 | Pobierz cały dokument ciagi.szeregi.sciagi.dla.studentow.matematyka.doc Rozmiar 217 KB |
Def. Ciąg funkcyjny:
Ciąg funkcyjny w zbiorze A jest to przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej dokł. jednej określonej na tym zbiorze. Funkcję przyporządkowaną liczbie naturalnej n ozn. fn(x) natomiast cały ciąg będziemy oznaczać {fn (x) } który po napisaniu daje: (f1 (x) i f2 (x), ...). Jeżeli ciąg funkcyjny {fn(x)}jest określony w A, to dla każdego x0∈A do funkcji granicznej z ciągu funkcyjnego, otrzymamy konkretny ciąg liczbowy {fn(x0)}, który jest zbieżny lub rozbieżny.
Def. Zbieżność ciągu funkcyjnego do funkcji granicznej:
Ciąg funkcyjny {fn(x)} jest zbieżny w A do funkcji granicznej f(x), co zapisujemy limn→∞fn(x)-f(x) lub fn(x) ne→∞→ f(x) ⇔ Λε>0 Λx∈Α Vs Λn>s. fn(x)- f(x)<ε oprócz zbieżności ciągu funkc. mówimy o jego zbieżności jednostronnej, którą ozn. symbolem: Λfn(x) A⇒f(x) ⇔ Λε>0 Vδ Λx∈A fn(x)- f(x)<ε
Dla zb. zwykłej liczba δ ma istnieć dla każdego ε>0 i x∈A
Dla zb. jednostronnej ma mieć jednakową wartość dla całego zbioru A
Ze zbieżności jednostronnej wynika zbieżność zwykła
[fn(x) A⇒ f(x)] ⇒ [fn(x) e→ f(x)]
Tw. Granica jednostajnie zb. ciągu f. ciągłych jest f. ciągłą
Warunek Cauche'go:
Na to aby ciąg fn(x) był zbieżny jednostajnie w zbiorze A potrzeba i wystarcza aby Λε>0 Vr że Λn>r zachodzi [fn(x) - fr(x)]<ε
-Szereg geometryczny:
Saqn-1 lub Saqk
1. Jeżeli a=0 to szer. zb. & S= 0
2. Jeżeli a≠0 to szer. geom.
-dla q<1 szer. geom. zb. i S=a/1-q
-dla q≥1 szer. geom. rozb.
-Szereg Dirchleta: S1/na , a∈R, dla α>1 sz zbieżny; dla a ≤1 sz rozbieżny.
-Szereg naprzemienny: Szereg Σ(-1)n+1an, gdzie an>0 dla n=1,2,3,… nazywamy szer naprzemiennym.
Def. Zbieżność szeregu liczbowego:
Szereg liczbowy nazywamy zbieżnym, jeżeli ciąg sum częściowych jest zbieżny do granicy właściwej lim Sn =S ; S- suma szeregu.
Def. Równość szeregów:
Z równości szeregów wynika równość ich sum, ale nie na odwrót.
Def. Iloczyn przez liczbę:
Def. N- reszta szeregu: jeżeli w szeregu Σak pominiemy n początkowych wyrazów to otrzymamy szereg: 
który nazywamy n - resztą szeregu Σak .
Tw. Jeżeli szeregi Σan; Σbn są zbieżne, a ich sumy wynoszą odpowiednio: S1 i S2 to Σ(an+ bn ) i Σ(kan) wynoszą odpowiednio S1+S2 i kS1 .
Tw Warunek konieczny zbieżności szeregu:
Jeżeli szereg Σan jest zbieżny, to lim an=0
Dowód:
an=Sn-Sn-1 ; lim an= lim (Sn-Sn-1) = lim Sn - lim Sn-1 = S-S=0
Tw. Zbieżność szeregu: Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest ograniczony z góry, to szereg ten jest zbieżny.
Dowód:
 | Pobierz cały dokument ciagi.szeregi.sciagi.dla.studentow.matematyka.doc rozmiar 217 KB |