INTERPOLACJA
W przedziale
danych jest n+1 różnych punktów
(węzły interpolacji) oraz wartości funkcji
w tych punktach
.
Znaleźć
, która w węzłach interpolacyjnych ma te same wartości w
i przybliża
w punktach pośrednich.
Zakłada się klasę funkcji interpolujących i wielomiany algebraiczne, trygonometryczne, funkcje sklejane.
Cel historyczny - zagęszczanie tablic matematycznych, wyprowadzanie całek numerycznych, przybliżonych
Interpolacja wielomianowa
TWIERDZENIE:
Istnieje dokładnie jeden wielomian interpolacyjny stopnia co najwyżej n
, który w punktach
przyjmuje wartości
.
Dowód:
(1)
korzystając z n+1 wartości
mamy układ równań:
(2)
n+1 niewiadomych
(3)
Wyznacznik Vandermande'a
, gdy
dla
CBDU
(4) - dopełnienie algebraiczne elementów i - tej kolumny, j - tego wiersza
Interpolacja Lagrange'a
Jeśli podstawiać (4) do (1) i pogrupować względem
, to:
(5)
wielomiany stopnia
co najwyżej n
Jak określić ich postać?
Ponieważ dla każdego węzła zachodzi:
zatem:
0 dla
1 dla
czyli: a) dla
,
- równy jest tożsamościowo 0
b) dla
nie ma
a)
b)
- współczynnik proporcjonalności
j - numer wielomianu
Po wyrugowaniu
: nie ma
oznaczmy
n+1 czynników
jest to wzór interpolacyjny Lagrange'a.
Oszacowanie błędu interpolacyjnego
Błąd
pochodna
Można go oszacować znając
w przedziale
- maksymalna wartość
Można pokazać:
najmniejszy przedział zawierający
gdzie
;
zależy od funkcji.
Dobierając węzły interpolacyjne można minimalizować