marcinka all, 20021029, INTERPOLACJA


INTERPOLACJA

0x01 graphic

W przedziale 0x01 graphic
danych jest n+1 różnych punktów 0x01 graphic
(węzły interpolacji) oraz wartości funkcji 0x01 graphic
w tych punktach 0x01 graphic
.

Znaleźć 0x01 graphic
, która w węzłach interpolacyjnych ma te same wartości w 0x01 graphic
i przybliża 0x01 graphic
w punktach pośrednich.

Zakłada się klasę funkcji interpolujących i wielomiany algebraiczne, trygonometryczne, funkcje sklejane.

Cel historyczny - zagęszczanie tablic matematycznych, wyprowadzanie całek numerycznych, przybliżonych

Interpolacja wielomianowa

TWIERDZENIE:

Istnieje dokładnie jeden wielomian interpolacyjny stopnia co najwyżej n 0x01 graphic
, który w punktach 0x01 graphic
przyjmuje wartości 0x01 graphic
.

Dowód:

0x01 graphic
(1)

korzystając z n+1 wartości 0x01 graphic
mamy układ równań:

0x08 graphic
0x01 graphic
(2)

n+1 niewiadomych 0x01 graphic

0x01 graphic
(3)

Wyznacznik Vandermande'a 0x01 graphic
, gdy 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
CBDU

0x01 graphic
(4) - dopełnienie algebraiczne elementów i - tej kolumny, j - tego wiersza

Interpolacja Lagrange'a

Jeśli podstawiać (4) do (1) i pogrupować względem 0x01 graphic
, to:

0x01 graphic
(5)

0x08 graphic
0x08 graphic

wielomiany stopnia

co najwyżej n

Jak określić ich postać?

Ponieważ dla każdego węzła zachodzi:

0x01 graphic

zatem:

0x08 graphic
0 dla 0x01 graphic

0x01 graphic

1 dla 0x01 graphic

czyli: a) dla 0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic
- równy jest tożsamościowo 0

b) dla 0x01 graphic

0x01 graphic

nie ma 0x01 graphic

a) 0x01 graphic

0x01 graphic

b) 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
- współczynnik proporcjonalności

j - numer wielomianu

0x08 graphic
Po wyrugowaniu 0x01 graphic
: nie ma 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
oznaczmy

0x01 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic
n+1 czynników
0x01 graphic

jest to wzór interpolacyjny Lagrange'a.

Oszacowanie błędu interpolacyjnego

0x08 graphic
Błąd 0x01 graphic
pochodna

Można go oszacować znając 0x01 graphic
w przedziale 0x01 graphic
- maksymalna wartość

Można pokazać:

0x08 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

najmniejszy przedział zawierający

0x01 graphic

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
; 0x01 graphic

0x01 graphic
zależy od funkcji.

Dobierając węzły interpolacyjne można minimalizować 0x01 graphic

0x01 graphic



Wyszukiwarka