1. Elementy rachunku prawdopodobieństwa.

1.8

Proces stochastyczny - X(t,e) - zbiór zmiennych losowych zależnych od parametru t, najczęściej czasu; dla każdego momentu czasu X(e) jest zmienną losową.

Przy ustalonym t=t₀ proces stochastyczny X(t,e) jest zmienną losową X(t₀,e)=X₀(e).

Realizacja procesu stochastycznego - przy ustalonym zdarzeniu elementarnym e=e₀ proces stochastyczny X(t,e₀) jest funkcją czasu x(t)

Gęstość prawdopodobieństwa:

• jednowymiarowa gęstość prawdopodobieństwa - funkcja f₁(x₁,t₁) dla wartości procesu x₁ w chwili t_1;

• dwuwymiarowa gęstość prawdopodobieństwa - f₂(x₁,t₁ ; x₂,t₂) - gęstość łączna dla wartości procesu x₁ w chwili t₁ i x₂ w chwili t₂;

Wartość oczekiwana procesu stochastycznego X(t) -

E[X(t)]=

Wariancja / dyspersja procesu stochastycznego X(t) -

var[X(t)] = E{[X(t)-m_x(t)]²} =

1.9

Funkcje korelacji własnej procesu stochastycznego X(t) -

K_x(t₁,t₂) = E{[X(t₁)-m_x(t₁)] [ X(t₂)-m_x(t₂)]}=
[x₁-m_x(t₁)][ x₂-m_x(t₂)] f(x₁,t₁,x₂,t₂) dx₁dx₂

Funkcje korelacji wzajemnej między dwoma procesami stochastycznymi X(t) i Y(t) -

K_xy(t₁,t₂) = E{[X(t)-m_x(t₁)][Y(t)-m_y(t₂)]}=
[x-m_x(t₁)][ y-m_y(t₂)] f(x,t₁,y,t₂) dxdy

Unormowana funkcja korelacji wzajemnej procesów stochastycznych -

R_xy(t₁,t₂) =
oraz -1 ≤ R_xy ≤ 1

1.10

Stacjonarny proces stochastyczny i jego własności.

Proces stochastyczny jest stacjonarny, jeśli wszystkie wielowymiarowe gęstości prawdopodobieństwa zależą tylko od wzajemnej odległości chwil t₁, t₂, ... t_n, nie zależą jednak od nich samych. Własności statystyczne stacjonarnego procesu stochastycznego nie zmieniają się przy przesunięciu wszystkich punktów t₁, t₂, ... t_n wzdłuż osi czasu o tę sama wartość τ:

f_n(x₁,t₁; x₂,t_{2; ...;}x_n,t_n) = f_n(x₁,t₁+τ; x₂,t₂+τ_{; ...;}x_n,t_n+τ)

W szczególności gęstość jednowymiarowa procesu stochastycznego stacjonarnego nie zależy od czasu:

f₁(x₁,t₁) = f₁(x₁)

Dwuwymiarowa gęstość prawdopodobieństwa procesu stacjonarnego zależy tylko od różnicy t₂-t₁=τ

f₂(x₁,t₁; x₂,t₂) = f₂(x₁,x₂,τ)

Wartość oczekiwana:

E[X(t)] =
x₁f₁(x₁)dx₁= m_x = const.

Wariancja:

var[X(t)]=
(x₁-m_x)²f₁(x₁)dx₁= σ_x² = const.

Funkcja korelacji własnej (autokorelacji):

K_x(t₁,t₂) =
(x₁-m_x)(x₂-m_x)f(x₁,x₂,τ)dx₁dx₂ = K_x(τ)

Wartość oczekiwana i wariancja są stałe, natomiast funkcja korelacji własnej zależy tylko od różnicy t₁-t₂=τ

1.11

Hipoteza ergodyczna - duża ilość obserwacji przeprowadzonych w dowolnie wybranych momentach czasu nad pojedynczym układem, którego ruch jest stacjonarnym procesem stochastycznym ma takie same własności statystyczne, jakie miałaby ta sama ilość obserwacji dokonanych nad dowolnie wybranymi podobnymi układami w jednym i tym samym momencie czasu.

Procesy ergodyczne - bardzo ważne wśród procesów stacjonarnych, których własności statystyczne obliczane są po zbiorze i po czasie.

Własności statystyczne po zbiorze - własności określane na podstawie obserwacji nad wieloma podobnymi układami w tym samym momencie czasu. (w/w własności statystyczne - wartość oczekiwana, wariancja, funkcja autokorelacji były własnościami po zbiorze)

Własności statystyczne po czasie - własności określane na podstawie obserwacji nad jednym z tych układów dla dostatecznie dużej liczby kolejnych momentów czasu.

1.12

Własności statystyczne po czasie dla procesów ciągłych

• wartość oczekiwana obliczana jako średnia po czasie (dla jednego wylosowanego układu ze zbioru wielu podobnych)

• wariancja obliczana jako średnia po czasie

• funkcja autokorelacji obliczana jako średnia po czasie

• funkcja korelacji wzajemnej dwóch procesów X(t) i Y(t)

Własności statystyczne po czasie dla procesów dyskretnych

• wartość oczekiwana

• wariancja obliczana

• funkcja autokorelacji

• funkcja korelacji wzajemnej

---