GRANICA, CIĄGŁOŚĆ I POCHODNA FUNKCJI, GRANICA, CIĄGŁOŚĆ I POCHODNA FUNKCJI


XII. GRANICA, CIĄGŁOŚĆ I POCHODNA FUNKCJI

1. Granica funkcji w punkcie
Def.
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 granicę g i piszemy
0x01 graphic

wtedy, gdy dla każdego ciągu (xn) zbieżnego do x0 ,
którego wyrazami są argumenty funkcji f różne od x0 ,
ciąg (f(xn)) odpowiednich wartości tej funkcji jest zbieżny do g.

Twierdzenia o granicach funkcji

  • 0x01 graphic
    0x01 graphic
    0x01 graphic

  • 0x01 graphic
    0x01 graphic
    0x01 graphic

  • 0x01 graphic
    0x01 graphic
    0x01 graphic

  • 0x01 graphic
    0x01 graphic
    0x01 graphic

  • 0x01 graphic
    0x01 graphic
    0x01 graphic

2. Granica niewłaściwa funkcji w punkcie
Def.
Funkcja f ma w punkcie x0 granicę niewłaściwą ∞, co zapisujemy
0x01 graphic

wtedy, gdy dla każdego ciągu (x n) argumentów funkcji f, zbieżnego do x0 o wyrazach
różnych od x0, odpowiadający mu ciąg (f(xn)) wartości funkcji jest rozbieżny do ∞.

3. Granica funkcji w nieskończoności
Def. Mówimy, że funkcja f ma w nieskończoności granicę g, co zapisujemy
0x01 graphic
,
wtedy, gdy dla każdego ciągu (xn) rozbieżnego do nieskończoności
odpowiedni ciąg (f(xn))wartości funkcji f ma granicę g.

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic

4. Ciągłość funkcji
Def.
Mówimy, że funkcja f określona w otoczeniu punktu x0 jest ciągła w punkcie x0,
jeśli ma granicę w tym punkcie równą wartości funkcji, tzn.
0x01 graphic
.
Def. Funkcję ciągłą w każdym punkcie zbioru nazywamy funkcją ciągłą w tym zbiorze.

Def. Mówimy, że funkcja jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie swej dziedziny.

5. Pochodna funkcji
Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x0 , odpowiadającym przyrostowi argumentu
x1 - x0 nazywamy wyrażenie 0x01 graphic
lub przyjmując oznaczenie

x1 - x0 = h iloraz ma postać 0x01 graphic
.


Def. Jeżeli funkcja f określona w otoczeniu punktu x0 ma granicę ilorazu różnicowego
w tym punkcie, to granicę tę nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x0
i oznaczamy symbolem f `(x0). Zachodzi równość
0x01 graphic


Pochodna sumy, iloczynu i ilorazu funkcji

0x01 graphic

0x01 graphic


0x01 graphic


Pochodna funkcji złożonej

Tw. Jeżeli w funkcji złożonej 0x01 graphic
funkcja g ma pochodną g'(x) w punkcie x, a funkcja
h - pochodną h'(u) w punkcie u = g(x), to funkcja złożona 0x01 graphic
ma w punkcie x
pochodną (0x01 graphic
)'(x) i zachodzi wzór
0x01 graphic

6. Pochodne wybranych funkcji

L.p.

Funkcja

Pochodna

6.

0x01 graphic

0x01 graphic

1.

f(x) = c

f '(x) = 0

7.

0x01 graphic

0x01 graphic

2.

y = x

y' = 1

8.

0x01 graphic

0x01 graphic

3.

y = x2

y' = 2 x

9.

0x01 graphic

0x01 graphic

4.

y = x3

y' = 3 x2

10.

0x01 graphic

0x01 graphic

5.

y = xn , n N

y'= n xn-1

11.

0x01 graphic

0x01 graphic

7. Zastosowanie pochodnych
a) badanie monotoniczności funkcji

Tw.1 Jeżeli f' (x) > 0 dla każdego x (a; b), to funkcja f jest rosnąca w przedziale (a; b).
Tw.2 Jeżeli f' (x) < 0 dla każdego x (a; b), to funkcja f jest malejąca w przedziale (a; b).

b) wyznaczanie ekstremum funkcji

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
Tw.1 (warunek konieczny istnienia ekstremum)
Jeżeli funkcja f osiąga ekstremum w punkcie x0 i ma w tym punkcie pochodną,
to 0x01 graphic
.
Tw.2 (warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji)
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu x0, w którym
0x01 graphic
oraz:

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

to funkcja f ma maksimum to funkcja f ma minimum
w punkcie x0. w punkcie x0.


c) wyznaczanie najmniejszej i największej wartości funkcji w przedziale domkniętym
Aby znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji f ciągłej na przedziale
domkniętym 0x01 graphic
należy:

obliczyć f(a) oraz f(b),
− obliczyć wartości f w punktach nieróżniczkowalności,
− obliczyć wartości funkcji f w punktach x, gdzie 0x01 graphic
.
Najmniejsza i największa spośród znalezionych wartości jest zarazem najmniejszą
i największą wartością funkcji w przedziale domkniętym 0x01 graphic
.

d) styczna do krzywej
Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie M = (x0, f(x0)) ma postać:

0x01 graphic

72

i

i



Wyszukiwarka