Rozwiązania zdań

Wektory. Iloczyn skalarny.

1. Dane są punkty

(a) Znaleźć wektory
,
,
,
, gdzie
- środek odcinka
.

a = [-2-(-2); -1-3] = [0;-4], b = [6;0], c = [6;-4], M((-2+(-2))/2; (3+(-1))/2) = (-2;1),
d = [0;2].

W przypadku, gdy punkty
są punktami płaszczyzny Oxy to ich współrzędne w przestrzeni R³ są odpowiednio równe
Wtedy

a = [0;-4;0], b = [6;0;0], c = [6;-4;0], M((-2+(-2))/2; (3+(-1))/2;(0+0)/2) = (-2;1;0),
d = [0;2;0].

(b) Obliczyć długości wektorów
,
.

(c) Obliczyć iloczyny skalarne

(d) Znaleźć wektor
,
,

,

(e) Znaleźć wektor jednostkowy (wersor) równoległy do

Znaleźć kąty
pomiędzy wektorami, odpowiednio,
.

,
,

Znaleźć
.

,
,

Znaleźć wektor
taki, że
.

Znaleźć punkt
taki, że
=

Nieznane współrzędne punktu D oznaczmy przez (x,y). Wtedy wektor
=[x-(-2);y-1].
Warunek
=
przekształca się w równość wektorów
[x-(-2);y-1] =
=
= [0-18;-8].
Ta równość wektorowa jest równoważna równości odpowiednich współrzędnych

Punkt D ma współrzędne (-20;-7).

2. Oblicz współrzędne wierzchołków CD równoległoboku ABCD, jeżeli A=(2,3), B=(5,-1) a przekątne przecinają się w punkcie M=(4,1).

A

Z rysunku wynikają podstawowe związki wektorowe:

= 2
,
= 2
,

Gdy nieznane współrzędne punktu C oznaczmy przez (x,y), związek
= 2
przyjmie formę

[x-2;y-3]= 2*[4-2;1-3] = [4;-4] .

Stąd x=6, y=-1

Gdy nieznane współrzędne punktu punku D oznaczmy przez (u,v), związek
= 2

przyjmie formę

[u-5;v-(-1)] = 2*[4-5;1-(-1)] = [-2;4].

Stąd u=3, v=3

3. Dla jakich liczb m, k wektory [2,-5] i [2m-3, 3k+4] są przeciwne.

Przeciwieństwo wektorów [2,-5] , [2m-3, 3k+4] oznacza że

-[2,-5] = [2m-3, 3k+4] .

Porównując współrzędne

4. Udowodnij równość
i podaj jej interpretację geometryczną.

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABC wynika, że

Oznacza to, że

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABD wynika, że

Oznacza to, że

Ponieważ kątB = π- kątA , więc
.

=
+
=
+
=

5. Mamy dane :
Wiedząc, że kąt między tymi wektorami wynosi
, oblicz , korzystając z tw. cosinusów długość sumy tych wektorów.

= 9+25-3*5*1/2 = 26,5

6. Dla jakiej liczby a wektory [2a+3, a-2] , [ a-4, 3a] są prostopadłe ?

Korzystamy z twierdzenia

(a

[2a+3, a-2] ۰[ a-4, 3a] = (2a+3 )* (a-4 )+(a-2)*(3a) = (2a²-5a-12)+(3a²-6a) = 5a²-11a-12 = 0

Rozwiązując równanie

5a²-11a-12 = 0
, a₁=(11-19)/10 = -0,8 , a₂= 3

7. Dane są punkty A=(2,4) i B=(-3,2). Znaleźć punkt X , który dzieli odcinek AB w stosunku
.

Nieznane współrzędne punktu X oznaczmy przez (x,y). Wtedy wektor
.
Ponieważ punkt X , który dzieli odcinek AB w stosunku
. Oznacza to, że
.

Stąd

0,4*[-5;-2] = [x-2;y-4]

Dane są punkty

(a) Znaleźć wektory
,
,
,
, gdzie
- środek odcinka
.

a = [-2-(-1);-1-(-2);4-3] = [-1;1;1] , b = [6;0;-3] , c = [5;1;-2]

M ((-1+(-2))/2;(-2+(-1))/2;(3+4)/2) = (-(3/2);-(3/2);7/2),

d= [-1/2;1/2;1/2]

(b) Obliczyć długości wektorów

,
,

(c) Obliczyć iloczyny skalarne
,
.

, b۰c = 36, a۰c = =6, a۰d = 1/2,

(d) Znaleźć wektor
,
.

= 2[-1;1;1] +(-3) [6;0;-3] + [5;1;-2] = [-2;2;2] + [-18;0;9] + [5;1;-2] = [-15;3;-9]

= [3/2-2-20;-3/2+2-4;-3/2+2+8] = [-201/2;1-41/2;81/2]

(e) Znaleźć wektor jednostkowy (wersor) równoległy do

w_b= = [
]

(f) Znaleźć kąty
pomiędzy wektorami, odpowiednio,

cos α =
=
, cos β =
, cos γ =
,

(g) Znaleźć

,
,

(h) Znaleźć wektor
taki, że
.

Od strony formalnej wektor
nie istnieje, gdyż nie można wykonywać działań na wektorach w różnych przestrzeniach. (na różnej ilości współrzędnych wektorów).

Z drugiej strony wektor [3;-2] często oznacza wektor leżący w płaszczyźnie Oxy podprzestrzeni R³. Wtedy jego jego trzecia współrzędna w R³ jest równa 0.

Wówczas równanie
ma postać
i usunięte zostały formalne przeszkody w rozwiązaniu tego równania wektorowego.

-4x = [3:-2;0]-3a-2d ↔ x = (-1/4)( [3:-2;0]-3a-2d ) = [
] =

[-7/4;3/2;1]

(i) Znaleźć punkt
taki, że
=
.

Nieznane współrzędne punktu D oznaczmy przez (x,y,z). Wtedy wektor
.

=
= 2a-3b = [-20;2;11}

Porównując współrzędne

2. Dany jest wektor
. Obliczyć
.

=
=

3* = 3*

3. Dane są wektory
,

. Obliczyć
.

=
=

4. Dla jakich liczb m, k wektory [2,-5,-7] i [2m-2, 3k-2,-3m+k ] są przeciwne.

Przeciwieństwo wektorów [2,-5,-7] , [2m-3, 3k+4,-3m+k] oznacza że

-[2,-5,-7] = [2m-3, 3k+4,-3m+k].

Porównując współrzędne
otrzymujemy sprzeczny układ równań.

Nie istnieją takie liczby m, k by wektory [2,-5,-7] i [2m-2, 3k-2,-3m+k ] były przeciwne

5. |a| = 4 , |b| = 4 , < a,b = π/3. Oblicz:

a) |4a-3b|

|4a-3b|² = (4a-3b)۰ (4a-3b) = 16(a۰a) - 12(a۰b) - 12(b۰a) +9(b۰b) = 16|a|² -24|a||b|cos< a,b +9|b|² = 16*16 - 24*4*4*1/2+ 9*16 = 16*(16 -12+9)= 208 → |4a-3b| =

b) (2a+3b)۰(-4a+5b)

(2a+3b)۰(-4a+5b) = -8(a۰a)-2(a۰b)+15(b۰b) = -8*16-2*4*4*1/2+15*16 = 16*6 = 96

6. Dla jakiego m wektory [m+1;m-1;2], [3;2m;-5] są prostopadłe?

Prostopadłość wektorów [m+1;m-1;2], [3;2m;-5] jest równoważna temu, że

([m+1;m-1;2]۰ [3;2m;-5]) = 0 = 3*(m+1)+ m*(m-1) -10 = m²+ 2m+3 = 0.

Równanie m²+ 2m+3 = 0 nie ma rozwiązań, gdyż jego ∆= 4-12<0

7. Dane są punkty A(2-m;3;m+1), B(2;m-1;4), C(2;m;-1). Dla jakiego m wektory

są prostopadłe?
Prostopadłość wektorów
jest równoważna temu, że
.

= [ 2-(2-m);m-1-3;4-(m+1)] = [m;m-4;-m+3],
= [m;m-3;-m-2].

≡ [m;m-4;-m+3]۰ [m;m-3;-m-2] = m²+(m-4)*(m-3)+(-m+3)*(-m-2) =
3m²-7m-m-6 = 3m²-8m-6 = 0

∆= 64+72 = 136 stąd
,
.

8. |a| = 2 , |b| = 4 , < a,b = π/4. Dla jakiego t wektory 3a-tb , a są prostopadłe?

Prostopadłość wektorów 3a-tb , a jest równoważna temu, że (3a-tb)۰a = 0 .

0 = (3a-tb)۰a = 3a۰a- ta۰b = 3|a|²- t*|a|*|b|*cos< a,b = 12 -4t*
. Stąd

.

9. Dla jakich m wektory [m+2;m-1;3], [4m;m;3m] sa równoległe?

Równoległość wektorów [m+2;m-1;3], [4m;m;3m] jest równoważna temu, że

[m+2;m-1;3] = t[4m;m;3m] = [4tm;tm;3tm].

Porównując współrzędne
otrzymujemy tm = 1, m=2 .

C

D

M

B

D

C

a+b

a

a-b

B

A

b

A₃

b

c

d

a

A₁

M

A₂

---