SPRAWOZDANIE Z ĆWICZENIA A-12.

TEMAT : UGIĘCIE FALI ELEKTROMAGNETYCZNEJ NA PRZESZKODZIE

KOŁOWEJ . STREFY FRESNELA DLA MIKROFAL .

Podstawowe wiadomości

Rozważmy falę kulistą wychodzącą ze źródła A i padającą na otwór kołowy w przesłonie płaskiej P. Interesuje nas natężenie fali w punkcie B leżącym na osi symetrii otworu kołowego. ćhcemy obliczyć, jak zależy natężenie fali w tym punkcie od promienia R otworu.

Zasada Huygensa. Każdy element powieszchni falowej można traktować jako żródło fal wtórnych wytwarzające fale kuliste. Powieszchnią falową w dowolnej chwili jest obwiednia wszystkich tych wtórnych fal kulistych.

Zasada superpozycji. Jeżeli do punktu B docierają fale z różnych źródeł, to zaburzenie wypadkowe jest równe sumie zaburzeń wytwarzanych w danym punkcie przez fale z poszcze-gólnych źródeł.

Równanie kulistej fali harmonicznej. Źródło punktowe A drgające harmonicznie wytwarza w ośrodku jednorodnym falę kulistą opisaną równaniem

,

gdzie: A-stała, r-odległość od źródła do punktu P, w którym zaburzenie ma wartość ψ(r),

ω-częstość kołowa drgań, k-liczba falowa, i = √-1.

Zgodnie z zasadą Huygensa i zasadą superpozycji zaburzenie w punkcie B można traktować jako sumę zaburzeń pochodzących od fal kulistych wytworzonych na wszystkich elementach dSotworu kołowego. Drgania na tych elementach mają różne fazy, ponieważ są to drgania wytworzone przez falę kulistą pochodzącą z punktu A, a długości dróg od punktu A do różnych elementów dS są różne. Jeśli z dwóch różnych elementów powieszchni otworu drgania do punktu B dochodzą w tej samej fazie, to wypadkowe drgania w punkcie B mają amplitudę większą niż drgania składowe, a jeśli w przeciwfazie, to wzajemnie się wygaszają.

W punkcie B różnica faz Δϕ między zaburzeniami przechodzącymi przez punkt 0 i przez element dS jest proporcjonalna do różnicy dróg Δl

,

gdzie: Δl = ( l₁ + l₂ ) - ( x + y ) .

Rozpatrując w punkcie B zaburzenia dochodzące różnymi drogami można zauważyć, że amplituda zaburzenia wypadkowego rośnie dopóty, dopóki różnica faz nie przekroczy π. Cały obszar otworu daje się podzielić na takie strefy, w obrębie których różnica faz nie zmienia się więcej niż o π. Strefy te noszą nazwę stref Fresnela.

1.

Kolejne promienie R_n stref można wyznaczyć z równania:

.

Po uwzględnieniu, że

,

otrzymuje się warunek, który muszą spełniać promienie stref:

.

Równanie to pozwala wyznaczyć promienie stref Fresnela dla przesłony umieszczonej w odle-głości x od źródła i w odległości y od punktu obserwacji. Są one równe

.

Wypadkowe zaburzenia pochodzące z dwóch kolejnych stref różnią się w fazie prawie o π

i prawie wygaszają się wzajemnie.

Można więc wykonać taką przesłonę, w której wszystkie parzyste (lub nieparzyste) strefy będą zasłonięte.

Zaburzenia dochodzące do punktu B przez strefy nie zasłonięte będą się wówczas sumowały. Amplituda fali w punkcie B będzie większa niż wtedy, gdyby fala przechodziła przez cały otwór, bez zasłoniętych stref. Można więc powiedzieć, że układ z w/w rysunku skupia falę w punkcie B. Zachowuje się tak jak soczewka skupiająca i z pewnym przybliżeniem spełnia równanie soczewki

,

gdzie: x-odległość przedmiotu od soczewki, y-odległość obrazy od soczewki, f-ogniskowa soczewki. Dlatego taki układ przesłon nosi nazwę soczewki Fresnela.

Wartość zaburzenia w płaszczyźnie ekranu na elemencie dS wynosi

.

Element dS, do którego dotarła fala stał się źródłem nowej fali kulistej o tych samych parame-trach (ω,k), które ma fala pierwotna i o amplitudzie proporcjonalnej do powieszchni dS i do amplitudy fali pierwotnej na elemencie dS.

Nowa fala wytwarza w punkcie B zaburzenie:

.

Po podstawieniu otrzymuje się :

.

Ponieważ wyrażenie to ma taką samą wartość dla wszystkich elementów dS leżących na pier-ścieniu o promieniu r i szerokości dr, więc można przyjąć, że

dS = 2πr dr .

Równanie fali w punkcie B otrzymuje się sumując zaburzenia pochodzące od wszystkich pierścieni składowych od r = 0 do r = R :

,

gdzie : .

Funkcja ψ_B zależy harmonicznie od czasu :

.

A(r) jest amplitudą funkcji ψ_B . Jest to liczba zespolona, a jej moduł wynosi :

.

Natężenie fali jest proporcjonalne do kwadratu modułu zaburzenia

.

Ze wzoru tego można wyznaczać zależność natężenia fali od promienia otworu dla skończo-nych odległości x i y.

Wykonanie ćwiczenia

Schemat układu pomiarowego :

Nad. - nadajnik, Z - zasilacz, K - układ kluczujący, Odb. - odbiornik, V - miliwoltomierz napięcia zmiennego, E - element badany, Osc. - oscyloskop.

1. Pomiar zależności natężenia fali od wielkości otworu w przesłonie płaskiej.

I ~ U

R [cm]	3.5	4	4.5	5	5.5	6	6.5	7	7.5
U [mV] x=y=1m	4.5	10	13.25	20	30	36	46	60	69
U [mV] x=y=1.5	1.0	1.5	2.3	3.2	4	6	8	10.8	14
U [mV] x=y=2m	2	2.5	4.2	4.7	6	7.2	8	9.5	12
R [cm]	8	8.5	9	9.5	10	11	12	13	14
U [mV] x=y=1m	73	87	94	100	97	95	82	59	38
U [mV] x=y=1.5	19	25	31.5	33.5	40	49	64	67	65
U [mV] x=y=2m	13	14	18	21	24	29	34	38	42
R [cm]	15	16	17	18	19	20	21	22	23
U [mV] x=y=1m	19	23	55	77	85	80	52	32	32
U [mV] x=y=1.5	63	55	40	25	11	3	8	20	41
U [mV] x=y=2m	43	42	41	36	31.5	22	13	6.5	1.3
R [cm]	24	25	26	27	28	29	30	31
U [mV] x=y=1m	50	60	49	38	38	51	62	55
U [mV] x=y=1.5	55	60	50	33	17.5	11	12	31
U [mV] x=y=2m	5	15	27	36	40	39	34	29

ΔR = ± 0.5 cm ; ΔU = 1.5 % ( zakresu pomiarowego ) .

Dla x = y = 1m.

Z obliczeń: Z wykresu:

R₁ = ( 12.5 ± 0.5 ) cm, R₁ = ( 9.5 ± 0.5 ) cm,

R₂ = ( 18.3 ± 0.5 ) cm, R₂ = ( 15.5 ± 0.5 ) cm,

R₃ = ( 22.4 ± 0.5 ) cm, R₃ = ( 19 ± 0.5 ) cm,

R₄ = ( 25.9 ± 0.5 ) cm, R₄ = ( 22.5 ± 0.5 ) cm,

R₅ = ( 29 ± 0.5 ) cm, R₅ = ( 25 ± 0.5 ) cm,

R₆ = ( 31.8 ± 0.5 ) cm, R₆ = ( 27.5 ± 0.5 ) cm,

R₇ = ( 34.5 ± 0.5 ) cm, R₇ = ( 30 ± 0.5 ) cm.

Dla x = y = 1.5m

Z obliczeń : Z wykresu :

R₁ = ( 15.7 ± 0.5 ) cm, R₁ = ( 13 ± 0.5 ) cm,

R₂ = ( 22 ± 0.5 ) cm, R₂ = ( 20 ± 0.5 ) cm,

R₃ = ( 27.4 ± 0.5 ) cm, R₃ = ( 25 ± 0.5 ) cm,

R₄ = ( 31.6 ± 0.5 ) cm, R₄ = ( 29.5 ± 0.5 ) cm.

Dla x = y = 2m

Z obliczeń : Z wykresu :

R₁ = ( 18.2 ± 0.5 ) cm, R₁ = ( 15 ± 0.5 ) cm,

R₂ = ( 25.7 ± 0.5 ) cm, R₂ = ( 23 ± 0.5 ) cm,

R₃ = ( 31.6 ± 0.5 ) cm, R₃ = ( 28.5 ± 0.5 ) cm.

2. Pomiary rozkładu natężenia fali po przejściu przez soczewkę Fresnela.

Pomiar przy założonej soczewce.

Y[cm]	100	105	110	115	120	125	130	135	140	145	150
U[mV]	57	78	100	103	117	146	150	155	162	185	179
Y[cm]	155	160	165	170	175	180	185	190	195	200
U[mV]	170	175	172	158	155	150	142	135	132	120

ΔY = ± 3 cm, ΔU = 1.5 % (zakresu pomiarowego).

U_MAX = ( 185 ± 7.5 ) mV ⇒ Y_m = ( 145 ± 3 ) cm ,

Z obliczeń dla U_MAX i Y_m : Z pomiaru soczewki linijką :

R₁ = ( 14 ± 3 ) cm, R₁ = ( 13 ± 0.5 ) cm,

R₂ = ( 19.8 ± 3 ) cm, R₂ = ( 18.5 ± 0.5 ) cm,

R₃ = ( 24 ± 3 ) cm, R₃ = ( 22.5 ± 0.5 ) cm,

R₄ = ( 28.2 ± 3 ) cm, R₄ = ( 26 ± 0.5 ) cm,

R₅ = ( 31.5 ± 3 ) cm, R₅ = ( 29 ± 0.5 ) cm,

R₆ = ( 34.6 ± 3 ) cm, R₆ = ( 32 ± 0.5 ) cm,

R₇ = ( 37.5 ± 3 ) cm, R₇ = ( 34.5 ± 0.5 ) cm,

R₈ = ( 40 ± 3 ) cm. R₈ = ( 37 ± 0.5 ) cm .

Pomiar bez soczewki.

Y[cm]	100	105	110	115	120	125	130	135	140	145	150
U[mV]	42	40	36.5	34	32.5	35	32	29.5	28.5	28	26.5
Y[cm]	155	160	165	170	175	180	185	190	195	200
U[mV]	25.5	24.5	21.5	22	19.5	20	20.5	19	17.5	19

ΔY = ± 3 cm, ΔU = 1.5 % (zakresu pomiarowego).

3. Sprawdzenie, czy dla soczewki Fresnela spełnione jest równanie soczewki.

x = 1m y = 1.45m U_MAX = 185 mV Δx,Δy = ± 3 cm,

x = 1.25m y = 1.22m U_MAX = 160 mV ΔU = 1.5 %.

x = 1.5m y = 1.05m U_MAX = 170 mV

x = 1.75m y = 0.96m U_MAX = 140 mV

x = 2m y = 0.91m U_MAX = 115 mV

Równanie soczewki : x ^-1 + y ^-1 = f ^-1

u = x^-1	v = y^-1	c = f^-1
1	0.69	1.69
0.8	0.82	1.62
0.7	0.95	1.65
0.6	1	1.6
0.5	1.1	1.6

Wnioski

1. Na podstawie uzyskanych wyników można stwierdzić, że badana soczewka została zaprojektowana dla odległości x = y = 1.5m.

2. Przy pomiarze promieni stref Fresnela rozbieżności między pomiarami a obliczeniami teoretycznymi mogą wynikać z nieliniowości detektora. 6.

---