POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA
W CZĘSTOCHOWIE
Instytut Fizyki
Ćwiczenie nr 3
TEMAT: Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego.
Borkiewwicz Wojciech
Daniluk Łukasz
Wydz. Budowy Maszyn
Informatyka, rok II gr.1
1. Wstęp teoretyczny.
1. Ruch harmoniczny prosty.
Ruchem harmonicznym prostym nazywamy ruch odbywający się pod wpływem siły F, proporcjonalnej do wychylenia x, lecz przeciwnie skierowanej.
F=-kx
Współczynnik proporcjonalności k nazywamy siłą kierującą.
Drogę w ruchu harmonicznym wyraża się wzorem:
Prędkość w tym ruchu uzyskuje się różniczkując drogę po czasie:
a przyspieszenie za pomocą drugiej różniczki:
2. Wyprowadzenie wzoru na okres drgań wahadła fizycznego.
W przypadku drgań torsyjnych bryły sztywnej we wzorze F=-kx siłę F zastępujemy momentem siły M., a wychylenie x - kątem skręcenia ϕ:
M.=-Dϕ
Współczynnik proporcjonalności D nazywamy momentem kierującym.
Moment siły wyraża się wzorem:
M.=Jα, F=ma,
gdzie J - moment bezwładności, α - przyspieszenie kątowe
więc
Podstawiając do równania M.=-Dϕ mamy:
Dzielimy przez J i wprowadzamy oznaczenie
ω02=D/J; ω02=k/m.
ω02 - częstość kołowa
otrzymujemy równanie ruchu harmonicznego prostego:
rozwiązaniem powyższego równania jest funkcja:
ϕ=ϕ0cos(ω0t+δ); x=x0cos(ω0t+δ)
δ - faza początkowa, ϕ0 - amplituda.
Pod wpływem momentu siły M.=-Dϕ kąt ϕ wychylenia z położenia równowagi zmienia się periodycznie tak jak funkcja cosinus. Oznacza to oscylację bryły wokół położenia równowagi z częstością kątową ω0. Przyjmując, że w chwili początkowej, gdy t=0 ϕ=ϕ0, to faza początkowa δ=0. Wtedy
ϕ=ϕ0cos(ω0t); x=x0cos(ω0t)
Korzystając z periodyczności funkcji cosω0(t+T)= cos(ω0t+2π), obliczamy okres T
Korzystając z zależności ω02=D/J otrzymujemy:
3. Metody wyznaczania momentu bezwładności bryły oraz jej środka masy.
Moment bezwładności charakteryzuje rozkład masy ciała lub jego formę geometryczną. Może być określany względem punktu lub osi.
Moment bezwładności dowolnej bryły można wyznaczyć z okresu drgań skrętnych bryły zawieszonej na drucie o znanych własnościach sprężystych. Na przykład, jeżeli w metodzie dynamicznej wyznaczania modułu sztywności będziemy znać moment kierujący D, to z
równania obliczyć możemy moment bezwładności J bryły zawieszonej na
drucie. W przypadku nieznanego D można wykonać pomiar względny. W tym celu należy zmierzyć okres drgań T dla bryły o nieznanym momencie bezwładności J, a następnie bryłę tę zastąpić bryłą o znanym momencie bezwładności J0 i zmierzyć okres T0. Pozwala to napisać
dwa równania: z których obliczamy nieznany moment bezwładności J.
Jeżeli bryły nie da się zawiesić na drucie, to stosuje się stolik balansowy.
Środkiem masy ciała nazywamy punkt S, wyznaczony promieniem - wektorem za pomocą równania które wyrażamy w następujący sposób: Moment masy całego ciała, skupionej w punkcie S, względem dowolnie obranego punktu O (rys 3.2) równa się sumie geometrycznej momentów mas wszystkich punktów materialnych ciała względem tegoż punktu.
Rys. 3.2
4. Długość zredukowana wahadła fizycznego (wahadło zsynchronizowane).
Często stosuje się wahadło rewersyjne (rys 4.1). Okres wahadła fizycznego wyrażamy wzorem takim samym jak dla
wahadła matematycznego o długości l. Wielkość l nazywamy długością zredukowaną wahadła fizycznego. Punkt O' , leżący na prostej OS, odległy o l od punktu O, nazywamy środkiem wahań wahadła fizycznego. Okresy drgań T (dla wahadła zawieszonego w punkcie O) oraz T' (dla wahadła zawieszonego w punkcie O') są równe: T=T'. Zatem jeżeli uda się znaleźć punkty O i O', to ich odległość l jest równa długości zredukowanej wahadła.
Rys. 4.1
5. Konstrukcja wahadła rewersyjnego.
Wahadło rewersyjne składa się z metalowego pręta, nad którym osadzone są dwie soczewki metalowe M1 i M2 oraz ostrza O i O', zwrócone ku sobie, w kolejności pokazanej na rysunku 4.1. Zarówno ostrza jak i soczewki można przesuwać wzdłuż pręta. Położenie soczewek można dobrać w ten sposób, by okres oscylacji T wokół osi O był równy okresowi T' wokół osi O'. Ostrza O i O' zamocowujemy na stałe w dużej odległości wzajemnej. Również soczewkę M1 zamocowujemy na stałe.
6. Pomiar przyspieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła:
a) matematycznego prostego
Wahadłem matematycznym prostym nazywamy punkt materialny o masie m. zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici o długości l.
Wahadło po wychyleniu o kąt α, porusza się po łuku Ł. Przyczyną tego ruchu jest składowa siła ciężkości Fx=mgsinα, skierowana stycznie do łuku. Siła kierująca k jest stosunkiem siły Fx do wychylenia równego w przybliżeniu x, zatem , a dla małych wychyleń
(sinα≈α), gdy możemy przyjąć, że x=lα, wtedy zachodzi . Podstawiając to wyrażenie do równania mamy: . Związek ten bywa często
stosowany do wyznaczania przyspieszenia ziemskiego.
II. Tabela pomiarów
Położenie I krążka 45 [cm] |
||||||
Położenie I noża 0 [cm] |
||||||
Położenie II noża 41 [cm] |
||||||
Położenie II krążka [cm] |
Czas trwania n okresów |
|||||
|
Dla zawieszenia I |
Dla zawieszenia II |
||||
|
Ilość okresów [n] |
Czas [s] |
Okres T1 [s] |
Ilość okresów [n] |
Czas [s] |
Okres T2 [s] |
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 |
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 |
13,106 13,016 12,920 12,827 12,742 12,696 12,635 12,579 12,480 12,481 12,438 12,383 12,389 12,332 12,368 12,358 12,365 12,333 12,350 12,346 12,316 12,391 12,377 12,470 12,457 12,453 12,527 12,577 12,599 12,640 12,658 12,750 12,739 12,811 12,881 |
1,3106 1,3016 1,2920 1,2827 1,2742 1,2696 1,2635 1,2579 1,2480 1,2481 1,2438 1,2383 1,2389 1,2332 1,2368 1,2358 1,2365 1,2333 1,2350 1,2346 1,2316 1,2391 1,2377 1,2470 1,2457 1,2453 1,2527 1,2577 1,2599 1,2640 1,2658 1,2750 1,2739 1,2811 1,2881 |
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 |
13,282 13,157 13,045 12,939 12,788 12,688 12,544 12,400 12,300 12,170 12,040 11,950 11,838 11,732 11,635 11,516 11,424 11,316 11,238 11,157 11,081 11,028 10,969 10,923 10,880 10,906 10,945 10,996 11,050 11,229 11,372 11,640 11,973 12,424 12,916 |
1,3282 1,3157 1,3045 1,2939 1,2788 1,2688 1,2544 1,2400 1,2300 1,2170 1,2040 1,1950 1,1838 1,1732 1,1635 1,1516 1,1424 1,1316 1,1238 1,1157 1,1081 1,1028 1,0969 1,0923 1,0880 1,0906 1,0945 1,0996 1,1050 1,1229 1,1372 1,1640 1,1973 1,2424 1,2916 |
III. Opracowanie wyników pomiarów
1. Współrzędne punktów przecięcia: T1≈1,2692 [s] ; T2≈1,2912 [s]
2. Długość zredukowana wahadła: l = 41-0 = 41 [cm]
3. Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego:
4. Błąd pomiaru - wyznaczamy za pomocą różniczki zupełnej:
Δl=0,001 [m.]
ΔT=0.001 [s]
ΔT, Δl - najmniejsze wartości, jakie można odczytać na przyrządzie
IV. Wnioski.
Powyższe ćwiczenie polegało na wyznaczeniu przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. W różnych punktach Ziemi przyspieszenie to może się niewiele różnić. W Polsce wynosi ono ok. 9,81 m/s2.
Otrzymane wyniki, czyli g1=10,03 m/s2; g2=9,7 m/s2 różnią się od wartości tablicowych. Na ich niedokładność wpływają m.in.:
niedokładność odczytu okresów z wykresu,
niedokładność przyrządu pomiarowego
niewielkie różnice w wychyleniu wahadła w poszczególnych pomiarach.
Błąd obliczony metodą różniczki zupełnej jest niewielki, co wskazuje na dość dużą dokładność przyrządu pomiarowego.