wykład interpolacja, INTERPOLACJA


INTERPOLACJA

Definicja interpolacji

Dana jest funkcja 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, dla której znamy tablicę jej wartości 0x01 graphic
, 0x01 graphic
,…, 0x01 graphic
. Należy wyznaczyć funkcję 0x01 graphic
, taką aby:

0x01 graphic
, 0x01 graphic
,…, 0x01 graphic
.

0x01 graphic

Ogólnie stosowaną metodą jest dobór funkcji 0x01 graphic
w postaci kombinacji liniowej 0x01 graphic
funkcji bazowych 0x01 graphic
, 0x01 graphic
,…, 0x01 graphic
czyli

0x01 graphic

Wyrażenie to nazywamy wielomianem uogólnionym.

Wprowadzając macierz bazową:

0x01 graphic

i macierz współczynników

0x01 graphic

mamy

0x01 graphic

Warunek, który musi spełnić wielomian interpolacyjny, czyli:

0x01 graphic
0x01 graphic

Można zapisać w postaci macierzowej

0x01 graphic

gdzie

0x01 graphic
0x01 graphic

Jeżeli macierz 0x01 graphic
nie jest osobliwą, to

0x01 graphic

czyli

0x01 graphic
.

Interpolacja wielomianowa (wielomiany w postaci naturalnej)

Baza jest złożona z jednomianów

0x01 graphic
, 0x01 graphic
,…, 0x01 graphic

Co daje wielomian interpolacyjny w postaci

0x01 graphic

który, musi spełniać warunek

0x01 graphic

Układ ten posiada jedyne rozwiązanie względem 0x01 graphic
, jeżeli wartości 0x01 graphic
są między sobą różne. Wynika to z faktu, że wyznacznik macierzy 0x01 graphic
jest różny od zera 0x01 graphic

Wady takiego sformułowania:

- interpolacja wielomianowa nie jest zbyt efektywna, ponieważ macierz 0x01 graphic
jest macierzą pełną (błędy przy odwracaniu oraz czas odwracania)

- macierz 0x01 graphic
nie zawsze jest dobrze uwarunkowana (może być osobliwa)

Interpolacja Lagrange'a

W interpolacji wielomianowej Lagrange'a dla 0x01 graphic
węzłów interpolacji 0x01 graphic
, 0x01 graphic
,…,0x01 graphic
,…, 0x01 graphic
przyjmuje się następujące funkcje bazowe

0x01 graphic

Uwaga: w funkcji bazowej 0x01 graphic
brakuje składnika 0x01 graphic
.

Wielomian interpolacyjny wyraża się wzorem:

0x01 graphic

Współczynniki wielomianu Lagrange'a 0x01 graphic
wyznacza się z układu równań

0x01 graphic
0x01 graphic

dla którego macierz 0x01 graphic
ma postać

0x01 graphic

Specyficzna struktura macierzy 0x01 graphic
wynika z faktu, że w punkcie 0x01 graphic
wszystkie funkcje bazowe oprócz 0x01 graphic
zerują się, ponieważ w każdej z nich (z wyjątkiem 0x01 graphic
) występuje czynnik 0x01 graphic
. Macierz 0x01 graphic
posiada tylko główną przekątną niezerową i układ równań rozwiązuje się natychmiastowo

0x01 graphic

Wielomian interpolacyjny Lagrange'a można zapisać w postaci:

0x01 graphic
0x01 graphic

Interpolacja Newtona

Przyjmijmy, że funkcja 0x01 graphic
jest określona za pomocą tablicy 0x01 graphic
są węzłami interpolacji a 0x01 graphic
, 0x01 graphic
,…, 0x01 graphic
- odpowiadającymi tym węzłom wartościami funkcji 0x01 graphic
.

Wyrażenia

0x01 graphic

0x01 graphic

. . . . . . . . . . . . . . . . .

0x01 graphic

nazywamy ilorazami różnicowymi pierwszego rzędu.

Analogicznie definiujemy ilorazy różnicowe rzędu drugiego

0x01 graphic

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0x01 graphic

Ogólnie iloraz różnicowy rzędu 0x01 graphic
tworzymy z ilorazu różnicowego rzędu 0x01 graphic
za pomocą wzoru rekurencyjnego

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

Załóżmy, że funkcja 0x01 graphic
jest określona tablicą wartości 0x01 graphic
,0x01 graphic
,…, 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
są węzłami interpolacji. Będziemy poszukiwać innej formy wielomianu interpolacyjnego 0x01 graphic
zapisanego wzorem

0x01 graphic

spełniającego warunek

0x01 graphic
0x01 graphic

Po przekształceniach otrzymamy nową formę w postaci

0x01 graphic

gdzie

0x01 graphic

Wzór ten nosi nazwę wzoru interpolacyjnego Newtona.



Wyszukiwarka