Zadanie nr 17

Korzystając z informacji zamieszczonych w tabeli poniżej, dobrać postać analityczną modelu regresji:

yi	xi
30	100
50	150
90	200
80	300
100	350
120	450
120	550
160	600
140	700
150	900
150	1000
170	1050
160	1200

Y= wydatki na odzież i obuwie(w zł)

X= wydatki ogółem (w zł)

W szacowaniu modelu posłużymy się metodą najmniejszych kwadratów. Obliczenia zostaną wykonane za pomocą programu Excel. Przy weryfikacji hipotez istotności zakładamy współczynnik α=0,05.

Rozwiązanie

Poniżej graficzna prezentacja danych do zadania

Do zbadania zależności danych oraz w celu zaproponowania modelu analitycznego modelu, przeprowadzimy analizę danych po przez :

1. funkcję liniową

2. funkcję Tőrnqista

Ad.1

Parametry funkcji liniowej, przedstawionej poniżej :

będziemy szacować za pomocą MNK. Wektor parametrów rozwiązania obliczamy wg wzoru:

za macierz X podstawiamy Wydatki ogółem.Macierz Y otrzymujemy przypisując do niej wydatki na odzież i obuwie.

Kolejnym krokiem jest transpozycja macierzy X :

Macierz X^T mnożymy przez macierz X otrzymując macierz:

Obliczamy wyznacznik macierzy, który dla tego przypadku wynosi: 20900000 . Macierz odwrotna istnieje, więc przedstawiamy ją poniżej:

Następnym krokiem jest obliczenie ilorazu X^TY, wynosi on:

Ostatnim krokiem w celu obliczenia wektora rozwiązań równania jest obliczenie iloczynu macierzy (X^TX)^-1(X^TY)

Powyższa macierz jest macierzą parametrów naszego równania. Możemy przypisać odpowiednio

oraz

Uzyskujemy dzięki temu równanie o parametrach:

Kolejnym analizy, jest oszacowanie parametrów rozkładu składnika losowego pozwalające wnioskować o dobroci dopasowania modelu do danych empirycznych. Do pierwszego parametru należą średnie błędów szacunku estymatorów modelu. Należy obliczyć najpierw wariancje resztową
:

gdzie:

n - liczba obserwacji (dla naszego przykładu 13),

k - liczba parametrów modelu (dla naszego przypadku 2).

Obliczmy najpierw iloczyn macierzy Y^TY, który wynosi 201400. Iloczyn macierzy X^TY mamy już obliczony powyżej, dla przypomnienia pozostaje nam obliczyć iloczyn tej macierzy i wektora rozwiązań czyli
, a wynosi on: 196605. Przejdźmy do obliczenia

Możemy już teraz przejść do obliczenia średnich błędów szacunku modelu, które liczymy wg wzoru:

gdzie c_ji to elementy stojące na przekątnej macierzy (X^T X)^-1.

Obliczamy średnie błędy szacunku dla poszczególnych parametrów strukturalnych modelu:

• dla a₀

• dla a₁

Model nasz możemy, więc zapisać w postaci:

S_aj = (11,178) (0,0165)

W celu zbadania istotności parametrów strukturalnych modelu weryfikujemy hipotezę

wobec alternatywnej

W tym celu wyznaczamy ze statystyki

t₀ dla a₀, które wynosi :

oraz t₁ dla a₁

Z tablic rozkładu t-Studenta dla n-k stopni swobody i α = 0,05 odczytujemy: t_0,05,11 =2,201.

Przedstawmy tę sytuację na wykresie:

Wyniki mówią nam, że parametr a₀ dla którego przyjmujemy hipotezę H₀ jest statystycznie różny od 0, oznacza to, że parametr ten ma wpływ na model. Parametr a₁ jest istotnie różny od zera. Ma on wpływ na wielkość wydatków. Zapiszmy, więc nasz model :

S_aj : (2,55) (0,14)

t_{j :} (4,829) (6,57)

Aby sprawdzić dopasowanie oszacowanego modelu do danych rzeczywistych wyznaczamy współczynnik determinacji R² oraz odchylenie standardowe składnika resztowego modelu s.

Odchylenie standardowe reszt jest niczym innym jak pierwiastkiem kwadratowym z
czyli

w naszym przypadku wynosi ono 20,88 i mówi nam że przeciętne odchylenie wartości empirycznych od wartości rzeczywistych wynosi 20,88 zł.

Współczynnik determinacji obliczamy wg wzoru:

n - liczba obserwacji (13)

- średnia z macierzy = 116,9231

Pozostałe wartości tego równania mamy już obliczone powyżej i po podstawieniu otrzymujemy

Model nasz jest więc słabo dopasowany do danych empirycznych, bo wyjaśnia tylko 79,75 % obserwacji. Posiadając obliczony współczynnik determinacji
możemy obliczyć współczynnik zbieżności
, który liczymy jako różnice : 1 - R² .

Wysoka wartość współczynnik zbieżności świadczy o mało dokładnym dopasowaniu modelu do danych empirycznych. Współczynnik ten mierzy tę część całkowitej zaobserwowanej zmienności zmiennej Y, która wynika z działania czynników losowych ( przypadkowych).

Współczynnik korelacji wielorakiej, to kolejna miara dopasowania modelu do danych empirycznych. Jest on pierwiastkiem kwadratowym z R². Dla naszego modelu:

Ostatnią miarą dopasowania modelu jest współczynnik zmienności losowej, czyli

Dla naszego modelu, uzyskujemy

Współczynnik V informuje nas , jaki procent średniego poziomu zaobserwowanej zmienności zmiennej objaśnianej Y stanowią odchylenia przypadkowe w danym równaniu trendu. Sytuacja ze statystycznego punktu widzenia jest tym lepsza im wartość V jest bliższa 0.

Współczynnik ten jest wysoki co oznacza, że cechy wykazują zróżnicowanie statystycznie istotne.

Aby odpowiedzieć na to pytanie,czy występuje autokorelacja zastosujmy statystykę

Durbina-Watsona. Musimy wykonać obliczenia pomocnicze, które przedstawiamy w tabeli poniżej.

x	yt	Yt	et	et^2	et-1	et-1^2	et -et-1	et et-1	(et -et-1)^2
100	30	64,82	-34,82	1212,66	-	-	-	-	-
150	50	70,24	-20,24	409,79	-34,82	1212,66	14,58	704,94	212,58
200	90	75,66	14,34	205,54	-20,24	409,79	34,58	-290,22	1195,78
300	80	86,50	-6,50	42,29	14,34	205,54	-20,84	-93,24	434,31
350	100	91,92	8,08	65,23	-6,50	42,29	14,58	-52,53	212,58
450	120	102,76	17,24	297,10	8,08	65,23	9,16	139,22	83,91
550	120	113,60	6,40	40,92	17,24	297,10	-10,84	110,26	117,51
600	160	119,02	40,98	1679,09	6,40	40,92	34,58	262,12	1195,78
700	140	129,86	10,14	102,75	40,98	1679,09	-30,84	415,37	951,11
900	150	151,54	-1,54	2,38	10,14	102,75	-11,68	-15,64	136,42
1000	150	162,38	-12,38	153,35	-1,54	2,38	-10,84	19,11	117,51
1050	170	167,80	2,20	4,83	-12,38	153,35	14,58	-27,20	212,58
1200	160	184,06	-24,06	579,04	2,20	4,83	-26,26	-52,86	689,59
	-	-	-	4794,98	-	263,31	-	-76,60	1156,09

Dla zastosowania tej statystyki musimy zastosować poniższe wzory

• Estymator współczynnika autokorelacji

co po podstawieniu naszych danych z tabeli daje nam r = -0,068

• Statystyka Durbina-Watsona

po podstawieniu danych z tabeli pomocniczej otrzymujemy d =0,241.

Z tablic wartości krytycznych statystyki Durbina-Watsona, dla α=0,05 oraz n=13 i k=2 odczytujemy odpowiednie statystyki d_L=0,861 oraz d_u=1,562. Testujemy hipotezę

wobec hipotezy alternatywnej

Nanieśmy nasze dane na wykres.

Z powyższego wykresy wynika, że przyjmujemy hipotezę H₁. W naszym modelu mamy do czynienia z dodatnią autokorelacją składników losowych.

Jesteśmy zmuszeni wprowadzić macierz
, którą określamy jako

Jest to macierz, której na przekątnej wpisujemy 1+r² , jedynie pierwszy i ostatni element przekątnej to 1. w pola sąsiadujące z przekątną wpisujemy -r . W pozostałe pola wpisujemy 0.

Macierz Ω^-1 ma wymiary 13x13 . Uwzględniając macierz Ω^-1, wektor rozwiązań naszego modelu znajdziemy z wzoru:

Pierwszy człon tego równania
jest równy:

Drugi człon tego równania
jest równy:

Po wymnożeniu obu macierzy otrzymujemy nowy wektor rozwiązań modelu :

Ostatecznie model nasz możemy zapisać :

Poniżej przedstawiamy graficzną prezentację danych otrzymanych przy pomocy powyższego wzoru.

Ad.2

aby wykonać obliczenia, musimy dokonać przekształceń:

po uproszczeniu:

Uzyskujemy, więc macierz X w postaci:

Model ten, tak ja i poprzedni możemy obliczyć MNK, czyli wg wzoru:

Wynik naszej operacji na macierzach (X^TX)^-1, jest macierz:

Macierz X^TY wygląda następująco:

Po wymnożeniu naszych macierzy, uzyskujemy
:

Model nasz możemy zapisać w postaci:

Kolejnym krokiem będzie obliczenie wariancji resztowej
:

gdzie:

n - liczba obserwacji (dla naszego przykładu 13),

k - liczba parametrów modelu (dla naszego przypadku 2).

Iloczyn macierzy Y^TY wynosi 0,002282, natomiast iloczyn
- 0,002236. Po obliczeniu uzyskujemy, więc
= 4,2054E-06.

Możemy już teraz przejść do obliczenia średnich błędów szacunku modelu, które liczymy- dla przypomnienia wg wzoru:

gdzie c_ji to elementy stojące na przekątnej macierzy (X^T X)^-1

Obliczamy średnie błędy szacunku dla poszczególnych parametrów strukturalnych modelu:

• dla a₀

• dla a₁

Model nasz możemy, więc zapisać w postaci:

S_aj : (8,63*10^-4) (0,217)

W celu zbadania istotności parametrów strukturalnych modelu zakładamy weryfikujemy hipotezę

wobec alternatywnej

W tym celu wyznaczamy ze statystyki

t₀ dla a₀, które wynosi :

oraz t₁ dla a₁

Z tablic rozkładu t-Studenta dla n-k stopni swobody i α = 0,05 odczytujemy: t_0,05,11 =2,201.

Przedstawmy tę sytuację na wykresie:

Już z wykresu widzimy, że wszystkie nasze parametry modelu są istotnie różne od zera. Oszacowane przez nas parametry modelu mają istotny wpływ na wielkość wydatków. Zapiszmy nasz model w postaci:

S_aj : (8,63*10^-4) (0,217)

t_j : (312,86) (12,67)

Aby sprawdzić dopasowanie oszacowanego modelu do danych rzeczywistych wyznaczamy współczynnik determinacji R² oraz odchylenie standardowe składnika resztowego modelu s.

Odchylenie standardowe reszt jest niczym innym jak pierwiastkiem kwadratowym z
czyli

w naszym przypadku wynosi ono 2,05*10^-3 co oznacza, że przeciętne odchylenie wartości empirycznych od wartości rzeczywistych wynosi 2,05*10^-3 zł. Obliczmy
, który obliczamy wg wzoru:

n - liczba obserwacji (13)

- średnia z macierzy = 0,0110

Pozostałe wartości tego równania mamy już obliczone powyżej i po podstawieniu otrzymujemy

Model nasz jest więc bardzo dobrze dopasowany do danych empirycznych, bo wyjaśnia aż 93,58 % obserwacji. Posiadając obliczony współczynnik determinacji
możemy obliczyć

współczynnik zbieżności
, który liczymy jako różnice : 1 - R² .

Niska wartość współczynnik zbieżności świadczy o dokładnym dopasowaniu modelu do danych empirycznych.

Współczynnik korelacji wielorakiej, jest on pierwiastkiem kwadratowym z R². Dla naszego modelu:

Ostatnią miarą dopasowania modelu jest współczynnik zmienności losowej, czyli

Dla naszego modelu, uzyskujemy

Współczynnik ten jest wysoki co oznacza, że cechy wykazują zróżnicowanie statystycznie istotne.

Zastosujmy statystykę Durbina-Watsona dla Y_t. wg wzoru:

gdzie 370,37 to

a 1018,18 to β - wartość otrzymana z proporcji 2,7491= β / 370,37

Musimy wykonać obliczenia pomocnicze, które prezentujemy w tabeli poniżej.

x	yt	Yt	et	et^2	et-1	et-1^2	et -et-1	et et-1	(et -et-1)^2
100	30	33,123	-3,12	9,75	-	-	-	-	-
150	50	47,557	2,44	5,97	-3,12	9,75	5,57	-7,63	30,97
200	90	60,807	29,19	852,23	2,44	5,97	26,75	71,31	715,57
300	80	84,291	-4,29	18,41	29,19	852,23	-33,48	-125,27	1121,19
350	100	94,746	5,25	27,61	-4,29	18,41	9,55	-22,55	91,11
450	120	113,52	6,48	42,00	5,25	27,61	1,23	34,05	1,51
550	120	129,9	-9,90	97,97	6,48	42,00	-16,38	-64,15	268,27
600	160	137,33	22,67	514,00	-9,90	97,97	32,57	-224,40	1060,78
700	140	150,89	-10,89	118,63	22,67	514,00	-33,56	-246,93	1126,49
900	150	173,78	-23,78	565,28	-10,89	118,63	-12,88	258,96	166,00
1000	150	183,52	-33,52	1123,38	-23,78	565,28	-9,74	796,88	94,89
1050	170	188,03	-18,03	325,23	-33,52	1123,38	15,48	604,45	239,71
1200	160	200,36	-40,36	1629,27	-18,03	325,23	-22,33	727,94	498,63
	-	-	-	5329,73	-	3700,46	-	1802,65	5415,13

Dla obliczenia tej statystyki musimy zastosować poniższe wzory

• Estymator współczynnika autokorelacji

co po podstawieniu naszych danych z tabeli daje nam r = 0,406

• Statystyka Durbina-Watsona

po podstawieniu danych z tabeli pomocniczej otrzymujemy d =1,016.

Z tablic wartości krytycznych statystyki Durbina-Watsona, dla α=0,05 oraz n=13 i k=2 odczytujemy odpowiednie statystyki d_L=0,861 oraz d_u=1,562.

Testujemy hipotezę

wobec hipotezy alternatywnej

Nanieśmy nasze dane na wykres.

W naszym przypadku (dla tego modelu ) nie możemy odpowiedzieć na pytanie o występowanie autokorelacji. Dla tego modelu mamy zbyt małą liczebność próby, by odpowiedzieć na to pytanie.

Nanieśmy jeszcze nasze dane uzyskane za pomocą ekstrapolacji naszą funkcją na wykres.

Wadą pierwszego modelu jest występowanie autokorelacji składników losowych. Występuje tu też wyższy niż w innych prezentowanych modelach współczynnik zmienności losowej V.

Ogólne miary dopasowania świadczą o tym, że to drugi model ,model funkcji Tőrnqista jest najlepiej dopasowany do danych empirycznych. Model ten również ma najniższy błąd standardowy s czyli przeciętne odchylenie ilości rzeczywistej od ilości wyznaczonej na podstawie modelu. Z tego powodu model ten w postaci:

uznaliśmy za dobry i wybraliśmy go jako końcowy efekt naszej pracy.

15

H₁

H₁

H₀

t_j

t₁=6,57

t₀=4,829

t_α

-t_α

t₀=312,86

t₁=12,67

t_α

-t_α

t_j

H₀

H₁

H₁

---