Energia, praca, moc

• Pęd charakteryzował ruch postępowy ciała, ale nie może być wielkością „miarą” ruchu ciała podczas obrotu wokół osi. Szukamy więc wielkości ogólnej, która mogłaby charakteryzować zdolność ciał do ruchu.

• Energia jest miarą różnych rodzajów ruchu i miarą zdolności ciał do ruchu (nieodłączna cecha materii, zarówno na poziomie molekularnym jak i makroskopowym).

• Każde ciało jest obdarzone energią (ma zapas energii), będącej miarą jego ruchu. Dla scharakteryzowania różnych rodzajów ruchu i różnych rodzajów oddziaływań między ciałami, wprowadzamy różne rodzaje energii: mechaniczną, wewnętrzną, elektromagnetyczną.

• Wzajemne oddziaływanie między ciałami (i elementami jednego ciała) powoduje zmianę energii ciała, możemy więc opisywać to oddziaływanie jako przekazywanie energii.

Energia, praca, moc - c.d.¹

• W przypadku energii mechanicznej, jej zmianę powoduje wzajemne oddziaływanie między ciałami poprzez siły. Proces zmiany energii ciała pod wpływem działającej na nie siły nazywamy procesem wykonania pracy a przyrost energii ciała w tym procesie to po prostu praca.

• Praca wykonana przez siłę jest wielkością skalarną, liczbowo równą iloczynowi składowej siły w kierunku wykonywanego ruchu przez drogę, przebytą w tym ruchu:

• W przypadku zmiennej siły o dowolnym kierunku względem przesunięcia i dowolnej trajektorii ruchu między punktami A i B, możemy uogólnić powyższy wzór:

Energia, praca, moc - c.d.²

• Jeżeli energia E jest przekazywana z jednego ciała do drugiego, to możemy zdefiniować również tempo przekazywania tej energii. Wielkość tę nazywamy mocą:

(dokładniej: jest to moc chwilowa).

• Jeśli ciało porusza się z prędkością v pod działaniem siły F, to możemy obliczyć moc jako:

• Jednostki:

- Siła: niuton

- Energia, praca: dżul

elektronowolt

- Moc: wat

koń mechaniczny

Energia, praca, moc - c.d.³

• W mechanice rozróżniamy dwa rodzaje energii: kinetyczną i potencjalną.

• Energia kinetyczna to energia każdego poruszającego się ciała mierzona pracą, jaką trzeba wykonać przy jego hamowaniu do całkowitego zatrzymania.

• Korzystając z definicji pracy można pokazać, że:

Jest to twierdzenie o pracy i energii:

Praca wykonana przez zewnętrzną siłę (wypadkową) na drodze od punktu A do punktu B równa się przyrostowi energii kinetycznej ciała.

• Energia kinetyczna jest więc tzw. funkcją stanu jego ruchu (zależy tylko od wartości początkowych i końcowych).

Energia, praca, moc - c.d.⁴

• Energia potencjalna to energia zmagazynowana przez ciało do użycia w przyszłości. Podaje się ją raczej w postaci względnej zmiany (poziom „zera” wyznaczamy arbitralnie) a konkretna jej postać zależy od typu siły, z którą jest związana.

• Jeżeli ciało znajduje się pod działaniem pewnej siły F, to zmianę jego energii potencjalnej ΔU obliczamy jako pracę, którą trzeba wykonać, aby przesunąć to ciało w obecności tej siły:

• Siły zachowawcze to takie siły, dla których praca nie zależy od drogi, po której jest wykonywana. Matematycznie wyraża to warunek:

czyli: praca po drodze zamkniętej równa się zeru.

• Przykładem siły niezachowawczej jest np. tarcie.

Energia, praca, moc - c.d.⁵

• Grawitacyjną energię potencjalną (czyli energię potencjalną w polu sił grawitacji) można obliczyć ze wzoru:

gdzie U_Z oznacza energią potencjalną na powierzchni Ziemi (poziom odniesienia), R_Z jest zaś promieniem Ziemi.

• W przypadku, gdy
(blisko powierzchni Ziemi) możemy skorzystać z wzoru przybliżonego:

gdzie:
- wysokość nad powierzchnią Ziemi.

Energia, praca, moc - c.d.⁶

• Energię potencjalną sprężystą, czyli np. energię rozciągniętej sprężyny, możemy obliczyć wykorzystując wzór na siłę sprężystą (zgodnie z prawem Hooke`a):

gdzie x oznacza wychylenie z położenia równowagi a k jest współczynnikiem proporcjonalności, zależnym od materiału sprężyny.

• Ustalając „zerowy” poziom energii potencjalnej dla x=0 (sprężyna w położeniu równowagi, nierozciągnięta), możemy otrzymać wyrażenie na energię potencjalną sprężyny:

Zauważmy, że wartość energii potencjalnej nie zależy do tego, czy sprężyna jest ściśnięta, czy rozciągnięta.

Zasada zachowania energii

• Przez wieki ludzie usiłowali wynaleźć perpetuum mobile - maszynę, która trwale dostarczałaby na zewnątrz energię mechaniczną. Możliwości tej przeczy jedna z fundamentalnych zasad fizyki - zasada zachowania energii, która narzuca ograniczenia na możliwość pozyskania i na przechodzenie energii z jednej formy w inną.

Zasada zachowania energii - c.d.¹

• M. W. Łomonosow (1748) - zasady zachowania masy substancji w przemianach chemicznych.

• R. Mayer i H. Helmholtz (XIX w.) - ilościowe sformułowanie zasady zachowania i przemiany energii: w układzie zamkniętym energia może przechodzić z jednego rodzaju w inne, jedno ciało może je przekazać drugiemu, lecz całkowita jej ilość pozostaje stała.

• Zamknięty układ zachowawczy to układ ciał, które działają na siebie wzajemnie siłami zachowawczymi. W takim układzie prawdziwa jest zasada zachowania energii w mechanice:

energia mechaniczna zamkniętego układu zachowawczego nie zmienia się podczas ruchu układu:

(suma energii kinetycznej i potencjalnej jest stała)

Zasada zachowania energii - c.d.²

• Zasada zachowania energii może służyć do rozwiązywania zagadnień mechaniki, gdy szukamy informacji o końcowym stanie układu bez obliczania stanów pośrednich.

Przykład:

Ciało zsuwa się po równi pochyłej bez tarcia (siła niezachowawcza!) z wysokości h. Jaką prędkość v osiąga u podnóża równi?

Energia całkowita w punkcie A:

Energia całkowita w punkcie B:

Stosując zasadę zachowania energii:

otrzymujemy:

Zderzenia

• Zderzeniem doskonale sprężystym nazywamy takie zderzenie, w wyniku którego energia mechaniczna układu zderzających się ciał nie zamienia się w inne rodzaje energii (np. cieplnej).

Podczas rozwiązywania zagadnień zderzeń sprężystych stosujemy zasadę zachowania energii i zasadę zachowania pędu.

Zasada zachowania energii (kinetyczne tylko, bo potencjalne takie same):

Zasad zachowania pędu:

Zderzenie centralne: wektory prędkości skierowane są wzdłuż jednej prostej.

Zderzenia - c.d.¹

• Rozwiązanie zagadnienia centralnego zderzenia sprężystego dwóch ciał:

• Przypadki szczególne:

• obie kule mają jednakowe masy (m₁=m₂), wtedy:

i

(kule „zamieniają się” prędkościami);

• druga kula jest nieruchoma i ma wielokrotnie większą masę (v₂=0 i m₂>>m₁), wtedy:

i

(pierwsza, mniejsza kula odbija się od nieruchomej i porusza się w przeciwnym kierunku z tą samą, co do wartości, prędkością).

Zderzenia - c.d.²

• Układ rozpraszający (dyssypacyjny) to taki układ, w którym energia mechaniczna stopniowo zmniejsza się na wskutek jej przemiany w inne (niemechaniczne) rodzaje energii (np. ciepło).

• Przykładem jest układ ciał podlegający zderzeniu doskonale niesprężystemu - występuje w nim odkształcenie zderzających się ciał powodujące, że po zderzeniu poruszają się one razem z tą sama prędkością.

Podczas rozwiązywania zagadnień zderzeń niesprężystych stosujemy tylko zasadę zachowania pędu.

Zderzenia - c.d.³

• Różnica energii obu ciał po i przed zderzeniem:

została rozproszona - wykonana została jej kosztem praca L, potrzebna na:

• „złączenie się” ciał;

• zmianę ich kształtu (kucie metali!);

• przezwyciężanie oporów (np. wbijanie gwoździ młotkiem, pali kafarem);

W przypadku, gdy drugie ciało przed zderzeniem było w spoczynku (v₂=0):

Stąd:

• zmiana kształtu -> m₂ jak największe (duża część energii kinetycznej pierwszego ciała „zużyta” na pracę);

• „wbijanie” -> m₁ jak największe (duża energia kinetyczna układu po zderzeniu).

Równowaga

• Układ ciał znajduje się w równowadze, gdy wyprowadzenie go z tego stanu wymaga działania sił zewnętrznych.

• Równowagę nazywamy trwałą, gdy niewielkie działanie zewnętrzne na układ ciał wywołuje małą zmianę jego stanu = w układzie pojawiają się siły wewnętrzne, które starają się przywrócić go do stanu pierwotnego = energia potencjalna układu w tym stanie osiąga minimum.

• Równowagę nazywamy nietrwałą, gdy dowolnie małe działanie zewnętrzne na układ ciał wywołuje wyprowadza go z tego stanu = układ nie powróci do stanu równowagi bez działania sił zewnętrznych = energia potencjalna układu w tym stanie osiąga maksimum.

• Najbardziej „trwały” jest stan układu, w którym energia potencjalna przyjmuje możliwie najmniejszą wartość (bezwzględne minimum).

15

h

v

A

B

m₁

v₁

m₂

v₂

u₂

m₂

u₁

m₁

v₂

m₂

v₁

m₁

u

m₂

m₁

---