólnień.

5. Metodyka nauczania rozwiązywani zadań tekstowych.

Praca nad zadaniem powinna się rozpocząć od rozbioru zadania, czyli wyodrębnienia części składowych istotnych dla poszukiwania sposobu rozwiązania. Są to:

• niewiadome - których dotyczy pytanie lub polecenie zadania oraz inne niewiadome występujące w zadaniu.

• Dane

• Związki między danymi i niewiadomymi.

Schematyzacja - dzieci mogą wynik rozbioru zadania przedstawić drzewem lub grafem strzałkowym. Drzewo ułatwi poszukiwanie sposobu rozwiązania drogą analizy. Graf dostarcza sposób przez odwrócenie dwóch strzałek i działań.

Drzewa i grafy strzałkowe stanowią dogodne operatywne i bardzo uniwersalne rodzaje takich schematów i należy uczniów zachęcać do ich stosowania.


X + 13 6 X +13







Y *6

Y 300


*

300

Symulacja - zaleca się stosowanie środków poglądowych przy rozwiązywaniu zadań tekstowych. Polega to na obrazowym przedstawieniu treści zadania z pomocą materiałów konkretnych. Jednak środki poglądowe należy wprowadzać tylko wówczas, gdy zrozumienie przez uczniów treści zadania okaże się trudne. Nie należy mylić symulacji treści z symbolicznym przedstawieniem zależności między niewiadomymi i danymi.

Trzeba koniecznie od czasu do czasu powrócić jeszcze raz do przebytej drogi, pytając np.: -od czego rozpoczęliśmy poszukiwanie sposobu rozwiązania?, jakie były propozycje sposobów rozwiązania? - jakie zadanie powstanie, gdy jedną z danych zamienimy na niewiadomą i ja je rozwiązać?
Można sugerować dzieciom, by spróbowały ułożyć zadania podobne do tych, które rozwiązywały. Co można zmienić w tym zadaniu? (aby sposób rozwiązania zadania pozostał taki sam?), jakie zadanie powstanie, gdy jedna z danych zamienimy na niewiadomą i jak je rozwiązać? Itp.

6. Metody manipulacyjne.

Manipulacyjne metody wykonywania obliczeń oraz rozwiązywania równań

i zadań tekstowych.

a) Przeliczanie: manipulując przedmiotami ułatwiamy ich przeliczanie np. poprzez przesuwanie lub dotykanie palcami (na rysunku). Można podzielić elementy na niewielkie grupy (podzbiory). Gdy mamy policzyć kółka na rysunku, dziecko przyporządkowuje każdemu kółku jeden pionek, następnie zabiera pionki i przelicza je. Bardzo ważne jest by dziecko miało już ŚWIADOMOŚĆ PRZECHODNIOŚCI RÓWNOLICZNOŚCI (m.in. stałość ilości)

Manipulacyjne metody dodawania i odejmowania:

1. Łączenie dwóch zbiorów rozłączonych: 3 patyczki i 2 patyczki, łączymy i przeliczamy.

2. Dokładanie po jednym. Mam 3, dołożę jeden-jest 4, dołożę drugi jest 5 itd. Doliczanie po kolei.

3. Zabieranie elementów. Np. z 5-elementowego zbioru zabieram dwa.

4. Liczenie „od tyłu”- Gdy zabiorę 1, będzie 4, zabiorę drugi, zostanie 3.

5. Liczenie na palcach- dzieci zapamiętują układ palców. Dziecko powinno liczyć na palcach tak długo, jak będzie mu to potrzebne i przechodzić stopniowo do liczenia w pamięci.

a)odlicza 4 palce(1,2,3,4), dolicza 3 palce mówiąc(1,2,3) patrzy ile jest(często nie musi liczyć- pamięta układ palców)

b)zapamiętuje liczbę 4 (nie pokazując palców) dolicza 3 palce mówiąc (5,6,7)- wtedy ostatni wypowiedziany liczebnik jest jednocześnie wartością sumy.

POMOCE: przy liczeniu można wykorzystać korale-liczydła (kulki modeliny lub
korale nawleczone na sznurek (każdego koloru po 5 na zmianę).

6. Zaznaczamy patyczkiem lub kartką 6 korali i doliczamy 7. Zaznaczamy kartką sumę, oddzielając resztę korali. (W liczydłach co 5 koralik inny kolor- łatwo jest odłożyć 6 korali).

7. Patyczek za 13 koralikiem . W lewo odliczamy 7 korali- odczytujemy 6, jako różnicę 13-7.

8. Dodawanie 3 i 5- takie ułożenie figury liczbowej 3 i figury 6 razem by powstała jakaś figura z zestawu.

9. Odejmowanie 8-5- szukanie figury, która złączona z figurą 5 da figurę 8.

Klocki Cuiseneire`a, monety, liczydła planszowe.

Przy większym zakresie liczbowym- wiązanie patyczków po 10. Patyczki niebieskie- jedności_ czerwone to dziesiątki. Zamienianie dziesiątek na jedności.

Rozwiązywanie prostych zadań tekstowych i równań przez symulację:

Symulacja jest czynnością- metodą rozwiązywania zadań. Wykorzystuje konkrety: patyczki, żetony, kasztany itp.

Symulacja= Modelowanie- doświadczalna metoda badania procesów socjologicznych itp. lub rozwiązywania zadań matematycznych. Polega na zbudowaniu odpowiedniego konkretnego modelu i dokonywaniu prób na tym modelu.

Zalety symulacji:

1. Czynnościowe metody są bardziej odpowiednie dla dzieci niż metody słowo-myślowe.

2. Symulacja ułatwia abstrahowanie pojęć ( uczy interpretacji wyników)

3. oswajajmy dzieci z metodami symulacji, z którymi spotkają się w życiu codziennym.

Rodzaje:

• 4+5=x=>4 Drzewka Basi, odliczamy 5 kasztanów ( drzewka Kasi) połączyło i przeliczamy= razem 9 drzewek.

• 10-3=x=>10 kasztanów, na bok odrzucamy 3 kasztany. Pozostałe przeliczyć.

• 5+x=9=>5 kasztanów- dokładamy po 1 licząc 6, 7, 8, 9. Przeliczyć te, które dokładano.

• 8-x=2=> Odliczyć 8 kasztanów( tyle aut było na początku)-odsunąć 2 kasztany- „potem zostało tyle”- Przeliczyć pozostałe (6). Dziecko samo przekształciło zadanie, tworząc równanie równoważne- łatwiejsze do obliczenia.

• x+6=6=> Ułożyć 10 kasztanów, odliczyć z nich 6 ( te ptaki przyleciały

zmiana później. Przeliczyć= 4 ptaki były na gałęzi

3+6=x

W nauczaniu początkowym celowe jest rozwiązywanie równań poprzez układanie odpowiednich zadań tekstowych i rozwiązywanie ich za pomocą konkretów, np. poprzez symulację.

7. Metody guzikowe

Przykład: Były 4 samochody. Przyjechały jeszcze dalsze i razem było 7 aut. Ile samochodów przyjechało?

Rysujemy guziczki- kółeczka. Przedstawiamy sytuację końcową (7). Wyróżniamy 4 guziczki (to, co było na początku) i otaczamy je pętlą. Pozostałe guziczki dają rozwiązanie.

Przykład:

W salonie było razem 66 samochodów osobowych i motocykli jednośladowych. Ile było samochodów, ile motocykli, jeśli wszystkie pojazdy razem miały 219 kół? (samochody maja po 5 kół)

Dzieci rozdają każdemu pojazdowi po 2 koła. Wyobrażają sobie, że mogłoby ułożyć 66 takich par. Więc potrzeba im będzie 66^.2=132 guzików. Ile zostaje: 219-132=87. 87 guzików rozdajemy po 3- samochodom (bo mają mieć po 5 kół). Wyobrażają sobie dalsze rozdawanie 87:3=19. Teraz mają sformułować, że samochodów było 19, a motocykli 66-19=47.

W symulacji częściowej, w pewnej chwili uczeń na chwilę odrywa się od konkretu, ale może do niego wrócić, gdy napotka trudności.

20. ZADANIA NA PORÓWNYWANIE RÓŻNICOWE, ICH USYTUŁOWANIE W PROGRAMIE I METODYKA ROZWIĄZYWANIA

Uczniowie robią liczne błędy przy rozwiązywaniu prostych nawet zadań tekstowych, a przede wszystkim mylili porównywanie różnicowe( o 2 więcej, o 2 mniej, o ile więcej, o ile mniej ) z porównywaniem ilorazowym ( 2 razy więcej, 2 razy mniej, ile razy więcej, ile razy mniej ).

Zgodnie z zasadą spiralnego układu materiału, pojęcia te należy przerabiać kilkakrotnie, wracając do nich przy różnych okazjach.

Porównywanie różnicowe pojawia się po raz pierwszy w kl. I, przy przerabianiu pierwszej dziesiątki: „Porównywanie liczebności danych zbiorów i stwierdzenie, o ile się różnią ( o 2 więcej, o 2 mniej ).

W kl. II należy starannie wyjaśnić oba pojęcia i przerabiać przykłady stosowania ich w łatwych przypadkach.

W kl. III powtarzamy je i stosujemy w bardziej złożonych zadaniach tekstowych.

Główne trudności można podzielić na pojęciowe i językowe.

Trudności pojęciowe

Trudności te mają charakter matematyczno-psychologiczny. Główna trudność polega na tym, że w porównywaniu różnicowym mowa jest nie o czynnościach, lecz o relacji, o związku między wielkościami.

W zadaniu:

W ogrodzie rosną 4 jabłonie, a za płotem rośnie jeszcze 6 jabłoni. Ile jest ich razem?

Sytuacja jest dla ucznia bardziej zrozumiała niż przy sformułowaniu równoważnym:

W ogrodzie rosną 4 jabłonie, a za płotem o 2 więcej niż w ogrodzie. Ile jest razem jabłoni?

Z tego powodu pożądane jest, by w okresie zaznajamiania się z porównywaniem różnicowym uczniowie przedstawiali schematycznie daną sytuację i wyjaśniali, że o 2 więcej - to tyle samo i jeszcze 2.

W razie zauważenia trudności pojęciowych należy dać dzieciom łatwiejsze zadania, w których jest wyraźne następstwo czasowe, np. w ogrodzie posadzono 4 jabłonie, a za płotem posadzono najpierw tyle samo jabłoni co w ogrodzie, a potem jeszcze dwie dalsze.

Druga trudność polega na tym, że zadania dotyczące porównywani różnicowego wymagają nieraz odwracania relacji, co wiąże się z odwracalnością operacji umysłowej.

Uczeń powinien zrozumieć, że jeżeli za płotem jest o 2 jabłonie więcej, to w ogrodzie jest o 2 jabłonie mniej.

W tym przykładzie nie można odwołać się bezpośrednio do ubywania, gdyż mówiło się o sadzeniu jabłoni, a nie o wycinaniu jabłoni. Uczeń musi więc odwrócić sytuację w myśli. Można mu to ułatwić zmieniając fabułę: Za płotem było 6 jabłoni, a w ogrodzie tyle samo, ale potem 2 jabłonie w ogrodzie wymarzły w czasie zimy.

Określenie porównywanie różnicowe w szkole oczywiście nie używamy - to termin metodyczny dla nauczyciela.

Dział porównywanie różnicowe podzielony jest na 2 części. W 1 części znajdują się zadania typu „o 3 więcej” i „o 3 mniej”. 2 część dotyczy zadań w pewnym sensie odwrotnym, dane są dwie wielkości: pytamy: „o ile więcej”, „o ile dłuższy”.

Celem jest uzmysłowienie uczniom, że zwrot „o 2 więcej” znaczy „tyle samo i jeszcze 2”. Należy uczniom zwrócić uwagę na charakterystyczne dla porównywania różnicowego słowo „o”, które nieraz mylą ze słowem „razy” tzn. „o 3 więcej” mylą z „3 razy więcej”.

I .

1) Tabelki ze strzałkami, zw. w literaturze metodycznej tabelkami funkcyjnymi. Znane są uczniom z kl. I . Nauczyciel powinien przerysować na tablicy pierwszą z nich, wypełnić ją wspólnie z uczniami. Strzałka u góry pokazuje, że do kolejnych liczb znajdujących się w lewej kolumnie tabelki należy stale dodawać tę samą liczbę 4. W górnym wierszu do 9 dodaje się 4; wynik 13 został już wykropkowany w prawej kolumnie jako przykład. Podobnie w drugim wierszu do 7 dodaje się 4 i wpisuje wynik 11. W ten sam sposób postępuje się dalej. Wyniki należy wpisywać w okienka po prawej stronie tabelki.

W drugiej tabelce trzeba stale odejmować liczbę 6, a więc mamy kolejno:

13-6=7, 14-6=8, 11-6=5

2) Ważenie - łączące się z porównywaniem różnicowym. Jest tu poglądowe wyjaśnienie sensu zwrotów typu: „o 2 kg cięższy”. Zadania proste, a potem zadania odwrotne, a na koniec wprowadzenie w zadanie złożone.

3) Zadania na porównywanie wieku - jest to szczególnie trudne, gdyż wiek jest pojęciem abstrakcyjnym dla dzieci, nie ma konkretnych czynności do wykonania. Nauczyciel powinien też dać jakieś proste zadanie nie tylko ze słowami starszy, młodszy, lżejszy, cięższy, ale też tańszy, droższy, szerszy, węższy, np. linijka jest o 4 cm szersza.

II.

1. Pytać będziemy teraz: „o ile więcej....( lub o ile mniej...) a także „o ile większy, dłuższy, szerszy, grubszy, głębszy, cięższy, starszy, droższy”.

Uczniowie wykonują czynnościowo rysując odpowiednią liczbę prostokątów.

Treści programowe

Kl. I

• używanie określeń: „tyle samo”, „więcej”, „mniej”.

Kl. II

• porównywanie różnicowe typów: „o 3 więcej”, „o 3 mniej”, „o ile więcej?”, „o ile mniej?”

• porównywanie różnicowe, np. „dłuższy o 20 cm”, „o ile kilogramów lżejszy?”, „o 3 lata starszy”.

Kl. III

• porównywanie sum i różnic ( obserwacje typu: gdy mniej odejmujemy, to więcej zostaje )

• powtórzenie porównywania różnicowego, w tym łatwe zadania złożone

20. ZADANIA NA PORÓWNYWANIE ILORAZOWE, ICH USYTUOWANIE W PROGRAMIE I METODYKA ROZWIĄZYWANIA

* 2 typy zadań na porównywanie ilorazowe:

1. „tyle razy więcej / tyle razy mniej (wyższy/niższy, mniejszy/większy, droższy/tańszy itp.)”

2. „ile razy więcej? / ile razy mniej? (wyższy/niższy, mniejszy/większy, droższy/tańszy itp.)”

* usytuowanie w programie:

klasa III - treści: „Porównywanie ilorazowe („3 razy większy”, „5 razy więcej”, „4 razy mniejszy”, „ile razy więcej?”, „ile razy mniejszy?” itp.); kontrastowanie z porównywaniem różnicowym.”

* metodyka rozwiązywania:

• by odróżnić porównywanie ilorazowe od różnicowego, należy zestawić je ze sobą i w ten sposób zaobserwować podobieństwa i różnice,

• zwroty: dwukrotny, trzykrotny itd.

• zadania wymagają odwracania relacji (odwracania operacji umysłowej): „jeśli tu jest 2 razy więcej, to tam jest 2 razy mniej” - ilustracja na grafie lub w tabelce,

• zadanie: Jacek kupił 3 autka za 42zł: małe, duże i do nakręcania. Duże było 2 razy droższe od małego, do nakręcania 2 razy droższe od dużego. Jacek zapomniał ceny autek. Czy może je odtworzyć?

Rozwiązanie:




- cena małego autka




M:





D: (duże 2 razy droższe od małego)







N: (nakręcane 2 razy droższe od dużego)

Wszystkie kosztowały 42zł:










42zł



------------------------------------------------ -------

42zł : 7 = 6zł




6zł ( ) - cena małego autka

cena dużego: 2 x 6zł = 12zł

cena nakręcanego: 2 x 12zł = 24zł

Odpowiedź: Jacek może odtworzyć ceny autek: małe kosztowało 6zł, duże 12zł, a nakręcane 24zł.

22. WIADOMOŚCI I UMIEJĘTNOIŚCI PRAKTYCZNE W NAUCZANIU POCZĄTKOWYM MATEMATYKI, ZAKRES TREŚCI

I UMIEJSCOWIENIE W PROGRAMIE

MIERZENIE DŁUGOŚCI

Klasa I TREŚCI PROGRAMOWE

Wprowadzenie w sens pomiaru długości( np. kija, stołu, klasy) oraz odległości ( między przedmiotami itp.) przez odmierzenie krokami, stopami, patyczkami itp. Wymierzanie tego samego przedmiotu różnymi miarkami. Porównywanie długości przez bezpośrednie przykładanie przedmiotów do siebie i przez porównywanie ich z trzecim przedmiotem. Mierzenie z wykorzystaniem podziałki centymetrowej. ( Metr jako 100 centymetrów).

Zaczynamy od mierzenia przedmiotów np. sali- krokami, ławki- dłońmi, ołówkiem itp. Później wprowadzamy mierzenie przy pomocy linijki. Wprowadzamy jeden metr jako 100 centymetrów. Mierzenie jako wielokrotne przykładanie tej samej miary lub na zasadzie „ ile się zmieści”.

Klasa II TREŚCI PROGRAMOWE

Ćwiczenia wspomagające kształtowanie pojęcia liczby w aspekcie miarowym. Użycie podziałki centymetrowej. Porównywanie długości. Metr jako 100 centymetrów.

Klasa III TREŚCI PROGRAMOWE

Mierzenie długości. Metr, centymetr, milimetr. Kilometr( objaśniamy na przykładach z danej miejscowości). Obliczanie długości linii łamanych, w szczególności obwodów prostokątów i trójkątów.

Odnajdywanie położenia różnych obiektów na planach miast i osiedli. {Wyznaczanie odległości na planie przez przykładanie danego odcinka do narysowanej podziałki. Określanie skali w postaci np. „ 1 cm na mapie to 500 m w terenie” ( bez używania określeń typu „skala 1 : 3”, „ 2 : !” itp.) }

Wprowadzenie zadań tekstowych na obliczanie długości w cm i mm. Zamiana centymetrów na milimetry i odwrotnie.

MIERZENIE ILOŚCI PŁYNU

Klasa I TREŚCI PROGRAMOWE

Mierzenie ilości wody itp. ( np. za pomocą szklanki), mierzenie pojemności naczyń przez wlewanie do nich wody. Ćwiczenia wspomagające zrozumienie tego, że po przelaniu płynu do naczynia o innym kształcie ( lub do kilku naczyń ) ilość płynu pozostanie ta sama.{ Litr}.

Nauczyciel powinien koniecznie pokazać klasie litrową butelkę . Uświadamia uczniom, że litr to tyle, co mieści się tej butelce, a 10 litrów to tyle, ile się mieści w 10 takich butelkach.

Klasa II TREŚCI PROGRAMOWE

Przypomnienie Mierzenia pojemności naczyń ( np. za pomocą szklanki): litr.

Rozwiązywanie zadań tekstowych, ( Butelka litrowa, półlitrowa, ćwierćlitrowa). Porównywanie ilości płynu.

Klasa III TREŚCI PROGRAMOWE

Litr.{ Mililitr , litr jako 1000 ml}.

Zadania tekstowe na porównywanie ilości płynu. Typu gdzie jest więcej: 225ml, 1\4 l1\5l.

WAŻENIE

Klasa I TREŚCI PROGRAMOWE

Ważenie ( mierzenie masy). Równowaga na wadze szalkowej, użycie odważników. Kilogram.

Przed omawianiem ważenia należy odwołać się do doświadczeń, jakie dzieci miały z równoważnią. Wskazane jest pokazanie dzieciom prawdziwej wagi. Kilogram jest wprowadzany przy rozszerzeniu zakresu liczbowego do 100. Pojęcia lżejszy- cięższy.

Klasa II TREŚCI PROGRAMOWE

Praktyczne ważenie przedmiotów ( szczególnie pożądane jest wykorzystanie wagi szalkowej). Kilogram jako 100 dekagramów,

Uświadomienie uczniowi, że po zamianie towaru ważonego z odważnikiem ( zmiana miejsc) waga pozostaje taka sama.

Klasa III TREŚCI PROGRAMOWE

Kilogram, dekagram, gram. Tona, kwintal. Brutto, netto, tara.

Uzmysłowienie dziecku , że przy mierzeniu ciężkich przedmiotów posługujemy się większymi jednostkami, tj.: 1 kwintal- 100 kilogramów, 1 tona- 1000 kilogramów. 1 dekagram jako 10 gramów. Zadania tekstowe dominują.

CZAS

Klasa I TREŚCI PROGRAMOWE

Zaznajamianie ze zjawiskiem upływu czasu ( obserwacja zegarów, klepsydry). Odczytywanie godzin na zegarze. Kolejność dni tygodnia.

Prezentacja różnych zegarów, , odczytywanie najpierw pełnych godzin, nastawianie zegarów na daną godzinę,

Klasa II TREŚCI PROGRAMOWE

Godziny, minuty. Odczytywanie zegara. Obliczenia godzinowe bez przekraczania progu dwunastkowego i z przekraczaniem.

Kolejność dni tygodnia, miesięcy. Pisanie dat. Podział na kwartały, pory roku. Pojawiają się pojęcia północ, południe, doba, dzień.

Klasa III TREŚCI PROGRAMOWE

Godziny, minuty, sekundy. Odczytywanie zegara w systemie 12- godzinnym i systemie 24- godzinnym. Obliczenia zegarowe.

Utrwalenie znajomości kolejności miesięcy i odpowiadających im znaków rzymskich. Pisanie dat rozmaitymi sposobami. Zadania związane z kalendarzem. Stulecia.

22. MIERZENIE CZASU. OBLICZENIA ZEGAROWE
I KALENDARZOWE - RODZAJE ĆWICZEŃ I USYTUOWANIE
ZE WZGLĘDU NA POZIOM TRUDNOŚCI

Kl I .

* Uchwycenie poczucia upływu czasu.

* Rodzaje zegarów : tarczowe(wskazówkowe), elektroniczne, klepsydra, słoneczne, świecowe, wodne.

Różne rodzaje tarczy zegarów.

* Odczytywanie godzin na zegarze - tylko pełne godziny.

2 rodzaje ćwiczeń:

1. odczytaj, która jest godzina

2. nastaw zegar na daną godzinę (2 wskazówki : mała-godzinna, długa-minutowa, ich ustawienie)

* Kolejność dni tygodnia

• zegar tygodniowy

* Miesiąc, rok, tydzień - to pojęcia niejednoznaczne, często mylą się dzieciom.

Zwracamy uwagę, że tydzień to np. od poniedziałku do poniedziałku, albo od dowolnego dnia 7 dni.

* Ucząc godzin, ile mija godzin, pokazujemy małą wskazówkę, ile mija godzin- odstępy między godzinami. Np. od 8 do 12-tej to 4 godz.

* Częste błędy:

1)liczenie wraz z daną godziną o jedną godzinę za dużo np. od 8 do 12 to 8,9,10, 11,12 czyli 5 godz.

2) liczenie liczb między liczbami na zegarze np. od 8 do 12 to 9, 10, 11, czyli 3 godz.

* Przekraczanie progu dwunastkowego w obliczeniach

Kl. II

• Cyfry rzymskie- miesiące, kolejność miesięcy

• Podział na kwartały ( 3 miesiące)

• Podział na pory roku

• Pisanie dat , poprawne odczytywanie dat np. 5.05.2004 (piąty maja, a nie piąty maj!), sposoby zapisywania: 5.05.2004; 05.05.2004; 2004-05-05(wydruki komputerowe), 5 V 2004, 5 maja 2004:

• Sąsiadujące miesiące

• Zestawieni: 14.00 to 2 po południu ,itd.

• Północ (12 w nocy, 24 godz. 0 godz. ) południe 12.00

• Doba- 24 godziny

• Przekraczanie progu 12 , ile czasu upływa od 11 do 2 po południu,

Rozbijanie progu 12 np. od 8 do 2 po południu, to: 8 - 12 czyli 4 godz. i 12 - 2 czyli 2 godz., 4+2 to 6 godzin

• Minuta , 1 godzina- 60 minut

• Poczucie ile trwa minuta, różne ćwiczenia np. ciche liczenie 1 - 60, przez 1 min. nic nie mówimy , na 1 minutę zamykamy oczy.

• Pokazywanie na zegarze godzin z minutami

• Wpół do 8 , za kwadrans

• Elektroniczne odczytywanie

• Zegar tygodniowy, cykliczmość dni tygodnia

• Jutro, pojutrze, wczoraj, przedwczoraj.

Kl. III

Godziny, minuty, sekundy. Odczytywanie zegara w systemie 12- godzinnym i systemie 24- godz. Obliczenia zegarowe.

Utrwalanie znajomości kolejności miesięcy i odpowiadających im znaków rzymskich. Pisanie dat rozmaitymi sposobami. Zadania związane z kalendarzem. Stulecia.

25. PROPEDEUTYKA ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ
W KLASACH I - III

Wstęp:

Rozwiązując zadania matematyczne można często ułatwić sobie pracę odpowiadając na pewne ogólne pytania. Co jest niewiadome? Co jest dane? Jaki jest warunek? W zadaniach typu geometrycznego jest to zazwyczaj warunek na punkt lub układ punktów, w zadaniach algebraicznych warunek ten daje się zazwyczaj zapisać w formie równania, nierówności lub układu równań czy nierówności. Umiejętność rozwiązywania równań jest warunkiem koniecznym do rozwiązywania dużej części zadań matematycznych.

Uczeń powinien rozumieć równanie jako „warunek na liczbę”. Rozwiązując je dziecko poszukuje takich liczb, które spełniają dany warunek, tzn. takich, że po postawieniu ich za niewiadomą otrzyma zadanie prawdziwe. Na przykład mając równanie: 17-y = 12

Dziecko może podstawić różne liczby za y i obliczać za każdym razem różnicę 17-y; w ten sposób stwierdzi ono, że dla y=5 otrzymuje się równość 17-5 = 12. A więc liczba 5 jest rozwiązaniem równania.

Zapisywanie równań w klasach początkowych:

W dawniejszym programie klas początkowych równania występowały w postaci zadań typu:

+3=10. Służyły one pogłębieniu rozumienia związków między działaniami i były pewną formą ćwiczeń rachunkowych, nie miały natomiast zastosowania jako matematyczne narzędzie do rozwiązywania zadań tekstowych. Obecnie znacznie wcześniej wprowadza się równania, stosuje się również różne sposoby zapisu równań do rozwiązywania zadań tekstowych. Przy wprowadzeniu pierwszego równania zapisanego z użyciem symbolu literowego mogą wystąpić pewne trudności. W podręcznikach do kl. I używa się litery x na oznaczenie niewiadomej, ale warto stosować również inne litery. Ważne jest aby wcześniej wprowadzić tą literę x, w celu uniknięcia kolejnych trudności. Dzieci nie poznają litery x na lekcjach języka polskiego, więc nie umieją jej przeczytać, jest one dla nich dziwne i tajemnicze. Literę x należałoby wprowadzić poprze analizę np. takich słów jak: taxi, ixi, dixi, silu, które są dzieciom znane.

W klasie I równanie można zapisywać różnymi sposobami.

1. W formie równości np.

x+2=8

+2=8

?+2=8 W każdym z tych przypadków równanie jest warunkiem na szukaną liczbę

…+2=8

2.Równanie można też zapisać za pomocą grafu.

Umowa dotycząca odczytywania grafu jest następująca: czytamy zawsze zgodnie ze zwrotem strzałki, w tym przypadku od lewej do prawej strony.

Liczby i nie wiadome wpisujemy w kwadraciki, kółeczka czy inne figury lub piszemy na początku i na końcu strzałki.

3. Równanie można też przedstawić za pomocą drzewka:

Tutaj liczby, na których wykonuje się działania, znajdują się ,, na gałązkach”, a wynik zaś jest na dole . Liczby występujące w danym działaniu odczytujemy od strony lewej do prawej.

W przypadku grafów i drzewek bardzo ważne jest przestrzeganie umów dotyczących znaczenia liczb wpisanych w kwadraciki. Uczeń musi zdawać sobie z tego sprawę.

Zgodnie ze wskazówkami metodycznymi do programu, równania w klasie i powinny mieć charakter propedeutyczny, służyć pogłębianiu rozumienia związków między działaniami, a w przypadku zadań tekstowych mają być użyte tam, gdzie ich zastosowanie ułatwi uczniowi pracę. W podręcznikach do klasy I równania z niewiadomą pojawiają się w związku z łatwymi zadaniami klasowymi. Okazuje się, że uczniowie zadania te rozwiązują w pamięci i w ten sposób zamykają sobie drogę do układania równań, do poszukiwania drogi ułatwiającej rozwiązywanie zadania. Pierwsze równanie pojawić się powinno w wyniku naturalnej potrzeby zapisania treści zadania w postaci warunku na niewiadomą. Jeśli nie nadarzy się do tego okazja przy zadaniach z życia, możemy posłużyć się zadaniem tekstowym na temat liczb.

Pierwsze równanie może pojawić się np.

a) w związku z rozwiązywaniem zadania typu:

Jakaś nieznana nam liczba mówi do liczby 9: ,, Jesteś ode mnie większa o 3”. Jaka to liczba? Uczeń zapisze treść zadania za pomocą grafu, obierając wcześniej literę np. x na oznaczenie niewiadomej.

Może on również zapisać treść zadania w formie:

x + 3 = 9

Po zapisaniu treści zadania, nauczyciel zapyta: ,, Co powie liczba 9 do liczby x?” Odpowiedź ucznia powinna brzmieć: ,, Liczba 9 powie: jesteś ode mnie mniejsza o 3”. Odpowiedź swoją uczeń zilustruje rysując strzałkę odwrotną,

Otrzymując równanie: 9-3=x, z którego oblicza, że rozwiązaniem jest liczba x=6.

b) Podczas zabawy w zgadywankę, jeden z uczniów ma pomyśleć jakąś liczbę mniejszą od 7. Następnie do pomyślanej przez siebie liczby ma dodać liczbę 3 i podać wynik. Nauczyciel proponuje tę pomyślaną liczbę oznaczać x. Sytuację te można więc opisać za pomocą równania:

x +3 = 10

... + 3 = 10

Rozwiązywanie równań za pomocą konkretów

Równania w klasach początkowych można rozwiązywać stosując następujące sposoby:

1. Poszukiwanie rozwiązania oparte na znajomości działań, wsparte doświadczeniem na materiale konkretnym, jak np. ,, kolorowych liczbach”, goplanie, liczydle, modelu osi liczbowej itp.

2. Zastosowanie grafów strzałkowych.

3. Wnioskowanie z prawej redukcji.

Rozwiązując równanie na przykład 5 + x = 10, dziecko może metodą prób i błędów odgadnąć, że liczba 5 spełnia to równanie , a następnie upewnić się, czy rozwiązanie jest dobre, podstawiając za x liczbę 5.

Niektórym dzieciom potrzebne będzie odwołanie się do konkretu np. liczby w kolorach, geoplan , rysunek osi liczbowej, liczydło itp.

W trakcie nauki dostarczamy uczniowi przykładów równań równoważnych. Na tym poziomie nie potrzebne jest wprowadzanie nazwy ,,równania równoważne”.

Przykład wprowadzania równań równoważnych:

Klasę dzielimy na grupy, przy czym każda grupa rozwiązuje inne równanie.

Dzieci rozwiązują równania z niewiadomym drugim składnikiem np. 1 grupa- równanie 2 + x = 7, 2 grupa- równanie 5 + x = 10, 3 grupa- równanie 3 + x = 8.

Po samodzielnym rozwiązaniu równań, w poszczególnych grupach może odbyć się rozmowa na temat rozwiązań równań wszystkich grup. Okaże się przy tym, że liczba 5 jest rozwiązaniem każdego z danych równań. Dzieci uzasadniają to wskazując na równości:

2 +5 = 7, 3 + 5 = 8, 5 + 5 = 10

Każda z grup miała inne równanie, ale rozwiązania wszystkich grup są te same. W ten sposób dzieci w konkretnej sytuacji spotykają się z równaniami równoważnymi.

Jednym z celów wprowadzenia grafów jest uwypuklenie związków między działaniami wzajemnie odwrotnymi. Między innymi chodzi nam o dostarczenie uczniowi środków poglądowych związanych z porównywaniem różnicowym.

„jesteś ode mnie o 5 większa”,

„jesteś ode mnie o 5 mniejsza”,

oraz porównywaniem ilorazowym

„jesteś ode mnie 2 razy większa”,

„jesteś ode mnie 2 razy mniejsza”.

Zapewne przyczyni się to do wyeliminowania błędnego przekształcenia równania np. 3 x =15 na równanie x = 15 - 3.

Graf, który umożliwia dziecku rozwiązanie równania bez użycia konkretu, może pojawić się w związku z zabawą w : mówiące liczby” (opisana wcześniej).

Należy pamiętać, że graf to świetny środek dydaktyczny, którego nie należy nadużywać, gdyż dzieci rysują strzałki bezmyślnie i rozwiązują równania mechanicznie.

Podstawą trzeciego z wymienionych na początku sposobów rozwiązywania równań jest prawo redukcji. Mówi, że jeżeli a + c = b + c, to a = b; przykład x + 2 = 10

Analizując stwierdzamy, że po lewej stronie występuje suma jakiejś nieznanej liczby i liczby 2. Wobec tego podobną sumę chcemy mieć po stronie prawej. Uczeń wie, że 10 rozkłada się na 8 i 2, wiec może zapisać x + 2 = 8 + 2. Stąd porównując obie strony, wyciąga wniosek, że x = 8.

Metoda guziczkowa:

Wykorzystuje się ją do rozwiązywania zadań typu drugiego (mających niewiadomą na drugim miejscu), daje użycie schematu graficznego, nazwanego przez nas guziczkowy.

Metoda ta naśladuje rozwiązanie manipulacyjne, czyli symulację za pomocą konkretnych przedmiotów, np. równanie 4 + x = 7 można rozwiązać następująco: Były 4 samochody, przyjechały jeszcze dalsze i razem było 7. Ile samochodów przyjechało? Rozwiązujemy to rysując dla uproszczenia guziczki zamiast samochodów.

Rozwiązywanie równań o dwóch działaniach za pomocą grafów.

Program matematyki przewiduje obok prostych równań również bardziej złożone równania o dwóch działaniach w klasie 3, a mianowicie 3x + 4 = 19, 5x - 3 = 17 itp.

Najbardziej naturalnym sposobem rozwiązania takich równań będzie zastosowanie grafu założonego ze znanych i wcześniej stosowanych grafów strzałkowych. Na przykład równanie 3x + 4 =19

Uczeń zapisze wychodząc od x i rysując strzałki „3” oraz „+4”

Następnie narysuje strzałkę oznaczającą działanie odwrotne do „+4” i obliczy wartość 3x. Później zaś narysuje strzałkę odwrotną do „3” i znajdzie x. Korzystając z tego grafu uczeń odczytuje, że rozwiązaniem równania 3x + 4 = 19 jest x = 5.

26. PROCES KSZTAŁTOWANIA POJĘĆ GEOMETRYCZNYCH: ETAP WZROKOWY, ETAP OPISOWY I ETAP LOGICZNY

Poziomy myślenia van Hilego:

Na poziomie wzrokowym rozpoznajemy figury wg. kształtu; traktujemy je całościowo (bez wydzielania ich poszczególnych cech) oraz rozróżniamy na podstawie wyglądu zewnętrznego ich modeli. Tylko kształt i tylko on decyduje o tym, czy mamy do czynienia z daną figurą (danym jej modelem); nie dostrzegamy innych jej cech np. boków, wielkości. Wszystkie informacje na jej temat czerpiemy z obserwacji rzeczywistości poprzez wizualne postrzeganie, działanie i posługiwanie się przedmiotami materialnymi. Wypowiedzi potoczne. Dziecko np. potrafi wskazać przedmiot o kształcie prostokąta, ale nie potrafi uzasadnić dlaczego tak sądzi.

Ćwiczenia:

1. Naucz. przygotowuje dla każdej pary uczniów woreczek z: klockami, pudełkami, kartonikami, patyczkami, ramkami. Następnie proponuje dzieciom „Grę w dobieranie kształtów”. Jeden uczrń z zamkniętymi oczami wybiera z woreczka przedmiot. Jego kolega, także nie patrząc, rozpoznaje dotykiem jego kształt i wybiera z woreczka inne modele tego samego kształtu.

2. Nauczyciel proponuje dzieciom narysowac ściany sali szkolnej wraz z tablicą. Na rysunku należy umieścić też godło i inne obrazki zawieszone na ścianie. Każdy przedmiot uczniowie przedstawiają innym kolorem. Po wykonaniu pracy dzieci opowiadają, jak wykonały zadanie, jak wyglądają te przedmioty.

Na poziomie opisowym następuje analiza poznawanych figur, w rezultacie której odkrywa się ich własności. Już nie kształt decyduje, czy mamy do czynienia z badanym obiektem, ale jego własności. Figury opisujemy (nie definiujemy) poprzez ich własności odkrywane w toku różnorodnych eksperymentów. W wypowiedziach pojawiają się już nazwy własności figur, ich części ora symbole słowne.

Uczeń powie np. trójkąt ma trzy boki, trzy wierzchołki, nazywa się on ABC. W odpowiedzi na pytanie czy trójkąt jest prostokątem? Odpowie: nie, bo trójkąt ma trzy boki , prostokąt cztery.

Ćwiczenia:

1. Uczniowie dysponują patyczkami równej długości. Naucz. formułuje zadanie: zbuduj kilka prostokątnych ramek używając patyczków. Ćwiczenie wykonaj na kratkowanej kartce. Sprawdż czy potrafisz to zrobić z 3, 4, 6, ,7 patyczków. Powiedz dlaczego nie zawsze mogłeś to zrobić.

2. Przedstaw na rysunku kwadrat. Połącz każde dwa jego wierzchołki posługując się linijką.Wytnij ten model, a następnie przetnij wzdłuż narysowanych linii. Porównaj otrzymane części przez nakładanie. Ułóż z nich różne modele prostokątów.

Na poziomie logicznym następuje logiczne porządkowanie własności figur i samych figur. Dostrzegamy, że pewne własności są ważniejsze, wystarczy je znać, aby inne z nich otrzymywać. Nie trzeba mówić, że czworokąt ma 4 kąty, 4 boki, 4 wierzchołki, ale wystarczy powiedzieć, że ma 4 boki (dwie pozostałe własności stąd już wynukają). Mniej istotne stają się własności, ważniejsze zaś związki między nimi. Język ma charakter abstrakcyjny.

Uczeń odkrywa relacje między bokami, kątami i punktami w figurach.

Ćwiczenia:

1. Skonstruuj prostokąt mając dane: jedną jego przekątną oraz kąt, jaki tworzą przekątne tego prostokąta.

2. Zbadaj , który z prostokątów o danym obwodzie ma największe pole.

Dla rozwiązania tego typu zadań nie wystarczy zwykłe przypomnienie własności prostokąta. Uczeń musi uświadomić sobie zależności między przekątnymi, kątami, bokami; nie może skupić swojej uwagi na konkretnej figurze, jej przedstawieniu rusunkowum czy modelu. Rozważane obiekty i ich własności musi traktować abstrakcyjnie.

---