estymacja i weryfikacja modelu, Ekonometria


Estymacja i weryfikacja modelu

Na etapie estymacji i weryfikacji modelu należy oszacować parametry modelu ekonometrycznego, a także musimy zbadać jego jakość, zbadać czy model jest statystycznie istotny, koincydentny, czy nie występuje w nim efekt katalizy itp.

  1. Szacowanie parametrów modelu przed standaryzacją

Nasz model przed standaryzacją przyjmuje postać:

Y = α0Z0 + α1Z1 + α2Z2 + α3Z3 + ξ , gdzie

Z0 = 1 dla wszystkich okresów.

Macierz Z ma obecnie postać:

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
Z = 0x01 graphic

Parametry strukturalne α0, α1, α2, α3 modelu szacujemy metodą najmniejszych kwadratów.

Jeżeli przez ai oszacowanie parametru αi, i = 0,1,...,k natomiast A = [ai](k+1)×1 jest wektorem oszacowań parametrów modelu uzyskanym metodą najmniejszych kwadratów, to chcąc wyznaczyć wektor A należy rozwiązać układ równań

ZTZA = ZTy

Układ ten posiada dokładnie jedno rozwiązanie

A = ( ZTZ )-1ZTy

Układ ten można rozwiązać przy pomocy wzorów Cramera, obliczając macierz odwrotną do macierzy ZTZ, lub też wykorzystując macierz brzegową postaci

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
ZTZ ZTy

0x08 graphic
A =

0x08 graphic
0x08 graphic
-I k+1 0 (k+1)×

My wykorzystamy ten trzeci sposób.

Mając daną macierz brzegową

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic
A =

0x01 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

dokonujemy przekształceń elementarnych w wyniku których macierz ZTZ przejdzie w macierz górną trójkątną z jednostkową główną przekątną, natomiast macierz (-I k+1) w macierz zerową, wówczas w miejscu wektora 0 (k+1)×1 mamy wektor A, który wynosi

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
A = 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

  1. Szacowanie parametrów modelu po standaryzacji

Nasz model po standaryzacji przyjmuje postać:

Y = β2Z2 + β3Z3 + β5Z5 + ξ

Wektor B = [bi] k×1, będący wektorem oszacowań parametrów modelu po standaryzacji, możemy obliczyć rozwiązując następujące równanie

B = R-1R0,

gdzie ( R, R0 ) jest parą korelacyjną charakteryzującą model

Y = β2Z2 + β3Z3 + β5Z5 + ξ

Znak oszacowania parametru stojącego przy i-tej zmiennej objaśniającej modelu przed standaryzacją musi być taki sam jak znak oszacowania parametru przy zmiennej w modelu określonym przez parę ( R, R0 ).

Podobnie jak w poprzednim przypadku do obliczeń wykorzystamy odpowiednią macierz brzegową o postaci

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

R R0

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
B =

-Ik 0 k×1

0x08 graphic
0x08 graphic

Nasza macierz brzegowa wygląda następująco:

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic
B =

0x01 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

Po dokonaniu odpowiednich przekształceń elementarnych uzyskałyśmy wektor

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
B = 0x01 graphic

  1. Wyznaczanie średnich błędów oceny oszacowań parametrów strukturalnych modelu przed standaryzacją

Aby wyznaczyć średnie błędy oceny oszacowań ai parametrów αi, i = 0,1,...,k, które będziemy oznaczać symbolem S(ai) posłużymy się wzorem:

S(ai) = 0x01 graphic
, gdzie

d i+1,i+1 , i = 0,1,...,k oznacza (i +1)-szy element diagonalny macierzy wariancji kowariancji D2(A), przy czym

D2(A) = S0x01 graphic
(ZTZ)-1

natomiast S0x01 graphic
oznacza oszacowanie wariancji składnika losowego ξ modelu i jest równe:

S0x01 graphic
= 0x01 graphic
,

gdzie :

n-(k+1) - liczba stopni swobody

n - liczba obserwacji

k - liczba zmiennych objaśniających w modelu

U - to wektor reszt modelu, których suma składowych powinna być

równa 0

U = y - y* ,

gdzie

y* to wektor wartości teoretycznych zmiennej objaśnianej Y, przy czym suma składowych wektora y* musi być równa sumie składowych wektora y. Wektor y* możemy obliczyć z formuły

y* = Z ⋅ A ,

gdzie

A to wektor oszacowań parametrów modelu przed standaryzacją, który dla naszego modelu wynosi

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
A = 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
y* = 0x01 graphic
0x01 graphic
= 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

Stąd ustalamy wektor reszt U

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
U = y - y* = 0x01 graphic

Przy liczbie obserwacji n = 10 oraz liczbie zmiennych objaśniających k = 8, ustalamy liczbę stopni swobody n - ( k + 1 ) = 6.

Obliczając macierz UTU

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
UTU = 0x01 graphic
możemy wyznaczyć oszacowanie wariancji

składnika losowego modelu S2ξ

S2ξ = 0x01 graphic

Do wyznaczenia macierzy wariancji kowariancji D2(A) potrzebna jest nam jasna macierz ( ZTZ )-1, którą możemy uzyskać korzystając z macierzy blokowej o postaci

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

ZTZ I

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
- I 0

Dokonując elementarnych przekształceń otrzymujemy macierz:

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
( ZTZ )-1 = 0x01 graphic

Macierz wariancji kowariancji D2(A) wygląda następująco:

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
D2(A) = S2ξ ⋅ ( ZTZ )-1 = 0x01 graphic

Uzyskałyśmy następujące wyniki:

S(a0) = 0x01 graphic
= 231,358

S(a1) = 0x01 graphic
= 0,615

S(a2) = 0x01 graphic
= 0,118

S(a3) = 0x01 graphic
= 0,176

Średni błąd oszacowania parametru :

α0 wynosi S(a0) = 231,358

α1 wynosi S(a1) = 0,615

α2 wynosi S(a2) = 0,118

α3 wynosi S(a3) = 0,176

  1. Wyznaczanie przedziałów ufności dla parametrów strukturalnych

Znając oszacowania parametrów strukturalnych modelu oraz standardowe błędy oceny tych parametrów przy założeniu, że składnik losowy ξ ma rozkład normalny możemy wyznaczyć przedziały ufności dla tych parametrów, czyli przedziały, które z przyjętym prawdopodobieństwem 1 - α zawierają wartości parametrów modelu ekonometrycznego. Dla parametru αi przedział ten ma postać:

αi ∈ < ai - t(n-(k+1)) S(ai) ; ai + t(n-(k+1)) S(ai) > ,

gdzie t(n-(k+1)) jest odczytaną z tablicy rozkładu T-Studenta wartością krytyczną dla przyjętego poziomu istotności α oraz liczby stopni swobody n - ( k+1 ).

Przyjęłyśmy poziom istotności α = 0,2 ; przy n - ( k+1 ) = 6 stopniach swobody t(S) = 1,44. Stąd możemy wyznaczyć przedziały ufności dla poszczególnych parametrów.

Dla parametru α0 mamy:

-228,356 - 1,44 ⋅ 231,358 ≤ α0 ≤ -228,356 + 1,44 ⋅ 231,358

-561,511 ≤ α0 ≤ 104,799

Dla parametru α1 mamy:

2,539 - 1,44 ⋅ 0,615 ≤ α1 ≤ 2,539 + 1,44 ⋅ 0,615

1,653 ≤ α1 ≤ 3,425

Dla parametru α2 mamy:

-0,303 - 1,44 ⋅ 0,118 ≤ α2 ≤ -0,303 + 1,44 ⋅ 0,118

-0,473 ≤ α2 ≤ -0,133

Dla parametru α3 mamy:

0,165 - 1,44 ⋅ 0,176 ≤ α3 ≤ 0,165 + 1,44 ⋅ 0,176

-0,088 ≤ α3 ≤ 0,418

Wyznaczone przedziały zawierają rzeczywiste wartości parametrów strukturalnych z prawdopodobieństwem 1 - α = 0,8.

  1. Badanie statystycznej istotności zmiennych objaśniających modelu

W trakcie badania statystycznej istotności, weryfikujemy hipotezę zerową H0i : αi = 0 wobec hipotezy alternatywnej H1i : αi ≠ 0 i = 1,2,...,k.

Zakładając, że składnik losowy ξ ma rozkład normalny, statystyka

ti = 0x01 graphic

ma rozkład t-Studenta o n - ( k+1 ) stopniach swobody. Jeśli t(n-(k+1)) to wartość krytyczna odczytana z tablic rozkładu t-Studenta przy poziomie istotności α to jeśli spełniona jest nierówność

ti ≤ t(n-(k+1)),

wówczas nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej i zmienną Zi uznajemy za statystycznie nieistotną, natomiast jeśli jest spełniona nierówność

ti > t(n-(k+1))

odrzucamy hipotezę zerową na rzecz hipotezy alternatywnej i zmienną Zi nazywamy statystycznie istotną.

Model nazywamy statystycznie istotny jeśli wszystkie zmienne występujące w nim są statystycznie istotne. Zazwyczaj zmienne statystycznie nieistotne usuwamy z modelu i w związku z tym model staje się statystycznie istotny.

Dla naszego modelu mamy dane:

n - ( k + 1 ) = 6

α = 0,2

t (n-(k+1)) = 1,44

Zatem możemy sprawdzić statystyczną istotność zmiennych objaśniających.

Dla zmiennej Z1 mamy:

t1 = 0x01 graphic
4,128 > 1,44

Zmienna Z1 jest statystycznie istotna.

Dla zmiennej Z2 mamy:

t2 = 0x01 graphic
2,57 > 1,44

Zmienna Z2 jest statystycznie istotna.

Dla zmiennej Z3 mamy:

t3 = 0x01 graphic
0,94 ≤ 1,44

Zmienna Z3 jest statystycznie nieistotna.

W naszym modelu występuje jedna zmienna statystycznie nieistotna, więc model nie jest statystycznie istotny.

6. Wyznaczanie modelu uciętego i wewnętrznego.

Modelem pierwotnym jest model określony przez parę korelacyjną postaci (R(k);R0(k)). W modelu tym zmienną objaśnianą jest zmienna Y, a zmiennymi objaśniającymi wszystkie zmienne pochodzące ze zbioru A(k)={Z1, Z2, ..., Zk}.

Dla naszego modelu, modelem pierwotnym jest model o równaniu

Y=β1Z1 + β2Z2 + ξ, którego wartości zmiennych przedstawiają się następująco:

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

164,847 1396 2192,5 137,5

193,482 1402 2201,3 121,8

161,243 1458 2212,1 100,4

159,876 1493 2243,2 96,1

Q = 156,835 1554 2289,8 81,7

154,857 1580 2304,4 69,3

159,348 1621 2342,7 66,2

162,945 1698 2368,3 64,9

162,671 1703 2394,2 61,6

161,342 1742 2427,6 58,3

0x08 graphic
0x08 graphic

i odpowiada mu para korelacyjna

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

1,000 -0,168 -0,146 0,447

R = -0,168 1,000 0,992 R0 = -0,939

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
-0,146 0,992 1,000 -0,918

Modelem uciętym dla modelu pierwotnego nazywamy model określony przez parę korelacyjną (Rii, R0i), gdzie macierz Rii powstaje z macierzy R(k) przez usunięcie i-tego wiersza i i-tej kolumny, natomiast wektor R0i powstaje z wektora R0(k) przez usunięcie i-tej składowej. Model ten powstaje z modelu pierwotnego przez odrzucenie zmiennej objaśnianej Zi w modelu pierwotnym. Model ucięty ma postać:

Y=βi1Z1 +...+ βii-1Zi-1 + βii+1Zi+1 +...+βikZk + ξi.

Możemy wyznaczyć trzy modele ucięte.

Model ucięty ze względu na zmienną Z1.

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

1396 2192,5 137,5

1402 2201,3 121,8

1458 2212,1 100,4

1493 2243,2 96,1

Q1 = 1554 2289,8 81,7

1580 2304,4 69,3

1621 2342,7 66,2

1698 2368,3 64,9

1703 2394,2 61,6

1742 2427,6 58,3

0x08 graphic
0x08 graphic

jest określony przez parę korelacyjną

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
1,000 0,992 -0,939

R11= R01=

0,992 1,000 -0,918

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

Model ucięty ze względu na zmienną Z2

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

164,847 2192,5 137,5

163,482 2201,3 121,8

161,243 2212,1 100,4

159,876 2243,2 96,1

Q2 = 156,835 2298,8 81,7

154,857 2304,4 69,3

159,348 2342,7 66,2

162,945 2368,3 64,9

162,671 2394,2 61,6

161,342 2427,6 58,3

0x08 graphic
0x08 graphic

jest określony przez parę korelacyjną

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

1,000 -0,146 0,447

R22 = R02 =

-0,146 1,000 -0,918

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

Model ucięty ze względu na zmienną Z3

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

164,847 1396 137,5

163,482 1402 121,8

161,243 1458 100,4

159,876 1493 96,1

Q3 = 156,835 1554 81,7

0x08 graphic
154,857 1580 69,3

159,348 1621 66,2

162,945 1698 64,9

162,671 1703 61,6

161,342 1742 58,3

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

jest określony przez parę korelacyjną

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

1,000 -0,168 0,447

R33 = R03 =

-0,168 1,000 -0,939

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

Modelem wewnętrznym dla modelu pierwotnego nazywamy model określony przez parę korelacyjną (Rii, ρi), gdzie ρi oznacza i-tą kolumnę macierzy R(k) bez i-tego elementu. W modelu tym zmienną objaśnianą jest zmienna Zi odrzucona z modelu pierwotnego, zaś zmiennymi objaśniającymi są te same zmienne, które występują w modelu uciętym. Model wewnętrzny dany jest wzorem:

Zii1Z1 + ... + γii-1Zi-1 + γii+1Zi+1 + ... + γikZk + ηi.

Możemy wyznaczyć trzy modele wewnętrzne.

Model wewnętrzny ze względu na zmienną Z1.

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
1396 2192,5 164,847

1402 2201,3 163,482

1458 2212,1 161,243

1493 2243,2 159,876

Q1 = 1554 2289,8 156,835

1580 2304,4 154,857

1621 2342,7 159,348

1698 2368,3 162,945

1703 2394,2 162,671

0x08 graphic
0x08 graphic
1742 2427,6 161,342

jest określony przez parę korelacyjną

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

1,000 0,992 -0,168

R11 = ρ1 =

0,992 1,000 -0,146

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

Model wewnętrzny ze względu na zmienną Z2.

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

164,847 2192,5 1396

163,482 2201,3 1402

161,243 2212,1 1458

159,876 2243,2 1493

Q2 = 156,835 2289,8 1554

154,857 2304,4 1580

159,348 2342,7 1621

162,945 2368,3 1698

162,671 2394,2 1703

161,342 2427,6 1742

0x08 graphic
0x08 graphic

jest określony przez parę korelacyjną

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

1,000 -0,146 -0,168

R22 = ρ2 =

-0,146 1,000 0,992

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

Model wewnętrzny ze względu na zmienną Z3.

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

164,847 1396 2192,5

163,482 1402 2201,3

161,243 1458 2212,1

159,876 1493 2243,2

Q3 = 15683,5 1554 2289,8

154,857 1580 2304,4

159,348 1621 2342,7

162,945 1698 2368,3

162,671 1703 2394,2

161,342 1742 2427,6

0x08 graphic
0x08 graphic

jest określony przez parę korelacyjną

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

1,000 -0,168 -0,146

R33 = ρ3 =

-0,168 1,000 0,992

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

7. Wyznaczanie współczynnika korelacji cząstkowej.

Współczynnik korelacji cząstkowej zmiennej Y ze zmienną Zi, oznaczany symbolem ri*, jest współczynnikiem korelacji zwykłej pomiędzy resztami modelu uciętego oraz modelu wewnętrznego i można go wyznaczyć z następującego wzoru:

0x01 graphic

Dla wyznaczenia wartości współczynnika ri* można skorzystać z podwójnej macierzy brzegowej postaci:

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
Rii ρi R0i

0x08 graphic

ΛI = ρiT 1 ri

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
RoiT ri 1

Przedstawiamy jak wyglądają współczynniki korelacji cząstkowej dla naszego modelu.

ri* dla zmiennej Z1.

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
1,000 0,992 -0,168 -0,939

0,992 1,000 -0,146 -0,918

0x08 graphic
Λ1 =

-0,168 -0,146 1,000 0,447

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
-0,939 -0,918 0,447 1,000

0x01 graphic

ri* dla zmiennej Z2.

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
1,000 -0,146 -0,168 0,447

-0,146 1,000 0,992 -0,918

0x08 graphic
Λ2 =

-0,168 0,992 1,000 -0,939

0x08 graphic

0,447 -0,918 -0939 1,000

0x08 graphic
0x08 graphic

0x01 graphic

ri* dla zmiennej Z3.

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

1,000 -0,168 -0,146 0,447

-0,168 1,000 0,992 -0,918

0x08 graphic
Λ3 =

-0,146 0,992 1,000 -0,939

0x08 graphic

0,447 -0,918 -0,939 1,000

0x08 graphic
0x08 graphic

0x01 graphic

Współczynnik korelacji cząstkowej ri* jest wykorzystywany dla sprawdzenia statystycznej istotności modelu. Jeżeli spełniona jest nierówność

0x01 graphic

gdzie Fγ to wartość krytyczna odczytana z tablic rozkładu F-Snedecora przy ustalonym poziomie istotności γ i odpowiedniej liczbie stopni swobody, to zmienna Zi jest statystycznie istotna, przy założeniu, że rozkład składnika losowego modelu jest normalny.

Dla naszego modelu przyjmujemy, że poziom istotności wynosi γ = 0,05 i przy n-(k+1) = 6 stopniach swobody wartość krytyczna wynosi Fγ = 5,99, więc

0x01 graphic

Sprawdzamy statystyczną istotność zmiennej Z1.

r1* = 0,855

(r1*)2 = 0,731

0,731 > 0,499,

więc zmienna Z1 jest statystycznie istotna.

Sprawdzamy statystyczną istotność zmiennej Z2.

r2* = -0,724

(r2*)2 = 0,524

0,524 > 0,499,

więc zmienna Z2 jest statystycznie istotna.

Sprawdzamy statystyczną istotność zmiennej Z3.

r3*= 0,318

(r3*)2 = 0,101

0,101 < 0,499,

więc zmienna Z3 nie jest statystycznie istotna.

Na podstawie otrzymanych wyników stwierdzamy, że model nie jest statystycznie istotny, gdyż jedna zmienna Z3 nie spełnia warunku statystycznej istotności.

  1. Badanie jakości modelu

Miarami służącymi do dokonania oceny jakości modelu są współczynnik determinacji, współczynnik zbieżności oraz współczynnik natężenia efektu katalizy.

Współczynnik determinacji lub inaczej kwadrat współczynnika korelacji wielowymiarowej, oznaczamy symbolem r2 , który określa jaka część zmiennej objaśnianej Y jest opisana przez model. r2 przyjmuje wartości z przedziału < 0,1 >, przy czym im ta wartość większa tym model jakościowo lepszy.

Dla modelu przed standaryzacją obliczamy r2 ze wzoru:

r2 = 1 - ϕ2

natomiast dla modelu po standaryzacji:

r2 = R0TR-1R0

Współczynnik zbieżności oznaczony symbolem ϕ2, mówi nam jaka część objaśnianej Y pozostaje poza modelem. ϕ2 przyjmuje wartości z przedziału < 0,1 >, przy czym wartość bliska 0 świadczy o wysokiej jakości modelu.

Dla modelu przed standaryzacją obliczamy go ze wzoru:

ϕ2 = 0x01 graphic
,

gdzie:

U - wektor reszt,

P - wektor odchyleń zmiennej Y od średniej.

P = 0x01 graphic

Między współczynnikiem determinacji i współczynnikiem zbieżności zachodzi następująca zależność:

r2 + ϕ2 = 1

Współczynnik natężenia efektu katalizy, oznaczamy symbolem η, jest szkodliwy dla jakości modelu. Często powoduje sztuczne zawyżenie współczynnika determinacji na skutek silnego skorelowania pomiędzy zmiennymi objaśniającymi.

Jeśli:

  1. rij < 0

  2. rij > min ( 0x01 graphic
    )

to tę zmienną z pary zmiennych ( Zi, Zj ), która mniejszy współczynnik korelacji ze zmienną objaśnianą Y, nazywamy zmienną katalityczną.

W punkcie 1) mamy do czynienia ze słabym katalizatorem, w punkcie 2) mówimy o mocnym katalizatorze.

Współczynnik η przyjmuje wartości z przedziału < 0,1 >, a im jest on niższy tym lepsza jakość modelu. Obliczamy go według wzoru:

η = r2 - H

Istotne jest by, współczynniki przed i po standaryzacji przyjmowały wartości zbliżone do siebie.

  1. Badanie jakości modelu przed standaryzacją

ϕ2 = 0x01 graphic

Korzystając z wcześniejszych obliczeń wiemy, że UTU = 184,959.

Pozostaje nam wyznaczyć P ze wzoru:

P = 0x01 graphic

0x01 graphic
= 0x01 graphic
, stąd

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
P = 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

Zatem PTP = 6740,056

ϕ2 = 0x01 graphic
= 0,027

r2 = 1 - ϕ2 r2 = 0,973

η = r2 - H

Dla naszego modelu H = 0,956 więc

η = 0,973 - 0,956 = 0,017

  1. Badanie jakości modelu po standaryzacji

r2 = R0TR-1R0

r2 możemy wyznaczyć dokonując elementarnych przekształceń macierzy blokowej postaci

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
R R0

0x08 graphic
r2 =

-R0T 0

0x08 graphic
0x08 graphic

r2 = 0,971

ϕ2 = 1 - R0TR-1R0

Dla wyznaczenia ϕ2 skorzystamy z macierzy blokowej postaci

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
R R0

0x08 graphic
ϕ2 =

0x08 graphic
0x08 graphic
R0T 1

ϕ2 = 0,029

Sprawdzamy czy została zachowana równość

r2 + ϕ2 = 1

0,971 + 0,029 = 1

η = r2 - H

η = 0,971 - 0,956 = 0,015

Uzyskałyśmy wyniki świadczące o wysokiej jakości modelu.

9.Badanie koincydencji modelu.

Mówimy, że zmienna objaśniająca Zi modelu jest zmienną koincydentną jeśli spełniona jest nierówność

sign ai=sign ri,

czyli znak oszacowania parametru strukturalnego stojącego przy tej zmiennej jest identyczny ze znakiem jej współczynnika korelacji ze zmienną objaśnianą Y. Brak koincydentności uniemożliwia sensowną interpretację ekonomiczną uzyskanych oszacowań parametrów strukturalnych modelu.

Zmienna Zi jest zmienną koincydentną,gdy znak oszacowania parametru αi jest identyczny ze znakiem liczby di

di = ri - ρiTRii-1R01,

gdzie

ri - i-ta składowa wektora korelacji,

ρi - i-ta kolumna macierzy korelacji z pominięciem i-tego elementu

w kolumnie,

Rii - macierz powstała z macierzy korelacji po wykreśleniu i-tego wiersza i i-tej kolumny,

Roi - wektor powstały z wektora korelacji po skreśleniu i-tej składowej wektora korelacji.

Wartość liczby di możemy obliczyć wykonując elementarne przekształcenia pojedynczej macierzy brzegowej postaci

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
Rii Roi

0x08 graphic
Bi=

ρiT ri

0x08 graphic
0x08 graphic

Dany model jest koincydentny, gdy wszystkie jego zmienne są koincydentne.

Koincydencja naszego modelu przedstawia się następująco.

Koincydencja zmiennej Z1.

r1=0,447

Przekształcamy macierz brzegową postaci

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
1,000 0,992 -0,939

0,992 1,000 -0,918

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
-0,168 -0,146 0,447

i otrzymujemy d1=0,272. Oznacza to, że zmienna Z1 jest koincydentna.

Koincydencja zmiennej Z2.

r2= -0,939

Przekształcamy macierz brzegową postaci

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
1,000 -0,146 0,447

-0,146 1,000 -0,918

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
-0,168 0,992 -0,939

i otrzymujemy d2 = -0,021. Oznacza to, że zmienna Z2 jest koincydentna.

Koincydencja zmiennej Z3.

r3= -0,918

Przekształcamy macierz brzegową postaci

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
1,000 -0,168 0,447

-0,168 1,000 -0,939

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
-0,146 0,992 -0,918

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

i otrzymujemy d3 = 0,007. Oznacza to, że zmienna Z3 nie jest koincydentna.

  1. Wyznaczanie macierzy uniwersalnej i macierzy neutralnej.

Macierzą uniwersalną jest macierz

U = [uij]kxk, gdzie

0x01 graphic

Uij = 0x01 graphic

0x01 graphic

ri, rj - i-ta, j-ta składowa wektora korelacji.

Jeżeli macierz korelacji jest macierzą uniwersalną to model taki nie zawiera mocnych ani słabych katalizatorów, a także jest modelem koincydentnym.

Dla wektora korelacji R0 naszego modelu macierz uniwersalna wygląda następująco:

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0,447 1,000 -0,420 -0,410

0x08 graphic
0x08 graphic
R0 = -0,939 U = -0,420 1,000 0,862

0x08 graphic
0x08 graphic
-0,918 -0,410 0,862 1,000

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

Macierzą neutralną jest macierz

N = [nij]kxk, gdzie

Nij = 0x01 graphic

Gdy macierz korelacji jest macierzą neutralną to model:

  1. Nie zawiera mocnych ani słabych katalizatorów.

  2. Nie jest modelem koincydentnym - w modelu tym koincydentna jest tylko ta zmienna objaśniająca, która ma najwyższy współczynnik korelacji ze zmienną objaśnianą.

  3. Współczynnik determinacji r2 jest równy kwadratowi największej składowej wektora korelacji.

Dla naszego wektora korelacji macierz neutralna wygląda następująco:

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0,447 1,000 -0,476 -0,487

R0 = -0,939 N = -0,476 1,000 0,978

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
-0,918 -0,487 0,978 1,000

Na podstawie wcześniejszych obliczeń i testów jakości stwierdziłyśmy, że zmienna Z3 zarówno nie jest statystycznie istotna, jak i nie jest koincydentna, więc decydujemy się na jej usunięcie z modelu. Dzięki temu nasz model zyskuje na jakości, jest zarówno koincydentny, jak i statystycznie istotny. Obecnie nasz model przyjmuje postać:

Y=β1Z1 + β2Z2 +ξ , gdzie

Z1 - zatrudnienie ogółem w tys. osób

Z2 - rodzice samotnie wychowujący dzieci w tys. osób,

para korelacyjna natomiast wygląda następująco:

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

1,000 -0,168 0,447

R = R0 =

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
-0,168 1,000 -0,939

Praca pochodzi z serwisu www.e-sciagi.pl



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
3-Estymacja parametrów modelu regresji liniowej, # Studia #, Ekonometria
4 estymacja parametrów jednorównaniowego liniowego modelu ekonometrycznego
wyklady z ekonometrii, Estymacja i weryfikacja liniowych jednorównaniowych modeli ekonometrycznych
Estymacja parametrow strukturalnych modelu, Ekonometria
8 wnioskowanie na podstawie modelu ekonometrycznego prognozowanie ekonometryczne
Schemat budowy modelu ekonometrycznego KYBRZMJFNH4WDSL6VDZLDWXN5SPAVPIB5YJ7BWA
Estymacja parametrów modelu regresji liniowej 2
MP Wykład 7A Prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego
3 dobór zmiennych do liniowego modelu ekonometrycznego
KOLOKWIUM ESTYMACJA I WERYFIKACJA A, Semestr II, Statystyka matematyczna
KOLOKWIUM ESTYMACJA I WERYFIKACJA G, Semestr II, Statystyka matematyczna
KOLOKWIUM ESTYMACJA I WERYFIKACJA F, Semestr II, Statystyka matematyczna
Zadania na estymację i weryfikację hipotez - repetytorium, PBiMAS, Frątczak, PBIMAS, PBiMAS cw123, P
weryfikacja modelu

więcej podobnych podstron