BELKA ZŁOŻONA ŁĄCZONA NA GWOŹDZIE

Zaprojektować jednoprzęsłową belkę stropową o przekroju dwuteowym wykonaną z elementów z drewna sosnowego łączonych na gwoździe.

Dane:

Rozpiętość belki L = 4,50 m,

Klasa użytkowania 1 Rozstaw belek a = 1,0 m

Gwoździe okrągłe, gładkie. k_sys = 1,0

1.Właściwości drewna (PN-EN 338:2009)

Klasa wytrzymałości C30

Wytrzymałość charakterystyczna na zginanie f_m,k = 30 MPa = 3,0 kN/cm²

Wytrzymałość charakterystyczna na ścinanie f_v,k = 4,0 MPa = 0,4 kN/cm²

Wytrzymałość charakterystyczna na rozciąganie f_t,0.k = 18 MPa = 1,8 kN/cm²

Wytrzymałość charakterystyczna na ściskanie

w poprzek włókien f_c,90,k = 2,7 MPa = 0,27kN/cm²

Średni moduł sprężystości wzdłuż włókien E_0,mean = 12 GPa = 1200 kN/cm²

5% kwantyl modułu sprężystości

wzdłuż włókien E_0,05 = 8,0 GPa = 800 kN/cm²

Gęstość charakterystyczna ρ_k = 380 kg/m³

Gęstość średnia ρ_m = 460 kg/m³

2. Kombinacje oddziaływań, maksymalne siły przekrojowe

a) stan graniczny użytkowalności

Obciążenia charakterystyczne:

- stałe G_k = g_kxa = 0,8x1,0 = 0,8 kN/m

- użytkowe Q_k = q_kxa = 1,5x1,0 = 1,50 kN/m

b) stan graniczny nośności

Należy przyjąć mniej korzystną z dwu kombinacji podstawowych:

(EC0 - 6.4.3.2 wz. 6.10a i 6.10b)

W tym przypadku:

F_SGN = 3,168 kN/m

Dla 1 klasy użytkowania współczynniki modyfikujące k_mod wynoszą (EC5 - tabl. 3.1):

• dla obciążenia stałego k_mod,st = 0,6

• dla obciążenia średniotrwałego k_mod,śr = 0,8

Obciążenia obliczeniowe:

- stałe g_d = γ_GxG_k = 1,35x0,8 = 1,08 kN/m

- użytkowe p_d = γ_Qx Q_k = 1,5x1,50 = 2,25 kN/m

Miarodajna kombinacja obciążeń odpowiada maksymalnej wartości:

max
max

Miarodajna jest pełna kombinacja obciążeń i współczynnik modyfikujący odpowiadający obciążeniu średniotrwałemu (o najkrótszym okresie trwania w przyjętej kombinacji obciążeń) (EC5 - 3.1.3(2)), tj. k_mod = 0,8.

Rozpiętość obliczeniowa: l_o = 1,05l = 1,05x4,50 = 4,725 m.

Maksymalny moment zginający M_d = 0,125x3,168x4,725² = 8,8409kNm ≈ 884KNcm

Maksymalna siła poprzeczna V_d = 0,5x3,168x4,725 = 7,48 kN

3. Dobór przekroju belki

Przyjęto gładkie gwoździe o średnicy d = 4,5 mm i średnicy główki d_h = 10,5 mm. (Tablica Z-7.4.1-1 PN-B-03150:2000),

Przed osadzeniem gwoździ należy nawiercać otwory, jeżeli grubość elementów drewnianych jest mniejsza niż:

(EC5 - 8.3.1.2(6))

t ≥ 31,5 mm

Przyjęto grubość półki 45 mm (osadzanie gwoździ bez nawiercania otworów).

Długość zakotwienia gwoździa l_pen powinna wynosić co najmniej 8d (8.3.1.2.(1))

Przyjęto: l_pen= L_gw - t - 1mm

Minimalna długość gwoździa L_gw (gdy l_pen = 8d):

L_gw ≥ l_pen +t + 1 mm;

L_gw ≥ 8x4,5 +45 +1 = 82 mm.

Przyjęto gwoździe 45/100, d_h = 10,5 mm

Rozstaw gwoździ wzdłuż włókien:

(Tablica EC5- 8.2 dla ρ_k ≤ 420 kg/m³ i α = 0^o)

a_1min = (5 + 5cosα)d = 10d=10x4,5 = 45 mm,

Przyjęto a₁ = 60 mm; Gwoździe będą wbijane w dwóch szeregach (n_sz = 2).

Równoważny rozstaw gwoździ teoretycznie rozłożonych w jednym szeregu:

s₁ = a₁/n_sz = a₁/2 = 30 mm z przesunięciem o d wzdłuż włókien.

UWAGA: Jeżeli a₁ < 14 d, nośność gwoździ należy wyznaczać uwzględniając efektywną liczbę łączników n_ef, z wyjątkiem gwoździ przesuniętych o co najmniej d w poprzek włókien (EC5 - 8.3.1.1(8)).

Minimalna szerokość środnika:

b_w,min = (n_sz - 1)a₂ +2a_4c

Minimalny rozstaw gwoździ w poprzek włókien a₂ wynosi 5d oraz minimalna odległość od boku nie obciążonego a_4c wynosi także 5d (EC5 - tabl.8.2), stąd:

b_w,min = 15d = 15x4,5 = 67,5 mm.

Przyjęto środnik o grubości b_w = 100 mm

Przyjęte wymiary przekrojów elementów belki:

- półki 2 x 4,5x160 (PN-75/D-96000)

- środnik 100x200 (PN-75/D-96000)

Gwoździe 4,5/100 wbijane w dwóch szeregach d_h = 10,5 mm.

4. Charakterystyka przekroju

Pole powierzchni:

- półki A_f = 16,0x4,5 = 72,0 cm²

- środnika A_w = 20,0x10,0 = 200,0 cm²

Moment statyczny półki S_f:

z₁ = (h_f + h_w)/2 = (4,5 + 20)/2 = 12,25 cm

S_f = A_fxz₁ = 72x12,25 = 882,0 cm³

5. Efektywne momenty bezwładności przekroju

Moduł podatności złączy w stanie granicznym użytkowalności (SGU) (tablica EC5 -7.1 - gwoździe osadzane bezpośrednio)

K_ser = ρ_m^1,5d^0,81/30 = 460^1,5x4,5^0,8/30 = 822,5 N/mm = 10,954 kN/cm

Moduł podatności złączy w stanie granicznym nośności (SGN)

K_u = 2/3K_ser =2x8,225/3 = 7,302N/cm

Współczynnik redukcyjny w stanie granicznym użytkowalności:

Efektywny moment bezwładności w stanie granicznym użytkowalności:

Współczynnik redukcyjny w stanie granicznym nośności:

Efektywny moment bezwładności w stanie granicznym nośności:

6. Stan graniczny użytkowalności

Ugięcie końcowe belki (EC5 - 2.2.3(5)):

u_fin = u_fin,G + u_fin,Q = u_inst,G (1+k_def) +u_inst,Q(1+ψ_2,1k_def)

gdzie:

u_fin - ugięcie końcowe,

u_inst - ugięcie chwilowe,

k_def - współczynnik zależny od klasy użytkowania

ψ_2,1 - wspołczynnik quasi-stałej wartości oddziaływania zmiennego ψ_2,1 = 0,3 (EN0 - Tablica A.1.1)

Dla klasy użytkowania 1: k_def= 0,60 (EC5 -tabl. 3.2)

Ugięcia chwilowe (EC5 -NA.4) .

gdzie:

u_M - ugięcie od momentu zginającego,

u_V - ugięcie od siły poprzecznej,

H - całkowita wysokość przekroju

L - rozpiętość belki.

η₁ - współczynnik wg Tablicy EC5 - NA 1.

Tablica NA.1 Współczynniki η₁ do uwzględnienia wpływu sił poprzecznych

na ugięcia belek dwuteowych i skrzynkowych

Belki z drewna					Belki z drewna I materiałów drewnopochodnych
bw/bf'^]	1,00	0,50	0,33	0,25	0,33	0,25	0,125
η1	19,2	30,0	40,0	51,0	33,0	48,0	90,0
^1) bw, bf - szerokości, odpowiednio: pasa i środnika

H = 2h_f + h_w = 2x4,5 + 20 = 29 cm.

L/h= 472,5/29 = 16,29 i b_w/b_f = b₂/b₁ = 0,625

=

= 0,273(1+0,6) + 0,512(1+0,3x0,6) = 0,987cm

u_lim = 472,5/300 = 1,575 cm > u_fin

7. Stan graniczny nośności

7.1 Obciążenie łączników

Należy sprawdzić warunek (wg EC5 - B5) :

Wytrzymałość charakterystyczna na docisk gwoździa do drewna (gwoździe bez nawierconych otworów) (EC5 - 8.3.1.1(5)):

f_h,1,k =f_h,2,k = 0,082ρ_kd^-0,3 = 0,082x380x4,5^-0,3 = 19,84 MPa = 1,984 kN/cm²

Charakterystyczny moment uplastycznienia łącznika (EC5 - 8.3.1.1(4)):

M_y,Rk = 0,3f_ud^2,6 = 0,3x 600x4,5^2,6 = 8988 Nmm = 0,899 kNcm

Złącze jednocięte (EC - Rys. 8.4a)

Nośność charakterystyczną gwoździ przy obciążeniu poprzecznym wyznaczono ze wzorów 8.6a - 8.6f (EC5). Nośności gwoździ odpowiadające wzorom 8.6a i 8.6b oraz wartości pierwszego składnika wzorów 8.6c - 8.6f, odpowiadającego teorii Johansena, wyznaczono podstawiając:

t₁ = h_f= 4,5 cm; t₂= l_pen = l - t - 1mm = 100 - 45 -1= 54 mm = 5,4 cm d=0,45cm; β = 1 oraz wyznaczone wyżej wartości f_h,k = f_h,1,k = f_h,2,k i M_y,k.

Drugi składnik wzorów 8.6 c-f wyraża udział w nośności efektu liny, co pozwala uwzględnienie części nośności gwoździa na wyciąganie F_ax,Rk. Udział efektu liny w przypadku gwoździ okrągłych jest ograniczony do 15 % części odpowiadającej teorii Johansena. (EC5 - 8.2.2(2)).

Nośność gwoździ wg teorii Johansena:

F_v,Rk,b =F_J,v,Rk,b = f_h,2,kt₂d = 1,984x5,4x0,45 = 4,822 kN

Nośność charakterystyczną gwoździ gładkich na wyciąganie F_ax,Rk wyznacza się ze wzoru (EC5 wz.8.24):

t_pen = 5,4 cm, t = h_f = 4,5 cm, d_h = 10,5 mm = 1,05 cm.

(EC5 wz.8.25)

(EC5 wz.8.26)

W przypadku długości zakotwienia gwoździ gładkich mniejszej niż12d nośność gwoździa na wyciąganie należy pomnożyć przez (t_pen/4d - 2) (EC5 - 8.3.2(7)).

W tym przypadku: t_pen/d = 5,4/0,45 = 12 , stąd:

Ostatecznie:

1/4xF_ax,Rk = 0,25x0,701 = 0,176 kN

Minimalna wartość części nośności charakterystycznej gwoździ wg teorii Johansena wynosi F_j,v,Rk,f = 1,457 kN.

Dopuszczalny 15 % udział nośności na wyciąganie

0,15x F_i,v,Rk,f = 0,15x1,457 = 0,224kN > 0,176 kN.

Nośność charakterystyczna gwoździa jest minimalną wartością ze wzorów:

F_v,Rk = 1,633 kN

Nośność obliczeniowa:

Obciążenie łącznika:

;

7.2 Naprężenia normalne

a) naprężenia w osi pasa rozciąganego:

b) naprężenia na zewnętrznej krawędzi półki:

c) naprężenia na krawędzi środnika:

7.3 Maksymalne naprężenia ścinające

8. Docisk na podporach, liczba i rozmieszczenie łączników

Wyznaczenie długości oparcia belki przy założeniu równomiernego rozkładu naprężeń prostopadłych do włókien (docisku):

stąd:

Przyjęto konstrukcyjnie l_op = 10 cm

Rzeczywista długość belki L_r:

L_r = l + 2l_op = 450 + 2x10 = 470 cm

L_r = a₁(n_rz - 1) + 2a_3tmin

gdzie:

n_rz - liczba rzędów gwoździ

a₁ = 6 cm a_3tmin = (10 + 5cosα)d = 15d = 15x0,4,5 = 6,75 cm (EC5 - tabl. 8.2)

(a_3t,max = 40d)

Maksymalna liczba rzędów gwoździ w belce:

Przyjęta liczba rzędów gwoździ: n_rz = 77

Sprawdzenie odległości między skrajnymi łącznikami i końcem (czołem) belki:

Ponadto:

a_2,min = 5d = 5x4,5 = 22,5 mm (EC5-tabl.8.2). Przyjęto a₂ = 30 mm.

a_4,c,min = 5,d = 5x4,5 = 22,5 mm (EC5-tabl.8.2). Przyjęto a_4,c = 35 mm.

(a₂ + 2a_4,c = b_w)

Łączna liczba gwoździ: 77x2x2 = 308.

Procentowe wykorzystanie granicznych wartości ugięć i nośności w zależności od wysokości środnika h_w i rozstawu gwoździ a₁

hw	a1	SGN	SGU
				ufin/ulim	Fv/Fv,Rd	σ1t/ft,d	σ1m/fm,d	σ2m/fm,d	τmax/fv,d
cm		%
20	6	62,7	50,1	24,8	21,9	31,3	16,7
		12	78,8	78,5	19,5	20,6	39,5	17,9
		18	90,3	96,9	16,0	19,7	44,8	18,6
	17,5	6	81,6	60,0	29,7	27,2	36,5	18,3
		12	104,3	95,9	23,8	26,4	47,0	19,6
		18	120,9	119,9	19,8	25,8	54,0	20,4

7

10

h_f

z

y

b_f

16

10

b_w

h_f

h_w

4,5

4,5

20

z₁=12,25

---