Analiza matematyczna egzamin I (lato) calki teoria, Wykłady - Studia matematyczno-informatyczne


CAŁKA NIEOZNACZONA.

Całka nieoznaczona funkcji 0x01 graphic
nazywamy rodzinę wszystkich pierwotnych i oznaczamy:

0x01 graphic

0x01 graphic
, gdy 0x01 graphic

Funkcją pierwotną funkcji 0x01 graphic
określonej w przedziale 0x01 graphic
skończonym lub nie nazywamy każdą funkcję różniczkowalną 0x01 graphic
taką, że 0x01 graphic
dla każdego 0x01 graphic
. Jeżeli 0x01 graphic
jest funkcją pierwotną funkcji 0x01 graphic
, to każda inna funkcja pierwotna funkcji 0x01 graphic
jest równa 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
jest pewna stałą. Nie każda funkcja ma funkcję pierwotną. Te, które ją mają nazywamy funkcjami całkowalnymi.

Całki funkcji elementarnych:

Tablica całek:

  1. 0x01 graphic
    0x01 graphic

  2. 0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

  1. 0x01 graphic
    0x01 graphic
    0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

  1. 0x01 graphic
    0x01 graphic

  2. 0x01 graphic

  3. 0x01 graphic
    0x01 graphic

  4. 0x01 graphic

  5. 0x01 graphic
    0x01 graphic

  6. 0x01 graphic

  7. 0x01 graphic

  8. 0x01 graphic
    0x01 graphic
    0x01 graphic

  9. 0x01 graphic
    0x01 graphic
    0x01 graphic

Podstawowe prawa całkowania:

0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
i 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic

Całkowanie funkcji trygonometrycznych.

Całki wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne o postaci:

  1. 0x01 graphic

0x01 graphic

  1. 0x01 graphic

  2. 0x01 graphic

0x01 graphic

  1. 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

można sprowadzić do podstawowych wzorów całkowania, a tym samym obliczać na podstawie następujących reguł:

  1. Całki typu 0x01 graphic
    0x01 graphic
    gdzie 0x01 graphic

    1. Jeżeli n liczbą nieparzystą, to stosujemy podstawienie cos x = t przy obliczaniu pierwszej całki i sin x = t gdy obliczamy drugą całkę.

    2. Gdy n jest liczbą parzystą to mamy do wyboru dwie możliwości:

      1. przekształcić funkcję podcałkową wg wzorów (obniżenie wykładnika potęgi)

0x01 graphic

      1. wykorzystując wzory rekurencyjne :

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

  1. m - liczba nieparzysta 0x01 graphic
    0x01 graphic

  2. n - liczba nieparzysta 0x01 graphic
    0x01 graphic

  3. m, n - parzyste liczby 0x01 graphic
    ( wzory rekurencyjne)

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

  1. Całki typu0x01 graphic
    0x01 graphic
    0x01 graphic

        1. Jeśli m jest liczbą nieparzystą, to podstawiamy cos x = t

        2. Jeśli n jest liczbą nieparzystą, to podstawiamy sin x = t

        3. Jeśli obie liczby są parzyste, to przekształcamy funkcję podcałkową wykorzystując do tego wzory

0x01 graphic

  1. Całki typu 0x01 graphic
    , 0x01 graphic

Obliczamy przez podstawienie nowej zmiennej, zamiast 0x01 graphic
lub odpowiednio 0x01 graphic
.

  1. Całki typu 0x01 graphic
    , 0x01 graphic
    , 0x01 graphic

Obliczamy przez przekształcenie iloczynów wyrażeń podcałkowych na sumę, wg wzorów:

0x01 graphic

Całkowanie funkcji wymiernej.

Funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
(wielomian stopnia k-tego)

Uwaga:

Każdy wielomian 0x01 graphic
może być przedstawiony w postaci iloczynu dwumianów 0x01 graphic
lub trójmianów 0x01 graphic

0x01 graphic
- rozkład na ułamki proste w postaci

0x01 graphic
,0x01 graphic

0x01 graphic

  1. Jeżeli 0x01 graphic

to:

0x01 graphic

  1. 0x01 graphic
    0x01 graphic
    - rozkład na ułamki proste

  1. 0x01 graphic
    to0x01 graphic

0x01 graphic

  1. 0x01 graphic
    0x01 graphic
    doprowadzenie do pochodnej mianownika i zastosowanie

wzoru na arctg .

tzn

0x01 graphic

Całkowanie funkcji przestępnych (nie algebraicznych).

Do całek funkcji wymiernych sprowadzają się następujące całki (R - funkcja wymierna):

  1. 0x01 graphic

przez podstawienie

0x01 graphic
;

wtedy

0x01 graphic

oraz

0x01 graphic

  1. 0x01 graphic

przez podstawienie

0x01 graphic
;

wtedy

0x01 graphic

  1. 0x01 graphic

przez podstawienie

0x01 graphic
;

wtedy

0x01 graphic

CKA OZNACZONA.

Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną.

Jeżeli przez F(x) oznaczymy funkcję pierwotną funkcji f(x), ciągłej w przedziale 0x01 graphic
, tzn. jeżeli F'(x) = f(x), to ma miejsce wzór

0x01 graphic
,

przy czym różnica F(b) - F(a) nie zależy od stałej całkowania C.

Prawą stronę równania oznacza się symbolem

0x01 graphic
lub 0x01 graphic
.

Jeżeli u, v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną, to

0x01 graphic
.

Jest to wzór na całkowanie przez części dla całek oznaczonych.

Jeżeli g'(x) jest funkcją ciągłą, g(x) funkcją rosnącą w przedziale 0x01 graphic
, a f(u) funkcją ciągłą w przedziale 0x01 graphic
to zachodzi następujący wzór:

0x01 graphic
.

Jest to wzór na całkowanie przez podstawienie dla całek oznaczonych.

Definicja całki oznaczonej.

Jeżeli:

0x01 graphic
= F(x) + c,

to

0x01 graphic

W interpretacji geometrycznej całka oznacza pole obszaru płaskiego zawartego między linią linią y=f(x)0x01 graphic
0 i osią X: 0x01 graphic

Właściwości całek oznaczonych.

a) Z definicji całki mamy:

0x01 graphic

b) Warunki:

c) Całka sumy równa się sumie całek, co można zapisać:

0x01 graphic
.

Powyższy wzór jest to tzw. addytywność całki względem funkcji podcałkowej.

d) Całka oznaczona posiada własność liniowości.

Wzór ten należy rozumieć w ten sposób, że z istnienia całek po prawej stronie wynika istnienie całki po lewej stronie oraz podana równość.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Analiza matematyczna I (lato) teoria, Wykłady - Studia matematyczno-informatyczne
Kolokwium1 - Nowak(wyklad), Studia WIT - Informatyka, Programowanie C
Wykład (6), Studia - administracja, Informatyka prawnicza, Informatyka prawnicza
Wykład (1), Studia - administracja, Informatyka prawnicza, Informatyka prawnicza
Wykład (2), Studia - administracja, Informatyka prawnicza, Informatyka prawnicza
Wykład (5), Studia - administracja, Informatyka prawnicza, Informatyka prawnicza
Analiza Matematyczna, INFORMATYKA - ROK 1, Analiza matematyczna
Wykład (7), Studia - administracja, Informatyka prawnicza, Informatyka prawnicza
Kolokwium1 - Nowak(wyklad), Studia WIT - Informatyka, Programowanie C
Analiza matematyczna 2 - opracowane zagadnienia na egzamin, Wykłady - Studia matematyczno-informatyc
ZAGADNIENIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ, Fizyka Medyczna, STUDIA, Rok I, Semestr II, Analiza matematyczn
Analiza matematyczna. Wykłady CAŁKI NIEOZNACZONE
Analiza matematyczna Wykłady, CAŁKI NIEOZNACZONE
6643194-sciaga-calki, Studia, Matematyka, Analiza Matematyczna
całki, Studia PWr, II semestr, Analiza matematyczna 2.2B
TEORIA OK, studia, Budownctwo, Konstrukcje betonowe Projekty Ćwiczenia Wykłady, Konstrukcje Betonowe
Analiza matematyczna 1 teoria wyklady id 60885

więcej podobnych podstron