INTERPOLACJA
Definicja interpolacji
Dana jest funkcja
,
, dla której znamy tablicę jej wartości
,
,…,
. Należy wyznaczyć funkcję
, taką aby:
,
,…,
.
Ogólnie stosowaną metodą jest dobór funkcji
w postaci kombinacji liniowej
funkcji bazowych
,
,…,
czyli
Wyrażenie to nazywamy wielomianem uogólnionym.
Wprowadzając macierz bazową:
i macierz współczynników
mamy
Warunek, który musi spełnić wielomian interpolacyjny, czyli:
Można zapisać w postaci macierzowej
gdzie
Jeżeli macierz
nie jest osobliwą, to
czyli
.
Interpolacja wielomianowa (wielomiany w postaci naturalnej)
Baza jest złożona z jednomianów
,
,…,
Co daje wielomian interpolacyjny w postaci
który, musi spełniać warunek
Układ ten posiada jedyne rozwiązanie względem
, jeżeli wartości
są między sobą różne. Wynika to z faktu, że wyznacznik macierzy
jest różny od zera
Wady takiego sformułowania:
- interpolacja wielomianowa nie jest zbyt efektywna, ponieważ macierz
jest macierzą pełną (błędy przy odwracaniu oraz czas odwracania)
- macierz
nie zawsze jest dobrze uwarunkowana (może być osobliwa)
Interpolacja Lagrange'a
W interpolacji wielomianowej Lagrange'a dla
węzłów interpolacji
,
,…,
,…,
przyjmuje się następujące funkcje bazowe
Uwaga: w funkcji bazowej
brakuje składnika
.
Wielomian interpolacyjny wyraża się wzorem:
Współczynniki wielomianu Lagrange'a
wyznacza się z układu równań
dla którego macierz
ma postać
Specyficzna struktura macierzy
wynika z faktu, że w punkcie
wszystkie funkcje bazowe oprócz
zerują się, ponieważ w każdej z nich (z wyjątkiem
) występuje czynnik
. Macierz
posiada tylko główną przekątną niezerową i układ równań rozwiązuje się natychmiastowo
Wielomian interpolacyjny Lagrange'a można zapisać w postaci:
Interpolacja Newtona
Przyjmijmy, że funkcja
jest określona za pomocą tablicy
są węzłami interpolacji a
,
,…,
- odpowiadającymi tym węzłom wartościami funkcji
.
Wyrażenia
. . . . . . . . . . . . . . . . .
nazywamy ilorazami różnicowymi pierwszego rzędu.
Analogicznie definiujemy ilorazy różnicowe rzędu drugiego
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ogólnie iloraz różnicowy rzędu
tworzymy z ilorazu różnicowego rzędu
za pomocą wzoru rekurencyjnego
Załóżmy, że funkcja
jest określona tablicą wartości
,
,…,
, gdzie
są węzłami interpolacji. Będziemy poszukiwać innej formy wielomianu interpolacyjnego
zapisanego wzorem
spełniającego warunek
Po przekształceniach otrzymamy nową formę w postaci
gdzie
Wzór ten nosi nazwę wzoru interpolacyjnego Newtona.