PROMIENIOTWÓRCZOŚĆ

Cel: wyznaczenie współczynnika absorpcji promieniowania γ dla danego materiału oraz grubości połówkowej.

Przyrządy: zestaw typu POLON, żródło promieniowania jonizującego.

Wprowadzenie teoretyczne

Zjawisko promieniotwórczości polega na spontanicznej przemianie jąder atomowych danego pierwiastka na jądra atomowe innego pierwiastka z równoczesnym wypromieniowa­niem cząstek α (alfa) lub β (beta). Rozpadowi temu towarzyszy najczęściej promieniowanie natury elektromagnetycznej zwane promieniowaniem γ (gamma).

Promieniowanie α jest to emisja jądra atomu helu, skutkiem czego jądro pierwiastka promieniotwórczego przekształca się w jądro innego pierwiastka, zgodnie z zapisem:

Promieniowanie β ma charakter bardziej złożony. Możemy mieć do czynienia z promie­niowaniem β^- - emisja elektronów i promieniowaniem β⁺ - emisja pozytonów. Rozpady te przedstawimy w postaci:

lub

Jądra atomowe składają się z neutronów i protonów, a więc emisja cząstek β musi być związana z przemianami tych nukleonów w jądra pierwiastków promieniotwórczych. W jądrach tych zachodzą reakcje przemian nukleonów z jednoczesną emisją elektronów lub pozy­tonów poza jądro atomowe. W przypadku rozpadu β^- w jądrze atomowym zachodzi przemiana neutronu w proton zgodnie ze wzorem:

a w rozpadzie β⁺ protonu w neutron:

W obu wypadkach następuje również emisja cząstek zwanych neutrinem, lub antyneu­trinem . Są to cząstki elektrycznie obojętne, o własnym momencie pędu (spinie) „połówkowym,” masie spoczynkowej równej zero i poruszające się z szybkością równą szyb­kości światła w próżni. Dzięki swoim własnościom emisja ich nie wywołuje żadnych zauwa­żalnych zmian w otaczającym jądra promieniotwórcze środowisku. Mówimy, że neutrina nie oddziaływują lub oddziaływują bardzo słabo z materią.

Promieniowanie γ jest promieniowaniem elektromagnetycznym towarzyszącym prze­mianom α i β i nigdy nie występuje samodzielnie. Powstałe po rozpadzie α lub β jądra ato­mowe są najczęściej w stanie wzbudzonym. Nadmiar energii wypromieniowują w postaci kwantu promieniowania elektromagnetycznego będącego promieniowaniem γ.

Podstawowe prawo rozpadu promieniotwórczego stwierdza, że liczba jąder izotopów promieniotwórczych rozpadająca się w jednostce czasu, jest proporcjonalna do całkowitej liczby istniejących jąder. Matematycznie prawo to możemy przedstawić w postaci:

dN = - λ⋅N dt (1)

znak „-” określa ubytek jąder atomów izotopu promieniotwórczego.

Po scałkowaniu tej zależności otrzymamy:

(2)

gdzie: N - liczba jąder w chwili t,

N_o - liczba jąder w chwili t = 0,

λ - stała rozpadu.

Istnieje taki czas t = T po upływie którego liczba jąder danego izotopu promienio­twórczego zmniejsza się o połowę. Stan ten przedstawia równanie:

stąd otrzymamy:

(3)

Graficznie prawo rozpadu przedstawia rys.1. Czas T nazywamy czasem połowicznego zaniku.

Rys.1. Wykres funkcji rozpadu

Istnieje jeszcze jedna wielkość charakteryzująca własności jąder promieniotwórczych, jest nią średni czas życia τ. Średnim czasem życia określamy sumę czasów życia wszystkich jąder promieniotwórczych podzieloną przez ich liczbę początkową. Wielkość tą możemy związać z czasem k połowicznego zaniku i stałą rozpadu zależnością:

(4)

Aktywnością preparatu promieniotwórczego nazywamy liczbę przemian jądrowych zacho­dzących w nim w jednostce czasu. Matematycznie napiszemy to w postaci

(5)

Jak widać z zależności (5) aktywność jest wprost proporcjonalna do liczby jąder promie­niotwórczych. W miarę trwania procesu promieniotwórczego ilość rozpadów zmienia się, ponieważ zmniejsza się zgodnie z prawem rozpadu liczba jąder promieniotwórczych, a więc . W układzie SI jednostką aktywności jest bekerel (Bq). Bekerel jest to aktywność ciała promieniotwórczego, w którym jedna samoistna przemiana jądrowa zachodzi w czasie 1s, Jednostką aktywności spoza układu SI jest kiur, 1 Kiur (1 Ci) jest aktywnością prepa­ratu promieniotwórczego, w którym liczba rozpadów zachodząca w 1 s wynosi 3,7⋅10¹⁰, czyli 1 Ci = 3,7⋅10¹⁰ Bq.

Do pomiarów (rejestracji) promieniowania jądrowego służą między innymi liczniki Geigera - M*llera. Licznik Geigera-M*llera (G-M) składa się z cylindrycznej katody i anody w postaci metalowej nici przeciągniętej wzdłuż osi cylindra. Katoda jest odizolowana od anody dielektrykiem o dobrych właściwościach izolujących. Przestrzeń między elektrodami jest wypeł­niona gazem rozrzedzonym. Zwykle jest to argon z domieszką par alkoholu. Jedną z pod­staw cylindra stanowi tzw. okienko. Jest to cienka warstwa miki, przez którą do wnętrza licz­nika przedostają się cząstki (Rys.2).

Rys.2. Schemat licznika Geigera - M*llera: 1 - doprowadzenie napięcia zasilającego, 2 - obudowa (izolacja), 3 - cylindryczna katoda, 4 - anoda, 5 - okienko mikowe.

Do elektrod licznika przykłada się napięcie stałe, które wytwarza między nimi pole elektryczne. Cząstka promieniowania wchodząc do wnętrza licznika jonizuje gaz i zapocząt­kowuje wyładowanie lawinowe, które przebiega pod wpływem pola elektrycznego licznika. Wyładowanie to nie trwa długo, gdyż licznik dzięki swoim własnościom (odpowiednia mie­szanina gazów) w czasie rzędu 10^-4 s gasi wyładowanie i ponownie jest gotowy do przyjęcia nowej cząstki. W czasie tego krótkotrwałego wyładowania przez licznik płynie prąd elek­tryczny, który powoduje na włączonym szeregowo z licznikiem oporniku spadek napięcia (rys.3) w postaci impulsu napięciowego. Impulsy te są przez dalsze urządzenia elektroniczne wzmacniane i liczone.

Rys.3. Schemat połączeń obwodu licznika Geigera-M*llera.

Przy posługiwaniu się licznikiem Geigera-M*llera bardzo ważna jest znajomość jego charakterystyki, czyli zależność zarejestrowanych impulsów w jednostce czasu przez licznik od napięcia U przyłożonego między anodą i katodą. Charakterystykę taką przedstawia rys.4.

Rys.4. Charakterystyka napięciowa licznika Geigera-M*llera.

Przy napięciu U_p zaczynają pojawiać się impulsy w liczniku, dlatego napięcie to nazywa się napięciem progu licznika. W miarę wzrostu napięcia rośnie liczba zarejestrowanych impul­sów. Przy napięciu U₁ charakterystyka zagina się i utrzymuje małe nachylenie, aż do napięcia U₂. Przy wyższych napięciach tworzą się w liczniku impulsy wielokrotne i dlatego ich liczba szybko wzrasta. Część krzywej odpowiadająca przedziałowi od napięcia U₁ do U₂ nazywamy plateau (wym. plato) charakterystyki. Długość i nachylenie plateau charakteryzuje dobroć licznika. Im długość jest większa a nachylenie mniejsze tym licznik jest lepszy. Napięcie pracy licznika wybiera się zazwyczaj w połowie przedziału U₁ i U₂.

Promieniowanie jądrowe przechodzące przez materię ulega osłabieniu (pochłanianiu). Osłabienie to ma charakter wykładniczy:

(6)

gdzie: I_o - natężenie promieniowania przed absorbentem,

I - natężenie promieniowania za absorbentem,

x - grubość absorbenta,

μ - liniowy współczynnik absorpcji.

Przy rozpatrywaniu absorpcji promieniowania wprowadzamy pojęcie tzw. grubości połówkowej, czyli takiej grubości absorbenta, która pochłania połowę padającego promienio­wania. Możemy więc napisać, że dla x = D → I = i wówczas

czyli

(7)

Rys.5. Sposób wyznaczania grubości połówkowej D z wykresu pochłaniania (N - N_t)= f (x).

W przypadku rozpadu radioaktywnego, liczba cząstek wysyłanych z preparatu promie­niotwórczego w różnych odstępach czasu nie jest stała, lecz znajduje się w pobliżu pewnej wartości średniej, według prawa wielkości statystycznych. Dlatego przy pomiarach promie­niowania jonizującego należy określić z jak najmniejszym błędem tę wartość średnią. Staty­styczną dokładność pomiarów charakteryzuje średni błąd kwadratowy σ (sigma). Jeżeli liczba pomiarów jest dostatecznie duża to za wartość średniego błędu kwadratowego możemy przyjąć pierwiastek kwadratowy z liczby cząstek N zarejestrowanych w jednym pomiarze w ciągu jednostki czasu, czyli: σ = * .

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie grubości połówkowej i współczynnika absorpcji promieniowania jądrowego danego materiału.

Wykonanie ćwiczenia

1. Dokładnie zapoznać się z instrukcją zestawu POLON.

1. Włączyć zestaw zgodnie z instrukcją, ustawiając napięcie zasilające licznik na 530-600 V.

1. Umieścić preparat promieniotwórczy w komorze pomiarowej licznika G-M.

1. Uruchomić przelicznik P-21 (przycisk: START). Następnie wykonać 5 serii pomiarów po 10 sekund każda, odczytaną liczbę impulsów wpisać do tabeli 1.

1. Blaszki pochłaniające promieniowanie umieszcza się na pojemniku, w którym znajduje się preparat promieniotwórczy. Należy wykonać pomiary dla zestawów od jednej do kilku (zwykle 10) blaszek. Szczegółowych informacji udziela prowadzący zajęcia.

1. Po zakończeniu tej części pomiarów preparat promieniotwórczy wyjmuje się z komory pomiarowej licznika. Następnie należy przeprowadzić 5-krotny pomiar promieniowania tła N_t , również dla czasu 10s.

1. Do sprawozdania z ćwiczenia należy wykonać wykres zależności (N - N_t)= f (x), na papierze milimetrowym. Z wykresu należy odczytać grubość połówkową D.

1. Współczynnik absorpcji (tabela 1) obliczamy ze wzoru (7).

1. Dla każdego pomiaru należy obliczyć średni błąd kwadratowy ze wzoru:

Tabela 1.

Grubość absorbenta	Pomiar tła: N1 = N2 = N3 = N4 = N5 = N t^śr = ........
X [mm]	Liczba impulsów w czasie 10 s [imp/10 s]					NŚR [imp/10 s]	NŚR - Nt^śr [imp/10 s]	D [mm]	μ [1/mm]
	N1	N2	N3	N4	N5
0
0,2
0,4
....
2,0

Literatura

1. M. Skorko: Fizyka, PWN, Warszawa 1979.

1. J. Massalski, M. Massalska: Fizyka dla inżynierów, WNT, Warszawa 1975.

1. H. Szydłowski: Pracownia fizyczna, PWN, Warszawa 1975.

INSTRUKCJA OBSŁUGI ZESTAWU POLON

Zestaw POLON służy do zasilania licznika Geigera-M*llera oraz do formowania impul­sów pochodzących od cząstek jonizujących preparatu promieniotwórczego. Zestaw składa się (patrząc od prawej strony) z: zasilacza wysokiego napięcia ZWN-21, wzmacniacza liniowego WL-21, analizatora impulsów A-22m. Oraz przelicznika impulsów P-21.

Uruchamianie i ustawienie zestawu:

1. Zestaw włącza się czerwonym przyciskiem, umieszczonym przy prawej rękojeści obudowy.

1. Napięcie zasilające licznik ustawiamy za pomocą helipotu (zasilacz wysokiego napięcia ZWN-21) na zakresie 1000 V, które odczytujemy za pomocą woltomierza cyfrowego.

1. Wzmacniacz liniowy WL-21 - ustawione:

- shaping: 0,25 μs

- gain: 40

wciśnięty przycisk „pos”, wzmocnienie w okienku helipotu: 3.

4. Analizator A-22 M - wciśnięty przycisk: channel, oba helipoty w pozycji 10.

5. Przelicznik P-21 uruchamia się przyciskiem START; zliczanie impulsów zatrzymuje: STOP; okienko impulsów kasuje przycisk RESET. Przycisk „ s/m ” - wyłączony, wciśnięte: 10 s oraz T (przycisk niebieski).

Woltomierz cyfrowy - uproszczona instrukcja

1. Wciśnięty zakres pomiarowy: 1000 V.

2. Wciśnięty przycisk: „Auto”.

3. Pozostałe przyciski wyciśnięte.

Prawo przesunięć, inaczej prawo lub reguła Soddy'ego i Fajansa, określa w jaki sposób określony typ przemiany pierwiastka promieniotwórczego wpływa na rodzaj wytworzonego nuklidu:

• W przypadku rozpadu α (przemiany α) powstaje pierwiastek o liczbie atomowej mniejszej o 2 oraz liczbie masowej mniejszej o 4 (przesunięcie w układzie okresowym o 2 miejsca w lewo), np.

• W przypadku rozpadu β^- (przemiany β^-) powstaje - nuklid izobaryczny - jądro pierwiastka o liczbie atomowej większej o 1 oraz tej samej liczbie masowej (przesunięcie w układzie okresowym o 1 miejsce w prawo), np.

• W przypadku rozpadu β⁺ (przemiany β⁺) powstaje - nuklid izobaryczny - jądro pierwiastka o liczbie atomowej mniejszej o 1 oraz tej samej liczbie masowej (przesunięcie w układzie okresowym o 1 miejsce w lewo), np.

Rozkład normalny = rozkład Gaussa

Teoria niepewności pomiaru

Nie istnieją pomiary bezbłędne, których wyniki są absolutnie dokładne i pewne! Każdy wynik realnego pomiaru zawiera błąd, którego wielkość zależy od techniki pomiaru i dokładności użytych przyrządów (np. długość można zmierzyć zwykłym przymiarem z dokładnościa do 1 mm, suwmiarką - do 0.1 mm, śrubą mikrometryczną - do 0.01 mm). Oprócz tego, nawet jeśli powtórzymy starannie pomiar tą samą metodą i tym samym przyrządem, możemy otrzymać różne wyniki, z powodów, których nie da się do końca wyeliminować ani nawet przewidzieć (np. różnice w pomiarach śrubą mikrometryczną średnicy drutu, spowodowane niejednorodnością samego drutu).

Błędy można podzielić na:

systematyczne - przewidywalne, wpływające na każdy wynik pomiaru w ten sam sposób, których przyczynę można poznać i usunąć;

przypadkowe - nieprzewidywalne, pojawiające się w sposób niekontrolowany, chaotycznie wpływające na wyniki pomiaru, nie dające się usunąć (chyba, że przez użycie innej techniki pomiaru).

Skutkiem wpływu na wynik pomiaru wszystkich pojawiających się podczas pomiaru błędów przypadkowych jest niepewność pomiaru.

Jak radzić sobie z błędami przypadkowymi i wynikającą z nich niepewnością pomiaru?

Przede wszystkim pomiary należy powtarzać - pojedynczy wynik pomiaru nie zawiera wiarygodnej informacji o wielkości mierzonej. Jeśli powtarzając pomiar otrzymujemy jednakowe wyniki, to niepewność pomiaru jest mniejsza od dokładności użytego przyrządu i można ją pominąć przy ocenie dokładności pomiaru. Dokładność pomiaru jest wtedy równa dokładności przyrządu (np. klasie miernika elektrycznego).

Co robić, jeśli jednak, pomimo największej staranności, powtarzane pomiary dają różne wyniki? Pozostają do wykorzystania metody statystyczne, co oczywiście oznacza, że pomiar należy powtórzyć wielokrotnie.

Rozważmy przykład wielokrotnego (ponad 1000 razy) pomiaru pewnej wielkości (wyniki zostały wygenerowane numerycznie i niepewność pomiaru jest przesadnie wielka).

Tabela 1. Uporządkowane wyniki wielokrotnego pomiaru pewnej wielkości (*)

wynik  pomiaru	częstość		wynik  pomiaru	częstość		wynik  pomiaru	częstość
36	1		46	89		56	75
37	1		47	155		57	62
38	6		48	168		58	37
39	11		49	185		59	20
40	12		50	181		60	11
41	24		51	193		61	6
42	29		52	165		62	2
43	38		53	156		63	1
44	71		54	113		64	4
45	90		55	94

*) dane wygenerowane programem Galton z serwisu "Wirtualny Wszechświat, modelowanie rzeczywistości": ( www.wiw.pl/modelowanie )

Uporządkowane wyniki zawiera lewa kolumna tabeli 1. Po zaobserwowaniu, że wyniki pomiaru powtarzają się, ilość powtórzeń (częstość) każdego wyniku zapisano w prawej kolumnie tabeli 1. Niektóre wyniki pojawiały się częściej inne rzadziej i tak np. wynik "50" pojawił się 181 razy, "51" - 193 razy, "60" - 11 razy a "63" - tylko 1 raz.

Opracowanie otrzymanych wyników zacznijmy od narysowania rozkładu częstości pojawiania się poszczególnych wyników (zob. rys. 1):

Rys. 1. Rozkład częstości wyników pomiaru - rozkład Gaussa.

Na osi poziomej zaznaczono wszystkie wartości otrzymywane jako wyniki pomiaru, na pionowej - częstość pojawiania się poszczególnych wartości wśród otrzymanych wyników.

Jaki użyteczny wynik otrzymano z tych pomiarów i z jaką dokładnością?

Zauważmy najpierw, że częstości pojawiania się różnych wyników pomiaru rozkładają się dość regularnie wzdłuż krzywej, zwanej czasem, ze względu na kształt, krzywą dzwonową. Jeśli błędy pomiaru są rzeczywiście przypadkowe a ilość wyników pomiaru rośnie, to rozkład częstości zmierza do rozkładu Gaussa:

y = A e-½ (( x - x-) / σ )2

gdzie:   A - wysokość krzywej w maksimum,   x-- położenie maksimum,   σ - odchylenie standardowe (odległość punktu przegięcia od maksimum krzywej, mierzona wzdłuż osi x).

Jaki jest związek parametrów krzywej Gaussa z użytecznym wynikiem pomiaru?

Można się spodziewać, że "najlepszą" wartością otrzymaną w wyniku wielokrotnego pomiaru jest ta, która pojawia się z największą częstością. Ściśle rzecz biorąc, tę "najlepszą" wartość, zwaną wartością oczekiwaną, wskazuje położenie maksimum krzywej Gaussa, przy czym wartość oczekiwana nie musi pokrywać się z żadnym pojedynczym wynikiem pomiaru lecz jest reprezentatywna dla całej serii pomiarów (zob. rys. 1).

Jak można ocenić dokładność serii pomiarów?

Czym dokładniejsze pomiary w serii, tym mniej różnią się one od wartości oczekiwanej (mają mniejszy rozrzut) a zatem krzywa Gaussa jest węższa (w przypadku pomiaru idealnie dokładnego wszystkie wyniki byłyby jednakowe i równe wartości oczekiwanej). W pomiarach mniej dokładnych pojawia się więcej wyników odbiegających od wartości oczekiwanej - krzywa Gaussa jest szersza. Dobrą miarą niepewności pomiaru jest więc, związane z szerokością krzywej, odchylenie standardowe.

Dla dokładniejszego określenia związku między odchyleniem standardowym a niepewnością pomiaru, na wykres krzywej Gaussa, symetrycznie wokół maksimum, zostały naniesione odcinki o długości odpowiadającej pojedynczemu, podwójnemu i potrójnemu odchyleniu standardowemu σ, tworząc przedziały, których środkiem jest wartość oczekiwana x-(zob. rys. 2):

Rys. 2. Odchylenia wyników pomiaru na tle krzywej Gaussa.

Jaka część wszystkich wyników pomiaru mieści się w każdym z przedziałów?

Miarą ilości wyników pomiaru zawartych w wybranym przedziale jest pole ograniczone wykresem krzywej Gaussa w tym przedziale - można je obliczyć jako całkę oznaczoną z funkcji Gaussa w tymże przedziale. Należy obliczyć (lub oszacować numerycznie) całkę oznaczoną w granicach [-∞, +∞] i całki oznaczone w granicach z rys. 2. Porównując wyniki i traktując wartość całki z przedziału [-∞, +∞] jako 100% (albowiem w tym przedziale z pewnością muszą być zawarte wszystkie wyniki pomiaru) stwierdzimy, że w przedziale [x-- σ, x-+ σ] powinno znaleźć się około 68,5% wszystkich wyników pomiaru natomiast w przedziale [x-- 3σ, x-+ 3σ] - ponad 99,7% (zob. rys. 2).

Wynik ten można interpretować w kategoriach prawdopodobieństwa:

Skoro w przedziale [x-- σ, x-+ σ] zawiera się 68,5% wszystkich wyników pomiaru, zatem wybrany losowo wynik, z takim właśnie prawdopodobieństwem będzie pochodzić z tego przedziału. Innymi słowy, odchylenie pojedynczego pomiaru od wartości średniej nie przekroczy odchylenia standardowego, z prawdopodobieństwem 68,5%. Podobnie wnioskujemy, że odchylenie pojedynczego pomiaru nie przekroczy trzech odchyleń standardowych, z prawdopodobieństwem większym niż 99,7% czyli bardzo bliskim pewności. Dlatego, w teorii niepewności pomiaru, trzy odchylenia standardowe interpretuje się jako odchylenie maksymalne serii pomiarów (jest to dobre przybliżenie gdyż na każdy 1000 pomiarów, przeciętnie mniej niż trzy wyniki mogą mieć większe odchylenie).

Czy można zmniejszyć odchylenie serii pomiarów?

Jedynym sposobem jest wielokrotne, staranne powtórzenie pomiaru. Im więcej dokładnych pomiarów, niewiele różniących się od wartości średniej, będzie zawierała seria, tym mniejsze będzie odchylenie serii.

Trzeba pamiętać, aby przed statystycznym opracowniem serii wyników pomiaru, upewnić się, że nie został popełniony błąd systematyczny. Wtedy bowiem wartość oczekiwana może być obarczona błędem, który nie ma wpływu na odchylenie standardowe, np. seria identycznych wyników (zerowe odchylenie standardowe) pomiaru czasu wykonanych "spóźniającym się" stoperem (wszystkie wyniki zaniżone).

Czy za każdym razem trzeba sporządzać rozkład częstości wyników pomiaru w serii a następnie dopasowywać do niego krzywą Gaussa aby otrzymać wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe?

Dokładne wartości parametrów krzywej Gaussa można zastąpić estymatorami tych parametrów, czyli ich wartościami przybliżonymi. Można je obliczyć bez pracochłonnego sporządzania rozkładu częstości i dopasowywania krzywej Gaussa.

Estymatorem wartości oczekiwanej x-jest średnia arytmetyczna, odchylenia standardowego σ - odchylenie średnie kwadratowe:

W praktyce, najwygodniej jest obliczyć wartość średnią i odchylenie standardowe, korzystając z "gotowych" funkcji, np. dowolnego arkusza kalkulacyjnego.

Przykład:

Dwaj eksperymentatorzy zmierzyli wielokrotnie (42 razy) wartość przyspieszenia ziemskiego. Otrzymane przez nich serie wyników, umownie nazwane [a] i [b], uporządkowane malejąco ze względu na częstość, pokazano niżej:

seria [a]:  9.8; 9.8; 9.8; 9.8; 9.8; 9.8; 9.8; 9.8; 9.8; 9.8;   10.0; 10.0; 10.0; 10.0; 10.0; 10.0; 10.0; 10.0; 10.0; 10.0;   9.6; 9.6; 9.6; 9.6; 9.6; 9.6; 9.6;   10.2; 10.2; 10.2; 10.2; 10.2; 10.2; 10.2;   9.4; 9.4; 9.4;   10.4; 10.4; 10.4;   9.2;   10.6.

seria [b]:  9.8; 9.8; 9.8; 9.8; 9.8; 9.8; 9.8; 9.8;   10.0; 10.0; 10.0; 10.0; 10.0; 10.0; 10.0; 10.0;   9.6; 9.6; 9.6; 9.6; 9.6; 9.6;   10.2; 10.2; 10.2; 10.2; 10.2; 10.2;   9.4; 9.4; 9.4; 9.4;   10.4; 10.4; 10.4; 10.4;   9.2; 9.2;   10.6; 10.6;   9.0;   10.8.

Jaką wartość przyspieszenia ziemskiego otrzymał każdy z eksperymentatorów i jaka była dokładność ich pomiarów?

Obliczając średnią arytmetyczną, przy pomocy funkcji ŚREDNIA arkusza Excel (jako estymatora wartości oczekiwanej), otrzymujemy, zarówno dla serii [a] jak i serii [b] ten sam wynik:  x-= 9,9.

Odchylenia standardowe obliczone przy pomocy funkcji ODCH.STANDARDOWE (zaokrąglone do części dziesiątych), wynoszą odpowiednio:  σ[a] = 0,3 oraz  σ[b] = 0,4. Daje to maksymalne odchylenie serii [a] (maksymalny "rozrzut" pomiarów w serii): ± 0,9; nbsp;serii [b]: ± 1,2  - pierwszy eksperymentator mierzył staranniej.

Na rys. 3 przedstawiono, dla porównania, częstości wyników pomiaru dla obu serii i opisane na nich krzywe Gaussa wraz z wartościami parametrów dającymi najlepsze dopasowanie:

Rys. 3. Krzywe Gaussa opisane na dwóch niezależnych seriach [a] i [b] pomiarów różniących się dokładnością.

Widać, że wartości oczekiwane i odchylenia standardowe obu serii, otrzymane jako parametry krzywych Gaussa, są identyczne z obliczonymi wcześniej, przy użyciu odpowiednich funkcji arkusza kalkulacyjnego.

Dotąd przedstawiono sposób znajdowania wartości oczekiwanej, która jest użytecznym wynikiem serii pomiarów, oraz odchylenia standardowego i maksymalnego serii. Dla eksperymentatora ważna jest jednak przede wszystkim niepewność wartości oczekiwanej, czyli dokładność użytecznego wyniku pomiarów.

Jaka jest niepewność wartości oczekiwanej?

Wartość oczekiwaną serii pomiarów wielkości x, składającej się z n pomiarów, można obliczyć jako średnią arytmetyczną:

Jest to więc funkcja n zmiennych (wyników pomiaru):  x1, x2, ... xn. Obliczmy niepewność średniej arytmetycznej jako jej różniczkę zupełną:

Ponieważ średnia arytmetyczna zależy w ten sam sposób od wszystkich składników, więc wszystkie pochodne cząstkowe również są takie same:

Po uwzględnieniu obliczonych pochodnych cząstkowych i zastąpieniu różniczek dxi odchyleniami Δxi, różniczka zupełna średniej arytmetycznej przekształci się w następującą zależność niepewności wartości średniej (oczekiwanej) od odchyleń poszczególnych pomiarów:

Jak oszacować sumę odchyleń wszystkich pomiarów:  Σ Δxi = ?

Iloczyn odchylenia maksymalnego przez ilość pomiarów da na pewno o wiele za dużą wartość - praktycznie wszystkie pomiary mają odchylenie mniejsze od odchylenia maksymalnego:   Σ Δxi << n.3σ.  Iloczyn odchylenia standardowego przez ilość pomiarów też da wartość z nadmiarem - ponad połowa (68,5%) pomiarów ma mniejsze odchylenie: Σ Δxi < n.σ   (zob. rys. 2).

Zastosujmy następujący chwyt: skoro niepewność wartości średniej chcemy wyrazić przez odchylenie standardowe serii, a estymatorem odchylenia standardowego jest odchylenie średnie kwadratowe, to obliczmy sumę kwadratów odchyleń:

Podstawiając otrzymany wynik zamiast Σ Δxi , do wyrażenia na zależność niepewności wartości średniej Δx-od odchyleń Δxi  poszczególnych pomiarów, otrzymujemy wielkość, która jest miarą niepewności wartości średniej (ale oczywiście nie jest różniczką zupełną):

Wielkość ta nazywana jest niepewnością standardową wartości średniej (błędem standardowym wartości średniej) i zależy od odchylenia standardowego σ oraz liczebności n serii pomiarów:

Niepewność standardową wartości średniej można interpretować w kategoriach prawdopodobieństwa, tak jak odchylenie standardowe σ serii pomiarów. Można wobec tego z prawdopodobieństwem 68,5% (zob. rys. 2) przyjąć, że średnia serii pomiarów, nie różni się więcej niż o niepewność standardową od nieznanej wartości prawdziwej. Biorąc trzykrotność odchylenia standardowego czyli odchylenie maksymalne serii pomiarów (zob.rys. 2), otrzymamy niepewność maksymalną wartości średniej serii pomiarów.

Dokładność wyniku eksperymentu fizycznego zazwyczaj podaje się w postaci niepewności maksymalnej - stosując ten rodzaj niepewności można o tym nie informować (jest to "ustawienie domyślne"). Podając dokładność wyniku eksperymentu w inny sposób - trzeba ten sposób określić.

© marpaw'05-10

7

14

---