Zagadnienia na egzamin z analizy II

1. Przestrzeń
   , metryka w przestrzeni
   

Niech 
 będzie zbiorem niepustym. Metryką w zbiorze 
 nazywamy dowolną funkcję 
 spełniającą następujące warunki:
(i) 
;
(ii) 
 (warunek symetrii);
(iii) 
 (warunek trójkąta).
Parę 
 nazywamy przestrzenią metryczną.
Dla dowolnych 
 liczbę 
 nazywamy odległością punktów 
 i 
 oraz mówimy, że punkty 
 i 
 są oddalone od siebie o 

2. Ciągi i granice funkcji w przestrzeni
   : definicja ciągu w
   ; definicja granicy (właściwej i niewłaściwej) funkcji w punkcie; twierdzenie o zbieżności po współrzędnych; granice iterowane; zależność między istnieniem (nie istnieniem) granic iterowanych a istnieniem (nie istnieniem) granicy podwójnej funkcji w punkcie; twierdzenie o arytmetyce granic

a)Ciągi i granice funkcji w Rⁿ:

Niech 
 będzie dowolnym zbiorem. Ciągiem o wyrazach w zbiorze 
 nazywamy dowolną funkcję 

Ciąg ten oznaczamy

  lub  

gdzie 

Niech 
 będzie przestrzenią metryczną, 
 ciągiem oraz 

Mówimy, że 
 jest granicą ciągu 
 w metryce 
 jeśli dla dowolnego 
 wyrazy ciągu są od pewnego momentu oddalone od 
 o mnie niż 
, czyli

i piszemy

 lub 

Mówimy, że ciąg 
 jest zbieżny, jeśli

b) definicja granicy (właściwej i niewłaściwej) funkcji w punkcie

Definicja[Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie]

Niech 
 będzie podzbiorem 
 Niech 
 będzie funkcją oraz niech 
 będzie punktem skupienia zbioru 

- Mówimy, że funkcja 
 ma granicę (właściwą) 
 w punkcie 
 jeśli

Piszemy wówczas

- Niech 
 oraz 
 punktem skupienia zbioru 

Mówimy, że 
 ma granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy'ego) 
 w punkcie 
 jeśli

Mówimy, że 
 ma granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy'ego) 
 w punkcie 
 jeśli

c) Twierdzenie o zbieżności po współrzędnych

Niech 
 będzie dowolną przestrzenią metryczną. Niech 
 będzie ciągiem oraz 
 Wówczas:
(1) 
 wtedy i tylko, wtedy, gdy 
,
(2) Istnieje co najwyżej jedna granica ciągu 
 to znaczy

 i 

(3) Jeśli ciąg 
 jest zbieżny, to jest ograniczony.
(4) Jeśli 
 oraz 
 jest dowolnym podciągiem ciągu 
 to

(5) Jeśli 
 jest ciągiem zbieżnym oraz 
 jest jego dowolnym podciągiem takim, że 
 to także 

(6) Jeśli dla dowolnego podciągu 
 ciągu 
 istnieje jego dalszy podciąg 
 taki, że 
 to 

d) Granice iterowane

b

e) Zależność między istnieniem (nie istnieniem) granic iterowanych a istnieniem (nie istnieniem) granicy podwójnej funkcji w punkcie:

Jeżeli funkcja RxR w R ma granicę w pkt (a,b) i istnieje któraś z granic iterowanych (granica przy x dążącym do a z granicy przy y dążącym do b z f(x,y) lub granica przy y dążącym do b z granicy przy x dążącym do b z f(x,y)) to musi być ona równa granicy funkcji f. w pkt(a,b)

f) Twierdzenie o arytmetyce granic:

Jeśli 
 jest punktem skupienia zbioru 


 są funkcjami, 
 oraz 
 to
(1) 
;
(2) 
;
(3) 
;
(4) 
 o ile 
 oraz dla 
 mamy 
;
(5) 
 o ile wyrażenia po obu stronach mają sens.

3. Ciągłość funkcji dwóch zmiennych: definicja funkcji ciągłej w punkcie
   , twierdzenie równoważne ciągłości, twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów

Ciągłość w przestrzeni metrycznej

Tw. Weierstrassa

Jeśli 
 jest zbiorem zwartym oraz 
 jest funkcją ciągłą, to funkcja 
 osiąga swoje kresy, to znaczy

4. Pochodne cząstkowe rzędu pierwszego i drugiego: definicja pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego i drugiego, tw. Schwarza o pochodnych mieszanych;

a) Mówimy, że funkcja 
 jest różniczkowalna w punkcie 
, jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego

Granicę tę - jeśli istnieje - nazywamy pochodną funkcji 
 w punkcie 
 i oznaczamy symbolem: 
 lub 
. Funkcję 
, która argumentowi 
 przyporządkowuje wartość pochodnej 
 funkcji 
 w punkcie 
 nazywamyfunkcją pochodną funkcji 
 lub - krótko - pochodną funkcji 
. Zwróćmy uwagę, że dziedzina pochodnej 
 jest zawsze podzbiorem dziedziny funkcji 
.

b) Niech 
 będzie funkcją różniczkowalną w przedziale otwartym 
. Rozważmy funkcję pochodną

Definicja 10.1.

Jeśli funkcja 
 jest różniczkowalna w punkcie 
, to znaczy, jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego:

to mówimy, że funkcja 
 jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie 
, a granicę tę nazywamy pochodną rzędu drugiego (lub krótko: drugą pochodną) funkcji 
 w punkcie 
 i oznaczamy symbolem 
 lub 
 albo 
, bądź też 
.

c) Tw. Schwarza

Twierdzenie Schwarza lub twierdzenie Clairaut  że jeśli dla funkcji 
 drugie pochodne mieszane istnieją i są ciągłe na zbiorze 
, to:

gdzie

5. Różniczkowalność funkcji: definicja różniczkowalności funkcji w punkcie (x₀,y₀), warunek konieczny i dostateczny różniczkowalności; zależność między pochodnymi cząstkowymi a różniczkowalnością funkcji; twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej; twierdzenie o pochodnych cząstkowych funkcji złożonej.

Definicja różniczkowalności funkcji.

Mówimy, że funkcja
jest różniczkowalna (różniczkowalna lewostronnie, prawostronnie) w punkcie
jeśli ma w tym punkcie skończoną pochodną (pochodną lewostronną, prawostronną).

Mówimy, że funkcja
jest różniczkowalna w przedziale otwartym, jeśli jest różniczkowalna w każdym punkcie tego przedziału.

Mówimy, że funkcja
jest różniczkowalna w przedziale domkniętym, jeśli jest różniczkowalna w każdym punkcie wewnętrznym tego przedziału, oraz prawostronnie różniczkowalna w lewym krańcu i lewostronnie różniczkowalna w prawym krańcu.

6. Ekstrema funkcji dwóch zmiennych: definicja, warunek konieczny istnienia ekstremum, warunek dostateczny istnienia ekstremum

a) Twierdzenie Fermata (warunek konieczny istnienia ekstremum)

Jeżeli funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie
oraz jest różniczkowalna w tym punkcie, to
.

7. Pochodna kierunkowa funkcji, gradient funkcji, pochodna kierunkowa a gradient funkcji

8. Funkcje uwikłane: definicja, twierdzenie o istnieniu i różniczkowalności funkcji uwikłanej, twierdzenie o ekstremach funkcji uwikłanej

9. Całki podwójne: definicja całki podwójnej po prostokącie, tw. o całkowalności funkcji ciągłych, liniowość całki, addytywność całki względem obszaru całkowania, tw. o zamianie całki podwójnej na iterowane, całka z funkcji o rozdzielonych zmiennych; definicja obszarów normalnych względem osi układu, całki iterowane po obszarach normalnych, obszar regularny, całka po obszarze regularnym, o całkowaniu funkcji nieciągłych; definicja współrzędnych biegunowych, zależność między współrzędnymi biegunowymi (walcowymi, sferycznymi) a kartezjańskimi; Jacobian przekształcenia; zastosowania całek podwójnych

10. Całki krzywoliniowe: łuk zwykły, łuk skierowany, krzywa zorientowana dodatnio (ujemnie), punkt osobliwy, krzywa gładka, krzywa regularna, całka krzywoliniowa nieskierowana (skierowana), twierdzenie o zamianie całki krzywoliniowej nieskierowanej (skierowanej) na całkę oznaczoną, obszar jednospójny, krzywa Jordana, twierdzenie Greena, twierdzenie o niezależności całki krzywoliniowej od kształtu drogi całkowania; definicja różniczki zupełnej

Miłej nauki

---